Most akkor van energiamegmaradás?

[api]

Ha valakit érdekel az efféle csodák eredete, Einstein zürichi jegyzetfüzete fakszimilében olvasható a következő helyen:
http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdoc ... art=1&pn=1
A jelölések persze másképp néznek ki, mint ahogy mi megszoktuk. Hasznos segítség hozzá ez a cikk:
http://www.pitt.edu/~jdnorton/papers/Ei ... qn_1-4.pdf

[api]

[szabiku]

[szabiku]

[api]

Az Einstein egyenletben szereplő energia-impulzus tenzor

Itt az energiasűrűség. Az az energiaáram sűrűség hármasvektor, az pedig az impulzussűrűség hármasvektor. A maradék a feszültségi tenzor, aminek három sora a három impulzuskomponens áramát jelenti. Az impulzusáram, más szóval az impulzusátadás tulajdonképpen egy erő (gondoljunk Newton II. törvényére). Az erők felületi sűrűségét nevezik feszültségek. A feszültségelem a j impulzuskomponensnek a k tengelyre merőleges felületegységen időegység alatt átadódó mennyiségét adja. A főátlóban lévő tipusú feszültségeket nyomásnak hívják, többieket nyírófeszültségnek.

A feszültségtenzor a belső nyomatékok egyensúlyi követelménye folytán szimmetrikus lesz. Sőt a specrel következtében szimmetrikus az egész energia-impulzus tenzor is, ami azt jelenti, hogy . Így az energia megmaradásának kérdése nem válik külön az impulzuskomponensek megmaradásától. A 16 komponensből csak 10 lesz független, sőt a legtöbb esetben még a három nyomáskomponens is azonos egymással ("hidrosztatikai" nyomás). Ha a tenzort a c=1 mértékegységrendszerben írjuk fel, akkor az összes c eltűnik s az energiaáram megegyezik az impulzussal.

Nézzük akkor, mit jelentene a lokális megmaradás erre a tenzorra. Az energia megmaradáshoz egy folytonossági egyenletnek kellene teljesülnie a tenzor első sorára:

Vagyis az energia változási sebessége meg kellene egyezzen a kiáramlásával.
Az impulzuskomponensekre hasonlóan, tehát a négy folytonossági egyenlet együtt:




Ami négyesvektor jelölésben összefoglalva a T közönséges divergenciájának eltűnését jelentené:

De görbült téridőben ez általában nem teljesül, mert a Bianchi azonosság miatt az Einstein egyenlet baloldalának kovariáns divergenciája azonosan zérus, tehát a jobboldalon is annak kell lennie:

Ám mivel
, így általában

[szabiku]

Köszönet apinak a remek ismertetésért!
Az én elgondolásom a Gauss tételről (pontosabban annak általánosabbjáról) viszonylag egyszerű, és a következő:
A lokális megmaradást az fejezi ki a specrelben (most nincs gravitáció), hogy az energia-impulzus-tenzor "nemkovariáns" divergenciája nulla:



Ezen tulajdonképpen látszik, hogy vektor, tehát már csak integrálnom kell egy valamilyen négyes térfogatra, ha valami kiterjedt dologhoz valamilyen energia jellegű vektort akarok rendelni, ami már nem sűrűséget jelent, és az egész kiterjedt valamihez tartozik, mint egy pontszerű "objektumhoz" (amit aztán ha akarok, újra elhelyezhetek a térben... stb.) [vigyázat! az aláhúzott rész most tulajdonképpen csak egy eseményt jelent, mert a négyestér egy pontja...].
Ez így egészen általános, és mivel a tárgyak a mi világunkban háromdimenziós kiterjedésben öltenek jellemzően testet, ezért az csak egy speciális esete az általánosságnak (vagyis magyarán speciálisan lehet csak az hipersíkra integrálni, és akkor az megfelel a hagyományos háromdimenziós térfogatnak, amelyben a hagyományos Gauss tétel meg lett fogalmazva anno).
No, akkor integráljunk (most indexet használok):





A négyzet valamilyen mennyiséget jelöl, és semmilyen olyan kikötés nincs rá, hogy szabályos skalár, vektor vagy tenzor legyen. A harmadik integrálban a négyestérfogat-elemet felbontottam a vektorra, és annak duálisára a háromdimenziós hiperfelületre. A negyedik integrálban átcsoportosítottam az összegzéseket úgy, hogy abból előálljon , mint a (koordináták szerint) többváltozós függvény differenciálja, és így a hatodik integrálban redukáltam belőle -t. Ezzel az integrálás már csak a négyestérfogatot körülzáró határfelületre maradt.
Ez teljesen formális eljárás. Ennek a görbült tér nem akadály, és így a megmaradási tétel lokálisan és globálisan is fennáll a görbült térben is szerintem. (Persze görbült térben az integrál általában már nem lesz vektor vagy tenzor, hiába volt az, de itt ez nem lényeg, mert azt nem fogjuk kiszámolgatni konkrétan, mert minek...)

[api]

Mivel szóba került, hogy mik is lehetnek az energia-impulzus tenzor elemei, nézzük azt az esetet, amikor csak elektromágneses mező van jelen. Hogy ne legyen sok felesleges konstans, a Gauss mértékegység rendszerben írom. Ekkor az energiasűrűség:

Az energiaáramlás sűrűsége, vagyis a Poynting vektor:

A sugárzás impulzusa:

És a Maxwell-féle feszültségtenzor főátlójában lévő nyomás típusú tagok (sugárnyomás):

Végül a többiek:

Máshol találkozhattok ettől némileg eltérő formulákkal, de a ismeretében nem jelent gondot összevetni ezekkel.

A fentiek a közönséges (tömeges) anyagtól mentes elektromágneses térre igazak. Ha töltött vagy töltetlen részecskék is jelen vannak, akkor hozzá kell adni az ő energia-impulzus tenzorukat is. Így megy ez mindaddig, míg a részecskék egymással való kölcsönhatásai elhanyagolhatók, és a kialakuló eredő gravitációs tér is annyira gyenge, hogy az Einstein egyenlet nonlinearitása nem rontja el az additivitást.

[Kónya Gábor]

.

[Kónya Gábor]

.

[dgy]