Relativisztikus hidrodinamika

[dgy]

RELATIVISZTIKUS HIDRODINAMIKA

1/ Termodinamikai alapok

a/ Extenzív és intenzív mennyiségek

- Jean, hány fok van idebent?
- Húsz, uram.
- És odakint?
- Négy, uram.
- Jean, nyissa ki az ablakot, és engedje be azt a négyet is!

Miért nevetünk ezen? Ha nem fokokról, hanem vendégekről lenne szó (és persze nem ablakról, hanem ajtóról), akkor mindenki szemrebbenés nélkül tudomásul venné, hogy a nyitott ajtón bejönnek a kinti vendégek, és huszonnégyen lesznek a szobában. Köznapi tapasztalatból tudjuk viszont, hogy a "fokok" nem így szoktak viselkedni. Ha két rendszert kölcsönhatásba hozunk, a hőmérsékletük nem összeadódik, hanem kiegyenlítődik.

A termodinamikában kétféle mennyiséggel dolgozunk. Az egyik tipus két rendszer egyesítésekor összeadódik - ilyenek a térfogat, részecskeszám, energia, entrópia, bonyolultabb rendszerek esetén az elektromos töltés, az elektromos és mágneses dipólmomentum (vigyázat, itt már vektoriális mennyiségek összeadásáról van szó!). Ezeket extenzív mennyiségeknek nevezzük. A másik tipusú mennyiség nem adódik össze, hanem kiegyenlítődik - ilyenek a hőmérséklet, a nyomás, a kémiai potenciál, az elektromos potenciál, az elektromos polarizáció stb. Ezek az intenzív mennyiségek.

b/ Homogén függvények

Matematikailag kissé absztraktabbul is megfogalmazhatjuk e tulajdonságokat. Euler vezette be a homogén függvények fogalmát. (A "homogén" szó itt azt jelenti: "egyforma fokú". Nem tévesztendő össze a később tárgyalandó térbeli homogenitással.)

Egy n-változós függvényt -adrendű homogén függvénynek nevezünk, ha minden változóját megszorozva egy állandó (nem nulla) számmal, a függvény értéke -val fog szorzódni:



Pl. legyen a három változó jele (számozás helyett) , és . Ekkor

harmadrendű homogén függvény,

nulladrendű homogén függvény (ez -val, azaz 1-gyel szorzódik, tehát nem változik, ha az összes változót megszorozzuk -vel),

pedig minusz másodrendú homogén függvény. (Kéretik ellenőrizni!)

A homogén függvényekre fennáll Euler alapvető tétele: ha -adrendű homogén függvény, akkor



Ezt a tételt az alkalmazások során számtalanszor használjuk.

Nyilvánvaló, hogy két elsőrendő homogén függvény hányadosa nulladrendű homogén függvény, stb.

Ezen a nyelven a termodinamika extenzív mennyiségei néhány alapvető extenzív mennyiségnek (a legegyszerűbb esetben a térfogatnak, részecskeszámnak és az entrópiának) elsőrendű homogén függvényei, míg az intenzív mennyiségek ugyanezeknek az alapextenzíveknek nulladrendű homogén függvényei.

Ezekre a fogalmakra szükségünk lesz a relativisztikus hidrodinamika kiépítésekor.

c/ Kiegyenlítődési folyamatok

A termodinamikai jelenségek pontosabb leírásban le kell szögeznünk: ha a két részrendszer egyesítésekor (a köztük levő szigetelő falak eltávolításakor) az intenzív paraméterek közül egy vagy több nem egyezik meg, akkor kiegyenlítődési folyamatok indulnak meg. Amíg ezek a folyamatok tartanak, addig az "iskolai" termodinamika nem alkalmazható. Ha a folyamatok véget értek (elvileg persze csak végtelen hosszú idő után), akkor a végeredmény adatai kiszámíthatók az ismert szabályok szerint.

Miért is nem alkalmazhatók a szokásos egyszerű szabályok a kiegyenlítődési folyamatok közben? Mert az elemi termodinamika egy hallgatólagos feltevése nem teljesül: a rendszerek nem homogének. (A homogenitás azt jelenti, hogy egy mennyiség helytől függetlenül mindenütt ugyanlyan értéket vesz fel.)

Az iskolai termodinamika két reprezentatív példája az egymás mellé tett meleg és hideg tégla, amelyek végül két egyforma hőmérséklető langyos téglává változnak, illetve a dugattyúval kettéválasztott henger, amelynek két oldalán és térfogatú, és nyomású, és hőmérsékletű gáz van. Ha a dugattyút rögzítő pecket eltávolítjuk, a dugattyú elmozdul addíg, amíg végül a két féltérben egyforma nyomás és egyforma hőmérséklet alakul ki. Ekkor a dugattyút akár el is távolíthatjuk. Az eredmény egy térfogatú (hiszen a térfogat additív, extenzív mennyiség), nyomású és hőmérsékletű (hiszen ezek intenzív, kiegyenlítődő paraméterek) homogén gáz lesz.

Mindenki ösztönösen érzi, hogy a két tégla hőmérséklete nem úgy fog kiegyenlítődni, hogy az egyik tégláé végig homogén marad, de folyamatosan csökken, a másiké pedig homogén, de állandóan nő. Nem: a két tégla határfelületén indul meg a kiegyenlítődés, a távolabbi részek eleinte még nem érzik meg a változást, aztán a változások kiterjednek mindkét tégla belsejére, és csak legvégül, a hőmérsékleti egyensúly újbóli beállásakor lesz ismét homogén a hőmérséklet. Hasonló, csak még bonyolultabb folyamatok zajlanak a dugattyús hengerben is (itt még a dugattyú anyagának hőszigetelő vagy hővezető volta is bekavar...).

A klasszikus "iskolás" termodinamika lemond a kiegyenlítődési folyamatok részleteinek leírásáról, csak a kezdő és végállapotot vizsgálja. Ezért nevezte Fényes Imre ezt a tudományt termodinamika helyett "termosztatikának". A belül homogén, de időben változó paraméterű testek termodinamikájának matematikailag konzisztens leírását csak az 1980-as években dolgozta ki Matolcsi Tamás. Az e jelenségeket leíró egyenletek a klasszikus mechanikához hasonlóan az időváltozótól függő függvényekre vonatkozó közönséges differenciálegyenletek.

d/ Lokális egyensúly

De a részletes leíráshoz ennél tovább kell mennünk, fel kell adni a testek belső homogenitásának feltevését is. Ekkor a mennyiségek az idő mellett a helytől is függni fognak, leírásukra parciális diffegyenletek szolgálnak - ez pedig nagyságrendekkel nehezebb feladatot jelent. Az első lépést ezen az úton kétszáz évvel ezelőtt Joseph Fourier tette meg, éppen a két eltérő hőmérsékletű tégla közt folyó hőáram fizikai modelljének kidolgozásával. Nem mellékesen a kapott egyenletek megoldása céljából dolgozta ki a később róla elnevezett Fourier-analízist. A téglás feladat Fourier-féle megoldása lehetővé teszi a hőmérséklet térbeli (egyetlen koordináta menti) és időbeli változásának követését a kiegyenlítődési folyamat során. Az ilyen - térben és időben is változó - termodinamikai jelenségek leírását nevezik hagyományos, de megtévesztő kifejezéssel "irreverzibilis" vagy "nem-egyensúlyi termodinamikának". Az elmélet 20. századik részletes kiépítése nagymértékben a magyar Gyarmati István professzornak köszönhető.

A dolgok mélyebb megértéséhez még tovább kell kérdezősködnünk. Mit is jelent az, hogy a hőmérséklet helytől függ? Hiszen a termodinamika csak fenomenologikus (a jelenségeket leíró, és nem megmagyarázó) elmélet, mögéje száz év alatt kiépült a kinetikus gázelmélet, majd a még általánosabb statisztikus fizika. Ezek az anyag atomos szerkezetének tényére építve, az atomok vagy molekulák közti kölcsönhatás törvényeiből vezetik le a nagyon sok részecskére vonatkozó átlagolt törvényeket, amelyekben felismerhetjük egyrészt a termodinamika általános törvényeit, másrészt az egyes anyagfajtákra vonatkozó összefüggéseket, az ún. állapotegyenleteket. Ezen átlagolt összefüggések levezetése során rendszerint ki kell használnunk azt, hogy a rendszer méretével (részecskeszámával, térfogatával - egyszóval extenzív mennyiségeivel) a végtelenhez tartunk. Ezt a határesetet nevezik termodinamikai limesznek.

De mire is kell átlagolnunk, amikor azt mondjuk, hogy a hőmérséklet és a nyomás helyről helyre változik? Hogyan lesz végtelen sok részecske végtelenül kis helyen? Erre a célra bevezettek egy nagyon érdekes, látszólag paradox fogalmat, a "fizikai infinitézimálist". Ez egy olyan kis térfogatelem, amely matematikai szempontból infinitézimálisnak, azaz végtelen kicsinek számít. (Ez lényegében azt jelenti, hogy ekkora tartományon belül nem változnak lényegesen a jelenségeket leíró függvények.) Ugyanekkor ez a térfogat fizikai szempontból végtelen nagynak számít - azaz végtelen sok (gyakorlatilag: nagyon sok) atom vagy molekula van benne, ezért alkalmazható a statisztikus fizika termodinamikai limeszre vonatkozó számolása.

Egyáltalán nem magától értetődő, hogy létezik ilyen "fizikailag infinitézimális" térfogatelem. A köznapi életben előforduló termodinamikai folyamatok esetén a tapasztalat szerint létezik. De pl mágneses térben mozgó plazmák esetén kimutattak olyan instabilitást, hogy egyetlen (!) elektron megszalad, egyre több elektronból áló lavinát kelt, és az egész plazma instabillá válik (ez az egyik jelenség, ami megkeseríti a szabályozott magfúzión dolgozó fizikusok életét). Az "irrevezrizibilis termodinamika" minusz egyedik axiómájának tekinthetjük a fizikai infinitézimális térfogatelem létezését.

Az irreverzibilis termodinamika "nulladik axiómája" a lokális egyensúly feltevése. Feltételezzük, hogy egy fizikailag infinitézimális térfogatelem úgy viselkedik, mint a hagyományos iskolás termodinamika (azaz a termosztatika) homogén testjei, a tégla vagy a hengerben levő gáz: értelmezhetők rá az extenzív és intenzív termodinamikai mennyiségek, fennállnak rájuk az általános termodinamikai összefüggések és az adott anyagra vonatkozó állapotegyenletek. Azaz a kis térfogatelem olyan, mint egy kis homogén tégla, a másik, szomszéd térfogatelem megint olyan, csak egy picit különböző intenzív paraméterekkel, és így tovább. Lokálisan, egy piciny térfogaton belül tehát fennáll a termodinamikai egyensúly, és ezt ugyanazok az összefüggések írják le, amiket makroszkópiskus anyagdarabokra megismertünk.

De persze ilyenkor nem áll fenn a globális egyensúly, hiszen a szomszéd térfogatocskákban eltérnek az intenzív paraméterek. Tehát megindulnak a kiegyenlítődési folyamatok. Ennek a mechanizmusa bizonyos extenzív mennyiségek (részecskeszám, energia, entrópia, elektromos töltés stb) transzportja egyik térfogatelemből a másikba. Részecske-, energia-, töltés-, entrópia-áramlás, röviden "áram" folyik a térfogatelemek között. Az irreverzibilis termodinamika továbbí felépítése során kimondandó újabb axiómák épp arra vonatkoznak, mi szabja meg ezeket az "áramokat". (Pl feltehetjük, hogy a hőáram a hőmérséklet negatív gradiense irányába folyik, és nagysága arányos e gradiens abszolút értékével.) A harmincas években Onsager épp e gradiensek és az áramok közti általános összefüggések vizsgálatáért kapott Nobel-díjat, később pedig Prigogine és Gyarmati általánosították tovább eredményeit. Részletek:


e/ Lokális nyugalmi rendszer

A relativitáselméletben (már a speciálisban is) újabb probléma merül fel: mit is jelent az elemi térfogatelem? Hiszen ennek nagysága attól függ, melyik megfigyelőt kérdezzük. Ugyanazok a részecskék a különböző inerciarendszerbeli megfigyelők szemszögéből nézve különböző térfogatot töltenek ki.

Szerencsére van egy kézenfekvő megoldás, hiszen most - a specrel általános feltevésétől eltérően - nem áll fenn a különböző inerciarendszerek egyenértékűsége. VAN egy (és csak egy) kitüntetett inerciarendszer: amalyben a vizsgált elemi térfogatocska nyugszik. (A fizikailag infinitézimális térfogatelem definíciójába belevehetjük azt is, hogy ennek különböző résztérfogataiban az anyag sebessége nem különbözik. Ezért ha beleülünk pl az elemi térfogat középpontjának nyugalmi rendszerébe, akkor körülötte az egész térfogatelemecske nyugalomban levőnek látszik.)

A lokális egyensúly hipotézisét a relativitáselméletben tehát ki kell egészítenünk a következő feltevéssel: minden elemi térfogatelemecskéhez tartozik egy lokális (és pillanatnyi) inerciarendszer, amelyben az anyag nyugszik. Ebben az inerciarendszerben kell kiszámolnunk a vizsgált anyagdarab térfogatát, energiáját stb. Eme mennyiségek között állnak fenn az adott anyagfajtára érvényes állapotegyenletek és más termodinamikai összefüggések.

Megjegyzés: mit is jelent az, hogy az anyag a lokális rendszerben nyugszik? Hiszen a "hőmérséklet" az átlagos mozgási energiát jelenti - ezért az "álló" anyag hőmérséklete nulla... Igen, ez komoly probléma. A megoldás az, hogy szét kell választanunk az egyes atomok, molekulák mozgását az átlagolt mozgásuktól. Az elemi térfogatelemben levő részecskék mozgását úgy tekinthetjük, mint egy átlagos ("drift") mozgás és az erre rakodó fluktuációk eredőjét (a fluktuáló mozgások átlaga nulla). Ez a gondolatmenet az alapja annak a bonyolult levezetésnek, amellyel a mikrorészecskék eloszlásfüggvényére vonatkozó Boltzmann-féle transzportegyenletből száz évvel ezelőtt Chapman és Enskog levezették a hidrodinamika egyenletrendszerét, valamint a hővezetés és más transzportjelenségek egyenleteit.

A relativitáselmélet itt is újabb problémát vet fel: a sebességek összeadását. Hogyan kell az "átlagolt" mozgás és az ekörüli mozgások sebességvektorait úgy összeadni (pontosabban az egyes molekulák mozgásából leválasztani az átlagos mozgást), hogy ez a szétválasztás kovariáns legyen, azaz ne függjön attól, melyik inerciarendszerből nézzük a jelenséget? Milyen mennyiségeket és milyen átlagolási, statisztikai eljárást kell bevezetni, hogy ez a szétválasztás kompatibilis legyen a relativitáselmélettel? A probléma megoldható, csak kicsit trükkösen. (Ez volt 35 éve a doktori disszertációm egyik fejezete.) A továbbiakban ennek az eljárásnak a részleteire nem lesz szükségünk. A kérdés és megoldása beleolvasztható a lokális egyensúly hipotézisébe vagy axiómájába: LÉTEZIK olyan eljárás, amely egyértelműen definiálja a mozgó relativisztikus folyadék fizikailag infinitézimális darabkájának hőmérsékletét, nyomását és egyéb termodinamikai paramétereit.

---------
A továbbiakban az a matematikai feladat vár ránk, hogy a termodinamika kiterjedt homogén testekre érvényes összefüggéseit átírjuk a lokális nyugalmi rendszerekben értelmezett mennyiségek közti összefüggésekre. Ha ez sikerült, a kezünkben vannak azok a fizikai mennyiségek, amelyeket a folytonos közegek mechanikájában a mozgásegyenletek levezetésére szolgáló variációs elvben a Lagrange-sűrűségfüggvény felépítéséhez használhatunk.

(folyt. köv.)

dgy

[dgy]

RELATIVISZTIKUS HIDRODINAMIKA
(folytatás, 2. rész)

1/ Termodinamikai alapok

f/ Az első főtétel és értelmezése

A termodinamika nevezetes első főtétele az energia megmaradását fejezi ki, speciális termodinamikai kontextusban. Ezzel kapcsolatban sokféle félreértés van forgalomban, ezért érdemes kissé részletesebben foglalkoznunk vele.

Vizsgáljuk meg a legegyszerűbb termodinamikai anyagokat! Egy ilyen anyagból készült homogén testet a tapasztalat szerint három extenzív mennyiség jellemez, pl az részecskeszám, a térfogat és az belső energia (a test alakja nem számít, mert eltekintünk a felületi jelenségektől). (Az energia "belső" jelzőjét a továbbiakban elhagyom.) Egy újabb extenzív mennyiség, pl az entrópia kifejezhető ezek elsőrendű homogén függvényeként. Azaz létezik az



függvény. A későbbi számítások egyszerűsítése céljából általában nem ezzel a függvénnyel, hanem az egyik inverzével dolgozunk: fejezzük ki a fenti képletből az energiát. Ekkor az energiát kapjuk meg , és homogén elsőrendű függvényeként:

(1)

A termodinamika első főtétele ezekkel a mennyiségekkel írható fel:

(2)

Ez a képlet sok könyvben szerepel, de általában nem hangsúlyozzák kettős, sőt hármas jelentését (precíz matematikus ezt külön jelöléssel, vagy más típusú betűk használatával tenné szembetűnővé).

Az egyik értelmezés szerint a differenciál-operátor kicsiny időbeli változásokat jelöl, a jobboldal három tagja pedig három "elemi kölcsönhatásra" vonatkozik. Az egyszerűség kedvéért gondoljunk a (kívülről fix méretű és hőszigetelő burokba helyezett) hengerre, a benne mozgó dugattyúra, és a dugattyú két oldalán elhelyezkedő, azonos anyagú, de más állapotú gázra.

Ha megengedjük a dugattyú elmozdulását, de a dugattyú anyaga nem ereszti át sem a gázmolekulákat, sem a hőt, akkor az elemi folyamat során az egyik oldali gáznak csak a térfogata változik meg -vel. Ezzel arányos a belső energia megváltozása (a "munkavégzés"):



A térfogatváltozás együtthatóját -vel jelöljük, ez a mennyiség persze függ a gáz aktuális állapotától. (A negatív előjel puszta konvenció, tapasztalatból tudjuk, hogy az együttható negatív, ezért az ellentettjét, a megfelelő pozitív mennyiséget nevezzük "nyomásnak", és jelöljük -vel.)

Ha a dugattyút rögzítjük, de anyaga átengedi a hőt, akkor egy másfajta kölcsönhatás, "hőátadás" zajlik a dugattyú két oldalán levő gázok között. Ennek során -sel megváltozik a gáz entrópiája, és ezzel arányosan az energiája is. Az együtthatót -vel jelöljük, és hőmérsékletnek nevezzük:



(Történetileg elég későn, csak a 19. század közepén jöttek rá, hogy az elemi hőátadás ilyen alakba írható, ekkor vezették be az entrópia fogalmát.) A hőmérséklet a tapasztalat szerint pozitív, és persze függ a rendszer állapotától.

A harmadik elemi folyamatban csak gázmolekulákat engedünk át az egyik féltérből a másikba, a térfogat és az entrópia változását nem engedjük meg. Ez gyakorlatilag megvalósíthatatlan, matematikailag azonban értelmezhető. Ekkor az energia megváltozása arányos a részecskeszám megváltozásával:



Az együttható, a kémiai potenciál pozitív és negatív is lehet, és függ a gáz állapotától.

Hangsúlyozni kell, hogy a fenti képletek csak elemi, infinitézimális változásokra érvényesek. Mivel az együtthatók függnek az állapottól, és a folyamat során az állapot megváltozik, a képletek véges (nem infinitézimális) mértékű térfogat-, entrópia- és részecskeszám-változásra NEM integrálhatók fel! Nem létezik tehát pl alakú képlet véges nagyságú térfogatváltozásra.

A (2) képlet másik értelmezése szerint egyszerűen az (1)-ben szereplő függvény differenciálját, kis mennyiségekre érvényes linearizált alakját jelenti. Kicsiny részecskeszám, ezzel arányosan kicsiny térfogat és kicsiny entrópia esetén a kis rendszer energiáját (2) adja meg. Ebben az értelemben viszont a képlet "felintegrálható" véges részecskeszám, térfogat és entrópia esetére is. Itt most nincs szó folyamatról, időbeli változásról: a nagy térfogat minden kis résztérfogatában ugyanannyi a nyomás, a hőmérséklet és a kémiai potenciál, az extenzívek meg összeadódnak. Így kapjuk a "kiintegrált alakot:

(3)

Ha most ezt a kifejezést a jobb oldalon szereplő hat mennyiség függvényének tekintjük, és képezzük a differenciálját:



majd levonjuk belőle az első főtétel (2) alakját, megkapjuk a nevezetes Gibbs-Duhem relációt:

(4)

Ez a három intenzív állapotjelző, a nyomás, a hőmérséklet és a kémiai potenciál változása között állapít meg összefüggést.

(2), (3) és (4) az egyszerű homogén testek termodinamikájának alapösszefüggései. Természetesen csak akkor válnak konkrét testekre vonatkozó egyenletekké, ha ténylegesen megadjuk pl a nyomás, a T hőmérséklet és a kémiai potenciál függvényalakját az részecskeszám, a térfogat és az entrópia függvényében. Ez azonban felesleges részletezés lenne. Elegendő megadni egyetlen háromváltozós (elsőrendű homogén) függvényt, pl az (1) képlet szerint az belső energiát az részecskeszám, a térfogat és az entrópia függvényében. Ennek az ún fundamentális egyenletnek az ismeretében az intenzív mennyiségeket egyszerű parciális deriválással kaphatjuk, ha a (2) képletet az (1) függvény differenciáljára vonatkozó összefüggésnek tekintjük:

(5)

A zárójelek melletti betűk a termodinamikában szokásos konvenció szerint azt jelentik, hogy e mennyiségeket kell állandonak tartani a parciális derivált képzése során. Az fundamentális egyenlet ismeretében a parciális deriváltak könnyen képezhetők, így a test összes termodinamikai állapotjelzőjét ismerjük a független (extenzív) állapotjelzők minden értéke esetén.

g/ Más fundamentális függvények

Az (5) képlet szerint a test anyagára jellemző (homogén test esetén mindenütt ugyanakkora értékű) intenzív paraméterek kifejezhetők az energia, mint fundamentális függvény deriváltjaival. E mennyiségek általában monoton függvényei a hozzájuk tartozó extenzív mennyiségnek (ha a másik két extenzív értékét rögzítjük): a nyomás a térfogatnak, a hőmérséklet az entrópiának, a kémiai potenciál pedig a részecskeszámnak. Így ezek a(z egyváltozósnak tekintett) függvények elvileg invertálhatók. Azaz előállítható a ), az és az függvény. Ezek segítségével új extenzív mennyiségeket definiálhatunk:

- e mennyiség neve szabadenergia.

Hasonlóképpen:

- e mennyiség neve entalpia.

Végül egy újabb hasonló (ún Legendre-)transzformációval:

- ez a szabadentalpia.

Az első főtétel (2) alakja alapján kiszámíthatjuk e mennyiségek differenciáljait is:







Az utóbbi képletek azt mutatják, hogy a korábban vizsgált fundamentális függvények mellett az szabadenergia, a entalpia és a szabadentalpia is tekinthető fundamentális függvénynek, hiszen belőlük a legutóbbi képletek alapján a többi termodinamikai mennyiség parciális deriválással megkapható. (Fontos, hogy e mennyiségeket a zárójelben jelölt "kanonikus változóik" függvényeként állítsuk elő, hiszen ekkor értelmesek a fenti differenciális kifejezések.) Bizonyos esetekben e fundamentális függvények használata kényelmesebb, egyszerűbb számításokat tesz lehetővé: pl állandó hőmérsékleten végbemenő folyamatokat érdemes a szabadenergiából kiindulva tárgyalni, hiszen ekkor az ) függvény egyik változója, a T hőmérséklet már nem változó, hanem konstans paraméter lesz, így a fundamentális függvény kétváltozóssá válik. Hasonlóképp az állandó nyomáson végbemenő folyamatok (pl a víz párolgása) leírására a legjobb függvény a ) entalpia, ebben a nyomás válik változóból paraméterré. Állandó hőmérsékleten és egyben állandó nyomáson végbemenő kémiai reakciókat a szabadentalpia segítségével tárgyalnak. Ekkor a függvény két változója is konstans paraméter lesz, ezért a függvény csak az részecskeszámtól függ, ennek követését teszi lehetővé (pl egy kémiai átalakulás során).

------------
A kiterjedt, ám homogén testek termodinamikai leírása tehát egyetlen háromváltozós fundamentális függvénnyel megadható. Következő feladatunk ennek az elméletnek a kiterjesztése a térben változó (csak a "fizikailag infinitézimális" térfogatocskában állandónak tekinthető) állapotú közegek esetére.

(folyt. köv.)
dgy

[dgy]

RELATIVISZTIKUS HIDRODINAMIKA
(folytatás, 3. rész)

1/ Termodinamikai alapok

h/ Extenzív mennyiségek sűrűségei és a rájuk vonatkozó összefüggések

Mint korábban megállapodtunk, nem foglalkozunk a (kiterjedt testek esetén amúgy is elhanyagolható) felületi jelenségekkel. Ezért a test állapotát leíró, termodinamikai jellemzői közt összefüggést teremtő fundamentális függvények nem függnek a test alakjától, csak a test anyagától, és anyagának "teljes mennyiségétől", amit akármelyik extenzív mennyiséggel, célszerűen a térfogattal vagy a részecskeszámmal adhatunk meg. Ha a rendszer részecskeszámát kétszeresére növeljük, de "ugyanolyan állapotú" anyagot használunk, akkor a térfogat, az energia és az entrópia is a kétszeresére nő. Ezért a fenti összefüggések, a fundamentális függvények igazából nem is a vizsgált testre, hanem annak "anyagára" jellemzők. Ezt a fontos megkülönböztetést hangsúlyozza és emeli ki a termodinamika egyik modern és matematikailag korrekt leírása: Matolcsi Tamás: Közönséges termodinamika, Scolar kiadó, 2016.

Ebből az következik, hogy mindegyik extenzív mennyiség, pl a test energiája arányos az egyik alapextenzívvel, pl a térfogattal. Az arányossági tényező az egységnyi térfogatra jutó energia, szokásos nevén az energiasűrűség. Ez persze függ a többi mennyiségtől - de igazából nem a teljes test részecskeszámától és entrópiájától, hanem ezek egységnyi térfogatra eső értékétől. Másképp mondva: ha a nagy homogén testből kivágunk egy egységnyi térfogatú darabot, ennek állapota ugyanolyan, mint a teljes testé, és a rá eső extenzív mennyiségek (az extenzívek sűrűségei) közti összefüggés ugyanolyan lesz, mint a teljes test esetében. Ezért az energiasűrűség mellett érdemes bevezetni az részecskeszám-sűrűséget és a entrópiasűrűséget. (A harmadik ilyen jellegű mennyiség, "az egységnyi térfogatra eső térfogat" azonosan 1, ezért ezt nem kell szerepeltetni.) E jelölésekkel a test energiája, mint fundamentális függvény a következő alakba írható (ebben a képletben a fundamentális függvényt ideiglenesen -fel jelöljük, hogy megkülönböztessük az ő értékétől):



Első fontos eredményünk, hogy a homogén testek anyagára jellemző, a sűrűségek közti összefüggést leíró nem három-, hanem kétváltozós függvény.

Az extenzív mennyiségek sűrűségei nulladrendű homogén függvények (emlékezzünk vissza: két elsőrendű homogén függvény hányadosa nulladrendű homogén függvény: ha a számláló és a nevező is kétszeresére változik, a hányados változatlan marad). E mennyiségek ennek ellenére nem intenzív paraméterek, nem mondhatjuk eleve, hogy akkor van egyensúly, ha ezek a mennyiségek mindenhol ugyanakkorák.

Számítsuk ki az energiasűrűség differenciálját, és közben használjuk fel a belső energia (3) képletét, valamint az első főtétel (2) alakját!



Vegyük észre, hogy a képletből kiesik a nyomást és a térfogatot tartalmazó tag. A maradék négy tag kettesével csoportosítható:



és kiemelése után felismerhetjük a és az mennyiségek differenciálját:



Eredményünk szerint tehát a térfogategységekre, illetve az extenzívek sűrűségeire vonatkozóan felírt

(1')

függvény differenciáljaival így írható fel az első főtétel:

(2')

Maga az energiasűrűség a (3) képlet V-vel való osztásával így fejezhető ki:

(3')

A még hiányzó formulát a (4) Gibbs-Duhem reláció -vel való osztásával kapjuk:



Átrendezve:



A Gibbs-Duhem reláció sűrűségekre vonatkozó végső alakja tehát:

(4')

Ha a (2') és a (4') képletet összeadjuk, a jobboldalon a mennyiség differenciálját ismerjük fel. A baloldal viszont az entalpiasűrűség differenciálját ismerjük fel. A két mennyiség a (3) vagy a (3') összefüggés következtében valóban egyenlő.

Összefoglalva: ha egy homogén anyagdarab egységnyi térfogatregységre vonatkoztatott extenzív mennyiségeivel, azaz a sűrűségekkel dolgozunk, akkor a termodinamika alapösszefüggéseit a (2'), (3') és (4') összefüggések adják meg, a konkrét anyagfajta definiálására pedig az (1') kétváltozós fundamentális függvény szolgál.

i/ A folytonos közegek lokális termodinamikájának alapfeltevése

Az d/ részben leírtak alapján nem jelenthet meglepetést, ha axiómaként kimondjuk: egy nem homogén, folytonos anyag belsejében az (1'),(2'), (3') és (4') képletek továbbra is érvényesek - egy-egy fizikailag infinitézimális térfogatelemen belül. Az összes szereplő mennyiség lehet a hely és az idő függvénye, de értékük úgy változik egymással szinkronban, hogy a fenti egyenletek mindig és mindenhol érvényesek.

A relativitáselméletben az e/ pontnak megfelelően ezt azzal kell kiegészíteni, hogy fizikailag infinitézimális térfogatelemen mindenhol a lokálisan nyugvó inerciarendszerben értelmezett térfogatelemet kell értenünk.

A mennyiségek helyfüggése miatt természetesen az intenzív paraméterek nem homogén eloszlásúak. Gradienseik az extenzív mennyiségek áramlását, kiegyenlítődési folyamatokat indítanak el. Az ezekre vonatkozó feltevések nem következnek a homogén termosztatikai törvények itt vázolt extrapolációjából, e törvényeket (a tapasztalatokra alapozva) külön kell felállítani.

Megjegyzés: nem kell feltétlenül az energiára vonatkozó fundamentális függvényből kiindulnunk. Hasonló konstrukció végezhető el az szabadenergiából, a entalpiából és a szabadentalpiából kiindulva is. A megfelelő új fundamentális függvények e mennyiségek sűrűségeit fejezik ki egy (vagy két) intenzív paraméter és egy másik extenzív mennyiség sűrűségének függvényében. (Érdemes felismerni, hogy a szabadentalpia sűrűsége éppen megegyezik a kémiai potenciállal.)

-----------------
A következő lépésben a térfogategységre vonatkozó mennyiségekről áttérünk az egy részecskére vonatkozó mennyiségekre. Végül pedig levezetjük a termodinamikai összefüggéseknek azt az alakját, amely közvetlenül felhasználható a speciális (és az általános) relativitáselmélet hidrodinamikájának variációs elvében.

(folyt köv)
dgy

[dgy]

RELATIVISZTIKUS HIDRODINAMIKA
(folytatás, 4. rész)

1/ Termodinamikai alapok

j/ Extenzív mennyiségek fajlagos értékei és a rájuk vonatkozó összefüggések

Az előző részben megkerestük a folytonos közegek "kis darabjaira", nevezetesen egységnyi térfogatára jellemző mennyiségeket, a sűrűségeket (ezek homogén testek esetén egyszerűen egy extenzív mennyiség és a térfogat hányadosai), majd felírtuk a rájuk vonatkozó alapvető összefüggéseket. Nem homogén testek esetén ugyanezek az összefüggések érvényesek az anyag kicsiny, "fizikailag infinitézimális" térfogatelemében.

A relativitáselméletben a térfogattal való osztás kényelmetlen művelet, a térfogat ugyanis nem Lorentz-invariáns mennyiség. Ezért kérdés, hogy a bevezetett sűrűség-jellegű mennyiségek hogyan transzformálódnak. Felmerül, hogy esetleg célszerűbb lenne nem a térfogattal, hanem egy Lorentz-invariáns extenzív mennyiséggel osztani. Ilyen mennyiség magától kínálkozik: az részecskeszám. Ezért szokás az extenzíveket nem egységnyi térfogatra, hanem egységnyi részecskeszámra, azaz egy részecskére vonatkoztatni. Az így kapott mennyiségeket nevezik az adott extenzív paraméter fajlagos értékeinek.

Persze azonnal beleütközünk egy elvi jellegű kifogásba. Míg az eddig használt "egységnyi térfogatot" azonosíthattuk a "fizikailag infinitézimális" térfogatelemmel, amely matematikailag kicsinynek tekinthető (azaz amin belül nem változnak lényegesen - mondjuk egy ezreléknél jobban - az intenzív paraméterek), ám fizikailag "végtelen", azaz elegendően sok részecskét tartalmaz ahhoz, hogy értelmes legyen a statisztikus fizika termodinamikai limesze, a sok részecskére történő átlagolás. Ugyanez nyilvánvalóan nem mondható el akkor, ha az "elemi cella" egyetlen részecskét tartalmaz, azaz az extenzíveket egyetlen részecskére vonatkoztatjuk. Egyetlen részecske nyilván nem alkot gázt, nem lehet rá átlagolni, az egyetlen részecskéből álló "gáznak" nincs hőmérséklete, nyomása stb.

Ez a látszólagos paradoxon triviális módon feloldható. Az extenzív mennyiségek elsőrendú homogenitása miatt azt is gondolhatjuk, hogy a mennyiségeket nem egyetlen, hanem sok, de rögzített számú részecskére vonatkoztatjuk - annyira, hogy ilyen sok részecske esetén már bízhassunk a termodinamikai limesz létezésében. A kémiában általában 1 mólnyi (azaz 6 * 10 db) részecskét szoktak ilyen célra alkalmazni. Az így kapott képletek pontosan ebben a rögzített részecskeszámot kifejező szorzóban térnek el azoktól, amiket egy részecskére vonatkoztathatnánk. Ezt a szorzót a végső formulákból könnyen eltüntethetjük. Így (e kerülőt lerövidítve) elvi hiba elkövetése nélkül is dolgozhatunk rögtön az egy részecskére vonatkozó, azaz a fajlagos mennyiségekkel.

A továbbiakban pontosan a h/ részben bemutatott számítás útját követjük.

A homogén testekre vonatkozó háromváltozós összefüggéseket a testek anyagára jellemző kétváltozós függvényekkel akarjuk kifejezni. Ehhez felhasználjuk, hogy mindegyik extenzív mennyiség, pl a test energiája is arányos az egyik alapextenzívvel, jelen esetben az részecskeszámmal. Az arányossági tényező az egy részecskére jutó avagy fajlagos energia. Ez persze függ a többi mennyiségtől - de igazából nem a teljes test térfogatától és entrópiájától, hanem ezek egy részecskére eső értékétől. Ezért bevezetjük az az fajlagos energia mellett a fajlagos térfogatot (ez éppen reciproka az részecskeszám-sűrűségnek) és az fajlagos entrópiát. (A harmadik ilyen jellegű mennyiség, "az egy részecskére jutó részecskeszám" azonosan 1, ezért ezt nem kell szerepeltetni.) E jelölésekkel a test energiája, mint fundamentális függvény a következő alakba írható (ebben a képletben a fundamentális függvényt ideiglenesen -fel jelöljük, hogy megkülönböztessük az ő értékétől):



Első fontos eredményünk, hogy a homogén testek anyagára jellemző, a fajlagos mennyiségek közti összefüggést leíró nem három-, hanem kétváltozós függvény.

Az extenzív mennyiségek fajlagos értékei nulladrendű homogén függvények (emlékezzünk vissza: két elsőrendű homogén függvény hányadosa nulladrendű homogén függvény: ha a számláló és a nevező is kétszeresére változik, a hányados változatlan marad). E mennyiségek ennek ellenére nem intenzív paraméterek, nem mondhatjuk eleve, hogy akkor van egyensúly, ha ezek a mennyiségek mindenhol ugyanakkorák.

Számítsuk ki az fajlagos energia differenciálját, és közben használjuk fel a belső energia (3) képletét, valamint az első főtétel (2) alakját!



Vegyük észre, hogy a képletből kiesik a kémiai potenciált és az részecskeszámot tartalmazó tag. A maradék négy tag kettesével csoportosítható:



és kiemelése után felismerhetjük az és a mennyiségek differenciálját:



Eredményünk szerint tehát az egy részecskére, azaz az extenzívek fajlagos értékeire vonatkozóan felírt

(1'')

függvény differenciáljaival így írható fel az első főtétel:

(2'')

Maga az energiasűrűség a (3) képlet -nel való osztásával így fejezhető ki:

(3'')

A még hiányzó formulát a (4) Gibbs-Duhem reláció -nel való osztásával kapjuk:



Átrendezve:



A Gibbs-Duhem reláció fajlagos mennyiségekre vonatkozó végső alakja tehát:

(4'')

Ha a (2'') képletből kivonjuk a (4'') képletet, a jobboldalon az mennyiség differenciálját ismerjük fel. A baloldal viszont az mennyiség differenciálját ismerjük fel. A két mennyiség a (3) vagy a (3'') összefüggés következtében valóban egyenlő. (Az mennyiség egy -hez, -hoz és -hez hasonló, de saját névvel nem rendelkező új fundamentális függvény, termodinamikai potenciál.)

Összefoglalva: ha egy homogén anyagdarab egy részecskére vonatkoztatott extenzív mennyiségeivel, azaz a fajlagos mennyiségekkel dolgozunk, akkor a termodinamika alapösszefüggéseit a (2''), (3'') és (4'') összefüggések adják meg, a konkrét anyagfajta definiálására pedig az (1'') kétváltozós fundamentális függvény szolgál.

k/ Egy utolsó trükkös termodinamikai átalakítás

Az első főtétel sűrűségekre felírt (3') alakjában a entrópiasűrűség differenciálja szerepel:



Ez nem túlságosan szemléletes mennyiség, ezért célszerű tőle megszabadulni. Írjuk ki tehát részletesen:



Ezért



Az itt felbukkant mennyiséget a (3) összefüggés alapján alakíthajuk át:



A vizsgált mennyiség tehát a fajlagos entalpia, amit szokás szerint -vel jelölünk.

E mennyiség bevezetésével az első főtétel (3') alakja így írható:

(3''')

Ez a képlet azt is mutatja, hogy az energiasűrűségert az eddigi alak mellett tekinthetjük a részecskeszám-sűrűségtől és az fajlagos entrópiától függő kétváltozós függvénynek is:

(5)

Ennek differenciálja a fentiek szerint

(6)

azaz a megfelelő parciális deriváltak:



Ugyanilyen szellemben átalakítható a (4') Gibbs-Duhem reláció is:

(4')

Fejezzük ki a fenti, a fajlagos entalpia bevezetéséhez vezető számolásból a kémiai potenciált:



majd helyettesítsük be ezt (4')/be, a entrópiasűrűséget pedig írjuk alakba:



A Gibbs-Duhem reláció új alakja tehát



Ez egyben azt is jelenti, hogy a nyomás előállítható a fajlagos entalpia és az s entrópiasűrűség kétváltozós függvényeként:

(7)

ennek differenciálja:

(8)

a megfelelő parciális deriváltak pedig a következők:



Ha a (6) és (8) képleteket összeadjuk, a jobboldalon az fajlagos entrópia differenciálja kiesik, és a jobboldal az entalpiasűrűség differenciálja lesz. A baloldalon pedig , ismét az entalpiasűrűség differenciálját ismerhetjük fel. Rögzítsük ezt az összefüggést is:

(9)

Az ebben a részben bevezetett (5) és (7) függvények, a köztük fennálló (9) összefüggés, a differenciális (6) és (8) formulák, illetve az idézett parciális deriváltak alkotják a relativisztikus hidrodinamika kiindulópontjaként szolgáló termodinamikai formulagyűjteményt.

-------

A következő részben fel fogjuk írni az ideális (azaz súrlódásmentes) folyadék hidrodinamikájának kiindulópontjaként szolgáló, a speciális és általános relativitáselméletben egyaránt érvényes variációs elvet. Ehhez fel fogjuk használni a most levezetett (5)-(9) képleteket.

(folyt. köv)
dgy

[dgy]

RELATIVISZTIKUS HIDRODINAMIKA
(folytatás, 5. rész)

2/ A hidrodinamika hatásintegrálja

a/ Variációs formalizmus a pontmechanikában

A klasszikus mechanika egyik legáltalánosabban használható és leghatékonyabb, egyben legtakarékosabb módszere a variációs formalizmus. Takarékos abban az értelemben, hogy a vizsgált rendszerről szerzett összes információnkat egyetlen matematikai objektumba, az ún. hatásintegrálba koncentrálja - a rendszer mozgását, dinamikáját kormányzó differenciálegyenletek, a rendszer megmaradó mennyiségei és más jellemzői egy általános matematikai módszer, a variációszámítás algoritmusa szerint ebből a kifejezésből származtathatók le.

A klasszikus mechanikában a vizsgált rendszert a független időváltozó egy vagy több függvényével, az ún. általános koordinátákkal írjuk le. Szokásos jelölésük , ahol a index számozza az általános koordinátákat - fontos megjegyezni, hogy a mechanikában ezek száma ( - a szabadsági fokok száma) mindig véges. Az általános koordináták időderiváltjait általános sebességeknek nevezzük. Az elméletben központi szerepet játszik az ún. Lagrange-függvény - ez egy változós függvény, az általános koordináták, az általános sebességek és a független időváltozó valamilyen függvénye:



A hatásintegrál a Lagrange-függvény valamilyen rögzített (egyébként tetszőleges) időintervallumra vett integrálja. Az integrálást úgy kell érteni, hogy a Lagrange-függvényben szereplő általános koordináták (és deriváltjaik) helyébe az idő valamilyen konkrét függvényét helyettesítjük be, ekkor a Lagrange-függvény is csak az idő függvényévé válik és az idő szerint integrálható:

(10)

A mechanika variációs elve azt mondja ki, hogy a rögzített kezdő- és végpontok között lehetséges különböző mozgáspályák közül a valóságosan megvalósulót az tünteti ki, hogy a "szomszédjaival" (azaz a függvények kicsiny megváltoztatásával elképzelt, ún. variált pályákkal) összehasonlítva a mozgást, a hatásintegrál értéke első közelítésben nem változik. Ha nem a valódi mozgásokat leíró függvényeket helyettesítenénk be a Lagrange-függvénybe, akkor a hatásintegrál értéke már e függvények kis megváltoztatásakor is lényegesen változna. Azt mondjuk, hogy a hatásintegrál a valódi pálya esetén stacionárius. A legtöbb esetben ez úgy valósul meg, hogy a hatásintegrál értéke a valódi pályán minimumot vesz fel, ezért nevezik gyakran ezt a variációs elvet "a legkisebb hatás elvének" (bár a precíz matematikusok szerint ez a név nem ezt, hanem egy rokon elvet illeti).

Röviden ezt úgy szokták megfogalmazni, hogy a koordináta-függvények kis változtatása, "variációja" során a hatásintegrál nem változik, variációja nulla (a mennyiségek variációját a jellel jelöljük):

(11)

A fenti elv magában foglalja az egész mechanikát (kivéve a súrlódási, disszipációs jelenségeket - ezekkel az elméleti fizika egy elegáns vállrándítás kíséretében nem foglalkozik ), csak ki kell bontani... Elvileg egyszerű a helyzet: helyettesítsünk be Lagrange-függvénybe különböző függvényeket, számítsuk ki a hatásintegrált, és keressük meg, mikor a legkisebb az integrál értéke - ezek a függvények írják le a valódi mozgást. A gyakorlatban ez persze kivihetetlen, hiszen végtelen sok lehetséges függvénnyel kísérletezhetnénk, másrészt az integrál technikai kiszámítása is nehézségekbe ütközik. Euler, Lagrange és követőik ezért fejlesztették ki a variációszámítás nevű matematikai tudományágat. Ez a fenti problémát megoldó függvények meghatározását bizonyos differenciálegyenletek (ún. Euler-Lagrange-egyenletek) megoldására vezeti vissza. A diffegyenletek tudománya a matematika jól kiművelt ága, az egyenletek megoldására számos elvi és numerikus módszer áll rendelkezésünkre, így az eredeti feladatot egy jól kezelhető másikra vezettük vissza.

Ebből a célból először bevezetjük az Lagrange-függvény különböző parciális deriváltjait (és speciális nevekkel látjuk el őket):

- e mennyiségeket általánosított erőkomponenseknek nevezzük,

- e mennyiségek az általánosított impulzusok.

A és mennyiségek továbbra is függnek az általános koordinátáktól és sebességetől, valamint az időtől - konkrét függvények behelyettesítése esetén ezeken át csak az időtől. A gyakorlati esetekben az általánosított impulzusok az általános sebességkomponensek lineárkombinációi, a kombináció együtthatói általában nem állandók, hanem az általános koordináták és az idő függvényei.

Ezek után felírjuk az Euler-Lagrange-egyenleteket (a index minden értékére, -től -ig):

(12)

A baloldalon az idő szerinti deriválást úgy kell érteni, hogy a mennyiségekbe behelyettesítjük a konkrét függvényeket, és az így kapott időfüggvényt deriváljuk.

Az Euler-Lagrange egyenletek az db függvényre vonatkozó, másodrendű (azaz az idő szerinti második deriváltakat tartalmazó), db egyenletből álló közönséges differenciálegyenlet-rendszert alkotnak. (A legegyszerűbb esetben ezek megegyeznek a Newton-féle mozgásegyenletekkel.) A megfelelő kezdőfeltételek birtokában és azokhoz illesztve az egyenletek megoldásaként kapott függvények írják le a rendszer mozgását.

b/ Szimmetriák

A "szimmetria" kifejezés azt jelenti, hogy valamit megváltoztatunk, más valami mégsem változik. Pl. a közönséges tükörszimmetria esetén a vizsgált objektum a tükrözés után azonos marad az eredetivel, attól megkülönböztethetetlen lesz. Matematikailag ez azt jelenti, hogy egy transzformációt hajtunk végre (azaz a rendszert leíró koordináta-függvényekről új, függvényekre térünk át), de a rendszert jellemző alapmennyiség, nevezetesen a hatásintegrál nem változik. (Ténylegesen megengedhetjük, hogy a hatásintegrál értéke a transzformáció során egy hozzáadott állandóval módosuljon, ez ugyanis nem változtatja meg a szélsőérték-tulajdonságokat.)

A különböző fizikai rendszerek más-más szimmetria-transzformációkra nézve invariánsak. Tapasztalataink szerint van e szimmetria-transzformációknak egy olyan halmaza, amelyre nézve minden fizikai rendszer, minden fizikai jelenség invariáns (ha a gravitációs jelenségeket elhanyagoljuk, vagy olyan kis rendszert vizsgálunk, amelyben a gravitáció lényegtelenné válik).

Eme univerzális szimmetria-transzformációk a következők:
- térbeli eltolás (három paraméterrel adtató meg);
- időbeli eltolás (egy paraméteres);
- térbeli elforgatás (három paraméteres);
- "boost", avagy Galilei-féle transzformáció: áttérés a bakter rendszeréről az egyenes pályán állandó sebességgel haladó Einstein-vonat utasának koordináta-rendszerére.

Eme, összesen tíz folytonos paraméterrel leírható transzformációk bármely kombinációja, egymásutánja is megengedett transzformáció. Ezt matematikailag úgy fogalmazzuk meg, hogy e transzformációk csoportot alkotnak.

Nagyon fontos matematikai tény, hogy e tíz transzformáció nem egyféleképpen rakható össze szimmetriacsoporttá, és nem is három-, negyvenkét- avagy végtelen-féleképpen, hanem pontosan kétféleképpen. (Ezt a tényt csak 1985-ben sikerült matematikailag szigorúan bebizonyítani.) Az egyik csoportot Galilei-, a másikat Poincaré-csoportnak nevezzük - ezek képezik a klasszikus mechanika, illetve a speciális relativitáselmélet matematikai hátterét.

c/ Szabad részecskék

Bizonyos fizikai rendszerekre látszólag nem érvényesek a fenti szimmetriák. Tekintsük pl a Nap körül keringő Földet. Ha az ellipszispályát elforgatjuk a Nap mint középpont körül, a Föld egy másik lehetséges mozgását kapjuk - más kezdőfeltételekkel éppen így is mozoghatna. De ha az ellipszist eltoljuk mondjuk egymilliárd kilométerre, akkor a Föld a Nagy Semmi egy pontja körül fog keringeni - ez a mozgás nem megoldása a Newon-egyenleteknek, és mindenki érzi, hogy ilyen mozgás "magától" (a Földre szerelt erős rakétahajtóművek nélkül) nem valósulhat meg. A Földre tehát nem érvényes a térbeli eltolás általános szimmetriatörvénye? De érvényes, csak - mindenki érzi - a Földet nem "magában", hanem a Nappal együtt kellett volna eltolni. A szimmetriaelvekbe tehát óvatosan bele kell foglalni, hogy a "teljes" avagy "zárt" rendszer transzformációjára kell gondolnunk, különben nem érvényes a szimmetriaelv.

Vannak olyan igen egyszerű fizikai rendszerek, amelyekre minden korlátozás nélkül érvényes a teljes szimmetria, azaz a szimmetriacsoport mindegyik transzformációja. Ha megvizsgáljuk az egyszerű rendszer valamelyik lehetséges mozgását, és alkalmazzuk rá a szimmetriák valamelyikét, ugyanennek a rendszernek valamelyik másik lehetséges mozgását kapjuk. Sőt ez fordítva is érvényes: a rendszer összes lehetséges mozgását megkaphatjuk úgy, hogy egy tetszőleges kiválasztott mozgásra alkalmazzuk a szimmetriacsoport valamelyik transzformációját. (Matematikailag ezt úgy fogalmazzák meg, hogy a rendszer összes lehetséges mozgása a szimmetriacsoport egyetlen orbitját alkotja.)

Az ilyen speciális egyszerű rendszereket "szabad részecskéknek" nevezzük.

A klasszikus és a relativisztikus mechanikában a szabad részecskék megengedett mozgásai az egyenes vonalú, állandó sebességű mozgások. (A kvantumelméletben bonyolultabb a helyzet, lásd a spin és a Zitterbewegung jelenségét.) Valóban: ha ezt a mozgást térben vagy időben eltoljuk, elforgatjuk, vagy más inerciarendszerből szemléljük, továbbra is egyenes vonalú, állandó sebességű mozgást látunk.

A szabad részecskék jellemző tulajdonsága, hogy a mozgásuk törvényeit leíró hatásintegrált pusztán a megfelelő szimmertiacsoportra (Galilei-, illetve Poincaré-csoportra) támaszkodva megkonstruálhatjuk. Ilyen értelemben a szabad részecskék mechanikája tulajdonképpen nem más, mint alkalmazott csoportelmélet.

A Landau-sorozat I. kötetében (Mechanika) található egy "levezetés", amely "bebizonyítja", hogy a Galilei-féle transzformációcsoportra nézve invariáns szabad részecske Lagrange-függvénye csakis alakú lehet, ahogy egy (tömeg dimenziójú) pozitív állandó, pedig a részecske sebességvektora. A II. kötet (Klasszikus mechanika) "levezeti" a hatásintegrál egyetlen lehetséges kifejezését a speciális relativitáselmélet Poincaré-csoportja esetén:

(13)

ahol a fénysebesség, ismét egy (tömeg dimenziójú) pozitív állandó, pedig a mozgó tömegpont sajátideje.

A "levezetés" és a "bebizonyítja" szavakat azért tettem idézőjelbe, mert a Landau által közölt gondolatmenet nemcsak pongyola (ahogy tőle megszokhattuk), hanem matematikailag egyenesen hibás. A végeredmény persze helyes. A matematikailag korrekt levezetéseket csak 1995-ben publikálta (a Matolcsi-féle téridő-modellre támaszkodva) TDK-dolgozatában Balázs Márton (akkori) ELTE-s fizikus hallgató.

Balázs tétele nyomás elfogadhatjuk, hogy a (speciális) relativisztikus szabad részecske hatásintegrálja valóban a (13) kifejezés. (Megjegyzés: ez a képlet az általános relativitáselméletben is érvényes marad, csak ott a sajátidőt a görbült téridő geometriája szerinti ívhossz-képzéssel kell kiszámítani.) Hangsúlyozni kell, hogy a képletben szereplő paraméternek (a "ráutaló" jelölésmód ellenére) nincs "tömeg" jelentése - csak azért kellett beírni a képletbe, mert a klasszikus mechanikában megszoktuk, hogy a hatásintegrál energia * idő dimenziójú, ezért a sajátidő mellé szükség volt egy energia dimenziójú állandóra, és ezt írták (nosztalgia-okból) alakba.

Mit jelent fizikailag a (13) képlet? Az integrál a téridő-beli pálya mentén mozgó tömegpont által mért teljes sajátidőt jelenti - ezt mutatja az űrhajó órája, ha bejárta a megadott utat. Tudjuk, hogy két megadott (időszerűen elválasztott) téridő-beli pont között a sajátidőnek nincs minimuma, csak infinuma (alsó korlátja), ami nulla. Ugyanis ha elég gyorsan mozog az űrhajó, a sajátidő tetszőlegesen kicsi lehet - de nulla nem, mert ehhez más fénysebességgel kellene mozogni. Két ilyen útszakasszal tetszőleges két, időszerűen elválasztott pontot össze lehet kötni. A sajátidőnek tehát nincs minimuma. Ezért kell a képlet elé a minusz előjel. Ha azt akarjuk, hogy a hatás minimális legyen, akkor a sajátidőt maximálni kell. Azt viszont tudjuk, hogy a Minkowkski-geometriában a leghosszabb út az egyenes - azaz két (időszerűen elválasztott) esemény között a leghoszabb sajátidő annak telik el, aki a megfelelő inerciarendszerben nyugalomban van, más inerciarendszerből nézve tehát egyenes vonalú, állandó sebességű mozgást végez a két pont között. A képletben az energia dimenziójú szorzótényező nem játszik szerepet, csak arra kell ügyelnünk, hogy pozitív legyen.

Látjuk tehát, hogy a (13) képlettel felírt hatásintegrál valóban kifejezi azt, amit szeretnénk: ennek minimumát akkor kapjuk, ha a vizsgált részecske egyenes vonalú, állandó sebességű mozgást végez - ahogy azt egy szabad részecskétől el is várjuk.

Természetesen ugyanez jön ki akkor is, ha a (13) képletből megkonstruáljuk a megfelelő Euler-Lagrange-egyenletet. Ez azonban nem tehető meg közvetlenül a (12) egyenlet mintájára, hiszen a (13) hatásintegrál már ránézésre is alaposan különbözik a klasszikus mechanikai (10) alaktól - tulajdonképpen nem is találjuk meg benne a Lagrange-függvényt, amit deriválni lehetne... Ez a nehézség némi trükközéssel többféleképpen is áthidalható: áttérés háromdimenziós jelölésekre (Landau II. 8. fejezet), "brute force" variálás négyes írásmódban (uo. 9. fejezet), vagy a kovariáns Lagrange-formalizmus kidolgozása (könyvekben nem szerepel). Itt most egyik módszerre sem lesz szükségünk, csak azt kell megjegyeznünk, hogy a (13) hatásintegrálból kiindulva ezek az eljárások is az állandó sebességű mozgás differenciálegyenletére vezetnek - ahogy az el is várható.

------------
Következő feladatunk a (13) formula általánosítása szabad részecskéről kölcsönhatásban álló részecskére (ez a gyakorlatban külső, adott erőtérben mozgó részecskét jelent), illetve egynél több részecskére, végül folytonosan eloszló anyagra. Így jutunk el a hidrodinamikához.

(folyt köv)
dgy

[dgy]

RELATIVISZTIKUS HIDRODINAMIKA
(folytatás, 6. rész)

2/ A hidrodinamika hatásintegrálja

d/ Külső mezőben mozgó részecskék

A szabad részecskék relativisztikus hatásintegráljának

(13)

alakja levezethető a Poincaré-féle szimmetriacsoport alapján. Nincs azonban ilyen támpontunk a kölcsönhatásban álló, gyakorlatilag egy adott külső erőtér hatása alatt álló részecske esetén. Az erőtér (mező) helytől és időtől függő értéke ugyanis megsérti az eltolási szimmetriát, és vektoriális jellegű mezők esetén az irányok egyenértékűsége is sérül. Egyetlen követelmény van: a hatásintegrálnak skalárnak kell lennie, ezért ha a képletekben vektoriális mennyiségek is szerepelnek, ezekből skaláris kombinációt kell képeznünk. (Bonyolultabb esetben komplex értékű mezők is előfordulhatnak. Ilyenkor azt a követelményt is hozzá kell tennünk, hogy a hatásintegrálnak valós értékűnek kell lennie.) Eme elég laza követelmények betartása mellett számos lehetőségünk van a hatásintegrál felírására. Nem marad más, mint a tapasztalatra hagyatkozni: megvizsgálni, hogy a fizika eddigi történetében milyen alakú mozgásegyenletek fordultak elő, és hogy ezek milyen alakú hatásintegrálból vezethetők le.

Tapasztalataink szerint kétféle tenzori jellegű külső erőtérrel kell számolnunk: (négyes)skalár és (négyes)vektor értékű mezőkkel. Ezeket hagyományosan , illetve jelöli, ahol a téridő négy koordinátáját rövidíti. A hatásintegrálban ezeket a mennyiségeket kell kombinálni a vizsgált részecske pályájára jellemző adatokkal, illetve ezek differenciáljaival. Az eddigi tapasztalat szerint a legáltalánosabb hatásintegrál, amelyte a külső erőterekben mozgó részecskék leírására szükség volt, a következő alakú:



ahol valamilyen differenciálható függvényt jelent, a részecske világvonalán mért sajátidő-intervallum, a világvonal vonaleleme, pedig egy alkalmas konstans (ún. csatolási állandó). A részecske négyessebességét bevezetve a két integrál összevonható egyetlen, a sajátidő szerinti integrállá:

(14)

Az négyesvektor-potenciálra a tapasztalatok szerint az elektromágneses jelenségek leírásánál van szükség. Ezek a hidrodinamikában általában nem játszanak lényeges szerepet, kivéve az elektromosan töltött folyadékok vagy gázok, más néven plazmák áramlásának vizsgálatánál (ekkor speciális trükkökre van szükség az elektromágneses és a hidrodinamikai egyenletek együttes kezeléséhez). Ezért az egyszerűség kedvéért a továbbiakban nem foglalkozunk a vektorpotenciállal leírható külső erőterekkel. Marad a négyesskalár-mező esete, ekkor a hatásintegrál így írható:

(15)

Látható, hogy a szabad részecske (13) hatásintegrálja (15)-nek egy speciális esete, nevezetesen amikor az függvény az állandóval egyezik meg. Ezért nem kell csodálkozni, hogy részletes analízis után kiderül: a skalármezőben mozgó részecskék esetén az mennyiség játssza a (változó, hely- és időfüggő!) nyugalmi tömeg szerepét. A legegyszerűbb esetben, amely a Higgs-mechanizmus Nobel-díjjal jutalmazott elméletének klasszikus megfelelőjében szerepel, az függvény igen egyszerű: . Az elmélet mindazonáltal a "tömeg" fogalmának bevezetése nélkül is kiépíthető, és levezethető a részecske mozgásegyenlete is.

A (14) és (15) hatásintegrálok nem egy teljes, zárt rendszer leírására szolgálnak. A "külső" erőtér (skalár- vagy vektormező) ugyanis hat a részecske mozgására, de nem szenved el visszahatást - az elmélet nem tartalmazza a mozgó, gyorsuló részecske által kisugárzott elektromágneses vagy skalárhullámok leírását: egyáltalán, a mezők belső dinamikáját. Az ennek leírására szolgáló tagok hiányoznak a hatásintegrálból. Röviden: ez az elmélet "hatáselmélet", de nem "kölcsönhatás-elmélet": a mezők és a részecske kölcsönhatásának csak az egyik fele szerepel az elméletben.

Éppen ezért a kiépítendő hidrodinamikai elméletben a fenti megfontolások és formulák közvetlenül nem használhatók. A folyadék részecskéi ugyanis nem triviális módon kölcsönhatnak egymással (ennek végeredményét írják le a fenomenologikus termodinamika korábban tárgyalt fundamentális függvényei és állapotegyenletei). A kölcsönhatást (valószínűleg, de az elméletben nem részletezett módon) skalár- (esetleg vektor-)mezők közvetítik, de ezek nem adott, külső erőtérként jelennek meg, hanem a folyadék különböző részecskéi közötti rövidtávú kölcsönhatás átvivőjeként. Az egyírányú hatást leíró klasszikus egyrészecskés elmélet tehát nem vezet el a hidrodinamikához - annak lényeges része kell legyen a sok (formálisan végtelen sok) részecske egyidejű leírása.

e/ Sok szabad részecskéből álló "folyadék"

Vizsgáljuk azt az esetet, amikor sok egyforma, ugyanakkora konstannsal ("nyugalmi tömeggel") jellemezhető, de egymással és külső erőterekkel nem kölcsönható, azaz szabad részecske mozog a téridő azonos tartományában. (A részecskéket pontszerűnek képzeljük, ezért azonos helyen előfordulásuk, "ütközésük" valószínűsége nullának tekinthető, így e jelenséget nem is kell figyelembe vennünk.) Az egyes részecskéket a továbbiakban egy indexszel különböztetjük meg egymástól. Mindegyik részecske mozgását egy (13) alakú hatásintegrálra felírható variációs elv kormányozza. Könnyen belátható, hogy a teljes részecskerendszer mozgásának leírására e hatásintegrálok összege szolgál:

(16)

Mivel mindegyik részecske "tömege" azonos, ez kiemelhető a szumma alól. Az egyes integrálások az egyes részecskék világvonalán haladnak. Az -ik részecske mozgásának adatai csak az -ik integrálban szerepelnek. Ezért ha az -ik részecske pályáját, világvonalát variáljuk, a többi integrál nem változik, azok variációja nulla lesz, és visszakapjuk az -ik részecskére vonatkozó (13) alakú integrál variációját. Ez pedig elvezet ahhoz a mozgásegyenlethez, amelynek megoldása szerint az -ik részecske egyenes vonalú, állandó sebességű mozgást végez. Ezt az eljárást külön-külön mindegyik részecskével megismételhetjük. Látjuk, hogy a (16) hatásintegrál valóban a kölcsönhatásmentes, külön-külön állandó sebességű mozgást végző szabad részecskék "gázát" írja le.

A (16) képlet különböző tagjait nem lehet egyetlen integrálba összevonni (mint pl amikor a (14) formulát a (15)-té alakítottuk), mert mindegyik integrál más-más görbe mentén van értelmezve. Létezik azonban egy messzire mutató, hasznos trükk, aminek segítségével ezt mégis megtehetjük.

Ehhez első lépésként vezessük be külön-külön mindegyik részecske "terét" - azaz az -ik részecske világvonalára Minkowski-értelemben merőleges háromdimenziós hiperfelületet (ezt mindegyik sajátidő-pillanatban megtehetjük). Ez az -ik részecske "most-hiperfelülete": az ebben a hiperfelületben elhelyezkedő eseményekre mondhatja az -ik részecske azt, hogy az ő időpillanatnyi helyzetével "egyszerre" vannak. A különböző részecskék eltérő mozgása miatt ezek a most-felületek minden részecskére mások lesznek.

Az -ik részecske pillanatbeli helyzetéhez rendelt "most-felület" egy háromdimenziós euklideszi tér. Ennek vektorait jelöljük -val. Az -ik részecske világvonala ezt a most-felületet egyetlen pontban metszi, e pont térbeli vektorát jelölje . Vezessünk be ebben a "most-felületben" egy háromdimenziós Dirac-delta függvényt, amelynek kicsúcsosodási pontja az pontban van. A Dirac-delta definíciója szerint tetszőleges függvényre fennáll:



Ezt a képletet speciálisan az függvényre alkalmazva kapjuk:

(17)

Szúrjuk be ezt az "egységet" a baloldali integrál alakjában a (16) hatásintegrál -ik integráljába!



A négyes térfogatelem szerinti integrálás az egész négydimenziós teret lefedi. (Más kérdés, hogy az integrál a Dirac-delta miatt csak bizonyos pontokból "csipeget fel" járulékokat.) A négydimenziós tér egy négyes térfogatelemét általában -val jelölik. Minkowski-térben egy alakban is írható (a -vel való osztás azért szükséges, mert a nulladik koordináta nem , hanem szokott lenni), és bármely inerciarendszerben felírható, invariáns mennyiség. Az általános relativitáselmélet görbült téridejében a négyes térfogatelem kifejezésében megjelenik egy Jacobi-determináns, "torzítási tényező", ami a(z alsó indexes) metrikus tenzor determinánsával a következő alakban fejezhető ki (lásd Landau II. kötet, 83. fejezet, 301. oldal):



Ezzel a négyes térfogatelem:



A (16) hatásintegrál legutóbbi alakja az új jelöléssel így írható:



Ebben a képletben a szumma minden tagjában az integrálás ugyanarra a tartományra (nevezetesen az egész négyestérre) vonatkozik, ezért az integrálás kiemelhető a szummázás alól (vagy másképpen: a szummázás bevihető az integrál alá):



Vezessük be most a

(18)

rövidítést, és vigyük be az szorzótényezőt az integráljel alá:

(19)

Ez a szabad részecskékből álló "gáz" hatásintegráljának végső alakja.

A (19) képlet - mint a folytonos eloszlású anyagfajták esetén általában, speciálisan az elektromágneses mező esetében is - a hatásintegrált nem egy világvonalra, hanem a teljes négyestérre vett integrál alakjában állítja elő. Ennek megfelelően az integrandust nem Lagrange-függvénynek, hanem Lagrange-sűrűsérgfüggvénynek szokás nevezni, hiszen e függvény hármas térfogati integrálja az a Lagrange-függvény, amelynek idő szerinti integrálja a hatás.

Esetünkben a Lagrange-sűrűségfüggvény (egy előjeltől eltekintve) a szabad részecskegáz enegriasűrűségével egyezik meg, amely két tényező szorzata. Az egyik tényező egy-egy részecske nyugalmi energiája, a másik tényező a sűrűség, amit a (18) képlet definiál.

Minek a sűrűsége ? Ha megnézzük a (17) formulát, láthatjuk, hogy a Dirac-delta "fizikai dimenziója", azaz mértékegysége 1/m - hiszen egy háromdimenziós térfogatelemmel megszorozva (és integrálva) kapunk -et. A sűrűség ilyen Dirac-delták összege, azaz ennek mértékegysége is 1/térfogat.

Ha visszaemlékezünk a termodinamikai mennyiségekre, láthatjuk, hogy -t az ott bevezetett részecskeszám-sűrűséggel azonosíthatjuk. Valóban, ha -t egy tetszőleges megfigyelő "terére", azaz "most-felületére" integráljuk, akkor mindegyik Dirac-delta 1-es ad eredményül, a teljes integrál pedig -et, ahol a (16) képletben szereplő részecskék teljes száma. Egy sűrűség-jellegű mennyiség, aminek térfogati integrálja a teljes részecskeszám - ez pont a részecskeszám-sűrűség definíciója.

A mennyiség persze erősen szinguláris sűrűségfüggvény. A legtöbb pontban (ahol nem halad át egyik részecske világvonala sem) értéke nulla, bizonyos pontokban (a világvonalakon) pedig értéke végtelen.

Már csak egy absztrakciós lépés kell ahhoz, hogy elképzeljük a valóban folytonosan eloszló anyagot, amelynek részecskeszám-sűrűség függvénye nem nulla vagy végtelen, hanem a téridő minden pontjában véges (és pozitív) értékeket vesz fel. A (18) formula változatlan marad, csak a szinguláris sűrűség helyébe a mindenütt véges, reguláris, helytől és időtől függő részecskeszám-sűrűséget kell behelyettesíteni:

(20)

Ez a formula adja meg a folytonos eloszlású, ám egymással nem kölcsönható részecskékből álló "gáz" vagy "folyadék" hatásintegrálját.

Létezik-e olyan anyag, amelyet helyesen ír le a (19) vagy a (20) hatásintegrál? Feynman Mai fizika című tankönysorozatában gúnyosan "a száraz víz áramlása" című fejezetben ír az ideális, azaz sűrlódásmentes folyadékok elméletéről - hiszen a matematikai egyszerűsítés kedvéért olyan lényeges jelenségekről mondunk le, mint a folyadékok viszkozítása, belső súrlódása és energia-disszipációja. A (19) vagy (20) képletekkel leírt anyagot ezért "duplán száraz víznek" (hivatalos nevén "inkoherens anyagnak") nevezhetjük - hiszen itt a részecskék közti mindenféle belső kölcsönhatást elhanyagoltunk, köztük azt is, ami a folyadékok hidrosztatikai nyomását okozza.

Talán meglepő, de mégis létezik olyan anyag, amire jól illik a (19) vagy a (20) formula által generált "hidrodinamika". Az egyik ilyen jelenség a sivatagi homokvihar. A szél által felkapott homokszemek áramlása láthatóan hidrodinamikai jellegű, de a homokszemek gyakorlatilag nem ütköznek egymással, az anyagnak nincs belső nyomása. Persze a homok szemcséi nem egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek, hiszen külső erők (egyrészt a gravitáció, másrészt a szél ereje) hatnak rájuk. Ezek az erők viszont a hatásintegrál kis módosításával figyelembe vehetők: nem a szabad részecske (13), hanem a külső erők hatása alatt álló részecske (14) egyenletéből kiindulva kell elvégeznünk a sűrűségfüggvény bevezetésére irányuló konstrukciót.

A másik példa a kozmológia. Az Univerzumot betöltő "gáz" részecskéi a galaxisok (most tekintsünk el a "sötét anyag" és a "sötét energia" nevű kevéssé ismert anyagfajtáktól). Ezek a "gázrészecskék" (ritka kivételektől eltekintve) nem ütköznek, nem hatnak kölcsön egymással. Egy erő hat rájuk, a gravitáció - ezt azonban az áltrel nem erőnek tekinti, hanem a téridő görbületének. Ha tehát a (19) vagy (20) hatásintegrált nem Minkowski-, hanem pszeudo-Riemann téridőben írjuk fel, és a belőle levezethető mozgásegyenletekhez hozzávesszük a gravitáció (avagy a téridő) Einstein-egyenleteit, akkor valóban megkapjuk a kozmológia alapegyenleteit.

f/ Kölcsönható részecskékből álló folyadék

Most már csak össze kell hasonlítanunk a szabad, illetve kölcsönhatásban álló részecske (13) és (15) hatásintegrálja közti kapcsolatot és különbséget a kölcsönhatásban nem álló részecskékből álló folyadék (20) hatásintegráljával, hogy rájöjjünk, milyen módosításra van szükségünk ahhoz, hogy figyelembe vegyük a folyadék részecskéi közti (nem disszipatív) kölcsönhatást. Ahogy a (13) képletben szereplő állandó nyugalmi energiát a kölcsönható esetben a (15) képlet szerinti, helytől és időtől függő mennyiség váltotta fel, ugyanúgy nem szabad feltételeznünk, hogy a kölcsönhatásban álló folyadékban minden részecske továbbra is az állandó nyugalmi energiával járul hozzá az energiasűrűséghez. Mi az, amit meg kell tartanunk? A (20) képletben szereplő szorzat jelentése energiasűrűség volt, ez játszotta (egy előjeltől eltekintve) a Lagrange-sűrűségfüggvény szerepét. Ezt a struktúrát meg kell őriznünk: a kölcsönható részecskékből álló (de nem disszipatív) folyadék Lagrange-sűrűsége továbbra is a folyadék energiasűrűségének minusz egyszerese lesz:

(21)

A energiasűrűségről most viszont nem szabad feltételeznünk, hogy az egyes részecskék állandó sajátenergiájának és az részecskeszám-sűrűségnek a szorzata - a részecskék közti kölcsönhatás sokkal bonyolultabb függvénykapcsolatokat hozhat létre.

A (15) képletben az állandó nyugalmi energia helyébe lépő kifejezést a külső skalármező határozta meg. De vajon hogyan tudjuk kiszámítani a folyadék részecskéi közti - részleteiben nem is ismert - kölcsönhatás eredményeképpen kialakuló energiasűrűséget, és ennek függését a részecskeszám-sűrűségtől?

Itt jön segítségünkre a termodinamika, ami ezt a nehéz feladatot egy huszárvágással kettéosztja, és a nehezebbik felét saját illetékességi körén kívülre exportálja. Mint erről korábban szó volt, a bonyolult szerkezetű, bonyolult belső kölcsönhatással összetartott sokrészecskés anyagi rendszerek tulajdonságainak tanulmányozása, a köztük fennálló összefüggések levezetése az atomi szerkezet részleteit is figyelembe vevő statisztikus fizika hatáskörébe tartozik. Ennek a munkának a kimenetén viszont néhány olyan összefüggés, fundamentális egyenlet jelenik meg, amelyeket a fenomenologikus termodinamika inputként kezel, adottnak tekint, és a maga - eléggé általános - eszközeivel kezel tovább.

Más szóval: a termodinamikában nem kell tudnunk, honnan is származik az (1) fundamentális összefüggés (konkrét anyagokra ennek levezetése a statisztikus fizika dolga), csak annyit kell tudnunk, hogy minden anyagra létezik egy ilyen függvény, ami eleget tesz néhány elemi függvénytani követelménynek (elsőrendűen homogén, folytonos, diffható, bizonyos deriváltjai pozitivok stb). A további termodinamikai formulák a konkrét anyagra vonatkozó konkrét függvénytől függetlenül azonos struktúrát követnek. Ebben rejlik a termodinamika nagy általánosságának és nagy elméleti erejének titka.

Mindez nemcsak az (1) összefüggésre, hanem annak átalakított verzióira is igaz. Most tehát a folyadékok relativisztikus mechanikájában nincs más dolgunk, mint előkeresni azt a fundamentális anyagi összefüggést, amely az energiasűrűséget állítja elő a részecskeszám-sűrűség (és esetleg más, kényelmesen kezelhető termodinamikai változó) függvényében. És valóban: korábbi formuláink között rálelünk az (5) képletre:

(5)

- ez az energiasűrűséget adja meg a részecskeszám-sűrűség és a fajlagos entrópia függvényében. (Természetesen szükségünk lesz majd az ehhez kapcsolódó (6)-(9) képletekre is.) Ezt a függvényt kell a kölcsönható részecskékből álló folyadék esetében a (20) képlet energiasűrűsége helyére behelyettesítenünk. Ne feledjük el közben, hogy korábbi megállapodásaink szerint az itt szereplő termodinamikai mennyiségek egy "fizikailag infinitézimális" térfogatelemben, az áramló folyadék lokálisan nyugvó inerciarendszerében vannak értelmezve.

Helyettesítsük még be integrálunkba a négyes térfogatelemnek a koordináta-differenciálokkal és a metrikus tenzor determinánsával való, korábban levezetett kifejezését!

Végül tehát megkaptuk a kölcsönható részecskékből álló, de nem disszipatív folyadék hatásintegráljának végső alakját:

(21)

Ebből a hatásintegrálból kiindulva kell levezetnünk a folyadék mozgását irányító differenciálegyenleteket.

A (21) hatásintegrál első pillantásra ijesztően különbözik a mechanikában megszokott (10) alaktól. Egyáltalán: mik itt az általános koordináták, és hol vannak az ő sebességeik? A képletben nem szerepel a folyadék mozgására jellemző sebességvektor - vajon honnan kerül majd az a mozgásegyenletbe?

E kérdések hátterében két mélyebb matematikai probléma áll. Az első az, hogy a folytonos közegek hatásintegrálja nem egy vonal menti, hanem többdimenziós tartományra vett integrál. Ezért Euler-Lagrange egyenletekként nem közönséges, hanem parciális differenciálegyenleteket fogunk kapni. A másik probléma abban áll, hogy - mint láttuk - a klasszikus mechanikai rendszer Euler-Lagrange egyenletei másodrendű differenciálegyenletek, míg a (nemrelativisztikus) hidrodinamika differenciálegyenletei (Euler-egyenlet, kontinuitási egyenlet) csupán a változók első deriváltjait tartalmazzák, tehát a szokásos módon nem bukkanhatnak fel variációs feladat Euler-Lagrange egyenleteiként.

------------
A problémakört brute force lerohanással nem lehet megoldani. Ezért kerülő utat kell választanunk. Ez a kerülő út az általános relativitáselméleten és az energiaimpulzus-tenzor Hilbert-féle definícióján át vezet.

(folyt. köv)
dgy

[G.Á]

Végső soron ebbe a témába illik, úgyhogy ideírom, bár nem az eddig itt elhangzottak logikai folytatása.
Azt tudjuk hogy az energia és impulzus általában nem marad meg az általános relativitáselméleten belül, bár sík téridőben, vagy lokálisan megmarad.
A tapasztalataink alapján, amely túlnyomó részben bár nem kizárólagosan a Föld felszínéhez kötődnek, az energia és impulzus mégis megmaradnak.
Pedig a műszereink és vizsgált objektumaink nem pontszerűek, az energiát és impulzust a kiterjedt testekre vonatkozóan értelmezzük, míg ezzel egyidőben gravitációt is tapasztalunk, vagyis ezeknek a megmaradási tételeknek általában nem kellene hogy teljesüljenek.

Érdekes kérdés tehát, hogy kiterjedt testekre hogyan értelmezhetjük mégis a megmaradásokat. Nyilván ehhez valamilyen módon be kellene vezetnünk a gravitációs potenciált.

Bár a "gravitációs energiasűrűség" általánosan, kovariánsan nem definiálható, de ha nem akarunk a koordináta-rendszerek között ugrálni, egyes esetekben értelmezhető.

Az általános relativitáselméleten belül értelmezett pontmechanikában a részecskék mozgásegyenletei a geodetikus egyenletek, illetve külső (nemgravitációs) erőtér esetén ezek jobb oldalán megjelenik a négyeserő megfelelő komponense.
Ezeknek az egyenleteknek mindig van egy első integrálja, mégpedig a négyessebesség négyzete: , ennek értéke nem nulla tömegű részecske esetén . (A fény mozgására szigorúan vett mechanikai egyenletek nem írhatók fel, de a Fermat-elv és a Hamilton-elv analógiája miatt ebben az esetben is hasonló egyenleteket kapunk, ekkor viszont az integrálkifejezés értéke nulla.)

A Földhöz hasonló helyeken a gravitáció hatása a sík téridőhöz képesti perturbációval leírható, a metrikus tenzor komponense -tel közelíthető, ahol a klasszikus gravitációs potenciál. A pontrészecske "energiamérlegében" így tehát megjelenik a "gravitációs potenciális energia" is.

A valósághoz való jobb közeledést úgy érhetjük el, ha a pontrészecskékről átváltunk a kontinuumok vizsgálatára.
Ilyen esetekben definiáljunk egy olyan "szemiklasszikus" esetet, amikor a sebességek elég nagyok, tehát relativisztikusan kell számolni, viszont a gravitációs terek gyengék, a metrikus tenzor csak kissé tér el a Minkowski-alaktól, ezért csak a 00 komponense számít. Így kapunk egy olyan elméletet, amelyben a gyorsan mozgó folyadék gravitációs hatásokat is érez ("relativisztikus vízesés").


Az energiaimpulzus-tenzort szokás szerint parciális helyett kovariáns deriváltakkal kell felírni.
Ennek a kovariáns divergenciája adja a mozgásegyenleteket.

Izentróp áramlás esetén (ennek termodinamikai következménye: , ahol "p" a nyomás, "n" a részecskeszám-sűrűség: N/V, "w" a fajlagos entalpia: (E+pV)/N, a levezetésben csak ezt az összefüggést kell felhasználni)
kovariáns divergenciájának egyenlete szétbomlik egy a négyessebességgel párhuzamos vetületre, ez adja a kontinuitási egyenletet:, kiírva: , valamint egy másik vektoregyenletre, ami a sebességre merőleges vetület. Ennek megfelelően "u"-val skalárisan szorozva nullát ad, azaz a négy komponens közül csak három lineárisan független van.
A térszerű komponensek határesetben a klasszikus impulzusmérleget, azaz az Euler-egyenletet adják, a nulladik komponens (ami az előzőek következménye) az energiamérleget adja.

Ebben az egyenletben szerepel a négyessebesség kovariáns deriváltja (pontosabban ennek vetülete a sebességre). Ha ezt kiírjuk, megjelennek a Christoffel-szimbólumok, azaz látszik a gravitáció explicit hatása az áramlásra. Persze tudjuk, hogy ügyes koordinátatrafóval a gammák kiküszöbölhetők, legalábbis lokálisan.

Most jön a trükk, az fizikailag megfelelő közelítés.
Feltesszük, hogy a metrikus tenzor Minkowski-alakú, kivéve a 00 komponenst, ami a hely és az idő függvénye lehet. Ebben a közelítésben a gammák mind a komponens gradiensét (és esetleges időderiváltját) tartalmazzák. Tudjuk, hogy gyenge tér közelítésben , ahol a klasszikus newtoni gravitációs potenciál, ezért a gammákban a newtoni "g" gravitációs gyorsulásvektor bújik el.

Na de mi van, ha egy KR-transzformációt alkalmazunk? Ezt most nem tehetjük meg! A fenti feltevésnek az a fizikai értelme, hogy valahol a vizsgált folyadék közelében van egy nagy test, amihez képest a koordinátarendszerünk mintegy nyugalomban van, és gyenge, hagyományos newtoni gravitációt észlelünk. Ezért nem térhetünk át pl szabadon eső rendszerre, amiben a gravitáció kiküszöbölődne. A fenti szolidnak látszó feltevés (triviális trafók erejéig) lehorgonyozza rendszerünket a gravitációt kifejtő testhez képest.

Épp ez a helyzet a "mindennapi tapasztalataink" jelentős részében, például hidraulikai alkalmazásokban, ahol háttérként ott a Föld gravitációs tere. Azt nem tettük fel, hogy a sebességek kicsik, tehát az így tárgyalható jelenségek körébe beletartozik pl egy csillag felszínén folyó relativisztikus plazmaáramlás is.

Ha a fenti gammákat beírjuk a stacionárius áramlás mozgásegyenletébe, és kifejezzük a négyessebesség komponenseit a hármassebesség vektorával (nem elfeledve, hogy nulladik komponensében megjelenik a gyöke is), akkor akár a relativisztikus Euler-egyenlet nulladik komponenséből, akár a másik három komponensnek a hármas sebességvektorral való skaláris szorzásával levezethetjük a Bernoulli-egyenletet.

A Bernoulli-egyenlet a következő alakú lesz:


Találtunk tehát egy mennyiséget, amelynek a részecske áramvonala menti deriváltja nulla.
(Ehhez hasonló számítás szerepel Landau Vi. Hidrodinamika kötetének relativisztikus hidrodinamika fejezetében is, csak ott ő végig specrelben számol, ezért a metrikus tenzor nem jelenik meg.)


Nemrelativisztikus közelítésben (ez benne van a Landauban) "w" helyébe (vigyázat, ami Landaunál "w", az itt "wn") ezt kell írni:
. Itt a nemrelativisztikus tömegsűrűség, lényegében az .
Ha ezt beszorozzuk a és a Lorentz-faktor (visszaírva bele a c-t) sorbafejtett alakjával, a c nélküli tagok épp kiadják a nemrelativisztikus Bernoulli-egyenletet, az áramvonal mentén, további elemi feltevésekkel az egész térben.

A fenti v*gradienses képlet tehát az áltrel Bernoulli-képlete gyenge gravitációs térbeli stacionárius áramlás esetén, de az áramlás sebessége lehet relativisztikus is.

Íme, az energiaimpulzus-tenzorból kiinduló számolás figyelembe tudja venni a "gravitációs energiasűrűséget", nevezetesen alakban. A trükk az, hogy lemondunk az általánosan kovariáns tárgyalásról, mert van egy fizikailag kitüntetett rendszerünk, a bolygóhoz vagy csillaghoz képest nem gyorsuló vonatkoztatási rendszer, amiben a gravitáció gyenge, a metrikus tenzor majdnem Minkowski.
Ez a szemiklasszikus közelítés tehát nem kovariáns, de az energiaimpulzus-tenzorra vonatkozó állítások gyenge gravitációs térben is fennállnak.

[G.Á]

Nem szorosan az eddigiekhez, de végső soron a relativisztikus hidrodinamika tárgykörébe tartozik.
A kezembe került egy érdekes cikk: ,
mely a relativisztikus turbulens áramlásokkal kapcsolatban tartalmaz bizonyos, korrelációkra vonatkozó egzakt eredményeket.
Hasonlóak cikkek az utóbbi évtizedben jelentek meg, a téma iránt érdeklődőknek érdemes lehet megismerkedni vele.

Ami -laikusok számára is- tanulságos, hogy igen bonyolult jelenségeket is lehet analitikus módon jellemezni, ha megfelelő irányból nézünk rá a problémára.