Most akkor van energiamegmaradás?

[api]

Én a következőképp ismerem az energia- és impulzusmegmaradás dolgát kozmológiai léptékben, de mivel csak amatőr vagyok, dgy. majd kijavít.

A globális megmaradáshoz nyilván térfogati integrálokat kellene számolni. Az áltrelben az energia nem skalár, hanem az impulzussal együtt egy négyesvektort képez. Ám a görbült sokaságon értelmezett vektormezők integrálásánál olyan egymástól távoli vektorokat kellene összeadogatni, amelyek mind más és más lokális bázisban (helyi egységvektor rendszerben) vannak értelmezve, és ezeket a helyi vektorokat még csak nem is lehet önmagukkal párhuzamosan egy pontba tologatni, mert az eredmény nem csak a kiindulási és végpontoktól függ, hanem a választott útvonaltól is.

Görbült sokaságon (pl. görbült téridőben) általában nem lehet egy vektort önmagával párhuzamosan eltolni, a párhuzamosság globálisan nem értelmezhető. Egyszerű modell: toljunk a föld kétdimenziós gömbfelszínén önmagával párhuzamosan az északi sarkról az egyenlítő 0. hosszúsági fokára egy vektort. Először egyszerűen végig a 0. hosszúsági körön. Másodszor más úton: az É saroktól a 90. hosszúságon az egyenlítőre, majd azon a 0. hosszúságig. Nyilvánvaló, hogy más eredményt kapunk. Legyen pl. a vektor kezdetben párhuzamos a 0. hosszúsági vonallal! Az első útvonalon végig az is maradt, de a másodikon már az egyenlítővel lesz párhuzamos.

Ezért görbült téridőben a vektromezők integráljainak általában nincs értelme, tehát nem lehetnek értelmesek azok a fizikai állítások se, amelyek ilyen integrálok kiszámolásán alapulnának.

Ha viszont a metrika a térbeli végtelenben elég gyorsan Minkowski-hoz tart, vagyis a görbület forrása lokalizált és az egész szituáció minden mástól izolált, akkor beszélhetünk globális megmaradásról. A térfogati integrálokat ilyenkor a Gauss tétel segítségével egyértelműen meg lehet határozni olyan határfelületekre számolt integrálokkal, amelyek már a Minkowski tartományba esnek.

Mint az nyilvánvaló, ez az elrendezés a csillagászatban sokféle léptékben, sokféle objektumra jó közelítést ad. Vannak, akik az ősrobbanásra is alkalmazhatónak tartják. Amikor a kezdeti üres térben egy helyi vákuumfluktuáció során a semmiből jött létre az anyag, de az energiamegmaradása mégse sérült, mert a megjelenő energiát pontosan kompenzálta az ő negatív gravitációs energiája. Ezt Hawking is szereti sejtetni a népszerűsítő könyveiben, de tudtommal igazából nem számolta végig senki.

Annyi mindenesetre tudható, hogy egy minden mástól távol eső izolált tömegpont gravitációs terének energiája épp , vagyis tökéletesen kiegyensúlyozza a maga anyagi energiáját. Amikor George Gamow a Princeton Egyetemen sétálva elmondta ezt Einsteinnek, ő megtorpant az úttest közepén, s az autók kénytelenek voltak megvárni, míg felocsúdik az ámulatából.

Ha az integrális megmaradással ilyen gondok vannak, hogyan áll a lokális megmaradás? Ehhez nem kell nagy távolságra tolni, hanem csak helybeli vektorokat összevetni, más szóval lokális folytonossági egyenleteknek kell teljesülniük az energia és az impulzuskomponensekre, illetve azok áramaira. Ami energia és impulzus egy adott idő alatt megjelenik egy bizonyos kis térfogatban, az egyenlő kell, legyen a térfogat határain ki-be áramló energiaáramokból ill. impulzusáramokból származó eredővel. Az energia négyesvektor négy komponensére vonatkozó négy ilyen folytonossági egyenlet összefoglalóan egyetlen tenzoregyenlettel leírható: Az energia-impulzus tenzor közönséges divergenciája egyenlő nullával. Vajon igaz-e ez?

A vektor és tenzormezők divergenciája a differenciálhányados fogalmán alapul. Persze valamennyire már az ebben szereplő közeli pontokon is elfordulnak egymástól a helyi koordinátabázisok, de határértékben a dolgot tökéletesen kezelni lehet a konnexiós koefficienseken alapuló lineáris közelítéssel. Ám emiatt a deriváltaknak, a divergenciáknak s egyebeknek kétféle változatuk lesz. Az egyszerű koordinátadifferenciák alapján számolt közönséges deriváltak és divergenciák, másrészről pedig a konnexiókkal korrigált kovariáns deriváltak és divergenciák. Itt van a kutya elásva.

Az Einstein egyenlet jobboldalán álló T energia-impulzus tenzor kovariáns divergenciája mindig zérus, ami a Riemann geometria Bianchi azonossága alapján közvetlenül adódik a baloldal alakjából. A T közönséges divergenciája viszont nem minden koordinátarendszerben tűnik el, így az ilyen rendszerekből nézve a lokális megmaradást jelentő folytonossági egyenletek sem teljesülnek.

Jogos felvetés, hogy T talán nem tartalmaz minden energiát, mert az általa meggörbített téridő is hordoz egyfajta „gravitációs energiát”. Egy egyszerű gömbszimmetrikus izotróp téridő Friedmann egyenletében ezt a szokás szerint jobboldalra átvitt energia dimenziójú görbületi tag képviseli. Valami hasonló elvégezhető bonyolultabb esetekben is, vagyis a baloldal geometriai tagjainak egy részét átrendezhetjük jobbra, a forrás oldalra, úgy, hogy a velük kiegészített energia-impulzus tenzorra teljesüljön a lokális megmaradás. Az egyenlet ilyen alakja azt az interpretációt sugallja, hogy a többi energiával együtt a gravitációs energia is részt vesz a téridő görbítésében. Vagyis a görbületben lévő energia egyszersmind forrása is a görbületnek, ellentétben az elektromágneses mezővel, ami nem hoz létre forrást (töltést). Ebben az alakban talán jobban érthető, hogy mi görbíti az anyag nélküli üres de Sitter univerzumot.

Ez a gravitációs energia viszont nem lehet a többi energiához hasonlóan tenzor jellegű, hiszen az inerciarendszerekből (pl. űrhajókból) nézve el kell tűnnie. Komponenseinek száma alapján ugyan tenzornak látszik, de nem tenzorként transzformálódik, ezért t gravitációs pszeudotenzornak nevezik. Az eredő energia T+t formában való definiálása bizonyos esetekben ugyan alkalmas a megmaradási törvények kikényszerítésére, de a gravitációs energia hírhedten bonyolult és elég furcsa valami. Például nem tudunk konkrét térbeli eloszlást tulajdonítani neki. Mivel koordinátarendszer függő, nem értelmes kijelenteni, hogy egy adott helyen mekkora a gravitációs energia. Sőt még görbületlen téridőben is akármekkora értéket felvehet, ha egyenes koordináták helyett görbült koordinátákra számoljuk. Sokak szerint az egész egy felesleges machináció, mert nem változtat a kiszámolható eredményeken. Inkább le kell nyelni a békát, hogy az energia globális kozmológiai skálán nem mindig megmaradó mennyiség.

[szabiku]

[dgy]

Mielőtt a kevésbé hozzáértők téves következtetésre jutnának: a téma minden részletében api-nak van igaza, szabiku több helyen matematikailag és fizikailag téves állításokat ír, akárcsak korábbi konnexiós cikkeiben.

dgy

[api]

Folytatva előző hozzászólásom, szeretném matematikai formalizmus nélkül, geometriai szemlélet alapján érzékeltetni az említett Bianchi azonosság tartalmát, és áltrelben betöltött szerepét.

Ha a Riemann-geometriában egy vektort önmagával párhuzamosan végigviszünk egy zárt görbe mentén, visszaérve a kiinduló pontra a vektor nem fog egyezni önmagával. No, de mi van, ha eltoljuk valameddig, aztán ugyanazon az útvonalon vissza, akkor se? Mert akármilyen elvetemült gondolat, azért egy ilyen rendszert is axiomatizálhatnánk. De a Riemann geometria nem ennyire gonosz, ebben az oda-vissza hordozott vektorok rendesen visszatérnek önmagukba, s ezt a jeles tulajdonságot fejezi ki a Bianchi-azonosság, ami végül azért egy kicsit még összetettebb:

Képzeletben illesszünk a tér minden pontjához az egyik sarkával egy hatlapú, de egyébként tetszőleges testet (hexahedront)! A pontbéli vektort vigyük körbe egymás után mind a hat lap körül úgy, hogy a körüljárás iránya a test külseje felöl nézve, mindig azonos legyen! (A kiinduló sarokra nem illeszkedő lapokra úgy jutunk, hogy a vektort előbb egy él mentén odatoljuk, a körüljárás végén meg ugyanazon vissza.) Mire az egésszel végzünk, minden él mentén ugyanannyiszor haladtunk egyik irányba, mint az ellenkezőbe (a különböző éleken persze nem egyforma számban). A Bianchi azonosság azt jelenti, hogy a pontra zsugorodó hexahedronok körül megjáratott vektorok pontosan önmagukba térnek vissza.

Az Einstein-egyenlet a görbület forrásaként az energiát jelöli meg, de pontról pontra mindig csak az energia-impulzus tenzor ottani lokális értékét. Ennek ellenére persze azt senki se képzeli, hogy egy üres térrészhez érve hirtelen megszűnik a görbület. Egy ilyen gravitációs elmélet fabatkát se érne, hisz a tapasztalattal ellentétben, bármekkora csillagok közelében is nyílegyenesen húzna el a fény, és a bolygók nem bolyonganának körülöttük, hanem oda se hederítve elrobognának mellettük. A téridő görbületére pedig nem folytonos, és nem diff.ható, függvények adódnának.

Az energia-impulzus tenzor másodrendű, azaz 4x4 elemű, amiből a szimmetria miatt csak 10 független. Így aztán az egyenlet geometriai oldalán is egy szimmetrikus másodrendű tenzornak kell állnia. Ám a négydimenziós téridő összes lehetséges fajta torzulását igazából a 4x4x4x4-es negyedrendű Riemann tenzorral lehet leírni teljes mélységben, aminek 256 eleméből a különféle szimmetriák következtében még mindig 20 független marad. (Ezek végül is a metrikus tenzor elemeinek és másodrendű parciális deriváltjaiknak bonyolult kombinációi.) Ezt a 20 függvényt nyilvánvalóan nem kaphatjuk meg az Einstein féle tenzoregyenlet 10 komponens egyenletéből. Úgy néz ki, vannak a téridő görbületének olyan rejtett mélységei, amelyek nem hozhatók kapcsolatba az energiával?

Ám épp a Bianchi azonosság következtében a fenti 10 parciális diff.egyenleteten túl van másik 10 is, amelyek segítenek meghatározni a teljes Riemann tenzort. De ezt a 10-et is az Einstein-egyenlet vonja be a fizikába, azáltal, hogy az energia-impulzus tenzort épp egy olyan geometriai tenzorral teszi egyenlővé, aminek nulla a kovariáns divergenciája.

A Riemann tenzor 20 független elemét két másodrendű szimmetrikus tenzor 10-10 eleméből lehet megkomponálni. Az Einstein-egyenlet baloldalán szereplő Ricci tenzorból, és a Bianchi azonosságon keresztül megkapható Weyl tenzorból. A Ricci méri az elsődlegesen térfogat-változtató deformációkat, a Weyl pedig az árapály jellegű torzulásokat. Vagyis azt, ha a tér egy darabjának térfogata nagyjából változatlan marad, de jelentős alakváltozást szenved.

Ez a kettő leginkább a fényre gyakorolt hatásában különíthető el, ami a gravitációs lencsézésnél igazán szemléletes. Amikor távoli galaxisokat nézünk valami jelentős tömegű, de nagyjából átlátszó objektum (porfelhő vagy sötét anyag) hátterében, az anyageloszlás centrumában majdnem torzulásmentes nagyítást észlelhetünk, a széleken pedig jelentős asztigmatikus torzítást, vagyis a galaxisok erősen elliptikusnak, sőt kifli alakúnak látszanak, néha meg is kettőződnek. Középen főként a Ricci hat, a periférián pedig a Weyl. Ez utóbbi jól érezhető módon, inkább az energia eloszlásának egyenetlenségeivel áll kapcsolatban. Közismert példa rá a földi óceánokra ható árapály jelenség is, ami a Hold távoli excentrikus tömege miatt lép fel.

Ha egy fekete lyukká összeomló tömeget nézünk, de nem egyszerűsítjük valószínűtlenül pontosan gömbszimmetrikusra, akkor a szinguláris állapot közelében a Weyl görbület rendkívül vadul oszcillálva tart a végtelenhez, mert a legkisebb kezdeti aszimmetriák is öngerjesztően eszkalálódnak. Még a spagettizálódás is egyedül a Weyl folyománya, hisz mindaddig, míg a bezuhanó űrhajó nem érkezik az égitest anyagához, Ricci görbület nem is keletkezhet.

Ám a fekete lyukkal ellentétben a Nagy Bumm szingularitáshoz közelítve, éppen a Ricci tart végtelenbe, a Weyl pedig a nullához. Visszafelé haladva az időben egyre szimmetrikusabb a világegyetem geometriája, amit ma egy kezdeti rendkívül gyors exponenciális inflációs tágulási folyamattal magyaráznak.

Az Einstein egyenletből közvetlenül látszik, hogy a Ricci a maga forrásához (vagyis az energiához) kötött, tehát nem tud róla leválva gravitációs hullámként szabadon terjedni. Így ha egyszer valóban találunk majd gravitációs hullámokat, azok nem lehetnek Ricci jellegűek, csakis Weyl típusúak.

[api]

A szeparált tömegpont gravitációs energiája egy egész különös elképzelést is sugalmazott, amit valamikor 1971-ben dobott be Edward Tryon egy szemináriumon. Azt mondta, hogy ennek alapján a ritka, és kiugróan nagy lokális vákuumfluktuációk energiájának és gravitációs energiájának eredője szintén nulla, vagy legalábbis majdnem nulla lehet. Ami a határozatlansági reláció miatt meglehetősen hosszú élettartamhoz vezet, igencsak emlékeztetve a semmiből előpattanó és hosszú életű világegyetemre. A Columbia Egyetem fiatal posztdoktori ösztöndíjasának őrült ötletét harsány nevetéssel fogadták, és ott nem is nagyon erőltette tovább. Két évig próbált részletesebben utánaszámolni, mielőtt 1973-ban közzétette a Nature-ban. Egy problémát azonban nem sikerült megoldani: a kis térfogatba sűrűsödő energia hamar fekete lyukká omlott össze. A cikk alig keltett vízhangot, sok évre el is felejtették, mígnem Alan Guth 1979 Mikulásnapján rájött, hogy ha egy skalármező vákuumfluktuációját nézzük, abban a negatív nyomás gravitációs taszítása gyorsabban felfújhatja az energiacsomagot, mint, hogy a kollapszus bekövetkezne. Ez volt az infláció találmánya, de a zérusponti fluktuációból születő világ igazából Edward Tryontól ered.

[dgy]

[dgy]

[dgy]

[api]

[dgy]