Ablak betörése

[G.Á]

Elméleti mechanika ZH-n szereplő szorgalmi feladatnak adtam fel az alábbi feladatot, elsősorban csak egy érdekes problémára való figyelemfelhívásként.

A kérdés P.L. Kapitza: Fizikai problémák című könyvében szerepel válasz nélkül.

Becsüljük meg, hogy mekkora sebességű teniszlabda képes áttörni egy ablaküvegen!

[G.Á]

A feladatnak többféle úton is neki lehet állni, de mindenképpen érdemes az ablak tulajdonságaival kezdeni.
Mindenekelőtt érdemes leszögezni, hogy a célunk egy nagyságrendi becslés, ennek megfelelő közelítések megengedhetőek.

Először gondoljuk végig miről is szól a feladat.
Van egy adott mozgási energiájú teniszlabdánk, ami energia részben az ablak, részben a labda rugalmassági energiájává fog alakulni.
Eltekinthetünk a közegellenállás és a labda belső súrlódásának disszipációjától. A labdát a rugalmas tulajdonságai különböztetik meg például egy kavicstól, amelyre szintén -alsó becslés jelleggel- megismételhető a számítás.

Fontos dolog, hogy egy nagyon gyors objektum (megfelelő alakú lövedék) viszonylag éles peremű lyukat kialakítva képes keresztülhatolni az ablakon.
Kicsit lassabb test fogja az egész ablakot megrepeszteni.
Ez a lassabb mechanikai folyamat azt is jelenti, hogy a mechanikai feszültségnek van ideje a folyamat alatt végigterjedni az egész ablakon.

Ez elfogadható, főleg ha figyelembevesszük a teniszlabdák meglepően nagy deformálhatóságát.
(lásd: )


Próbáljuk meg megbecsülni most, hogy milyen körülmények között fog az ablak megrepedése bekövetkezni.

Tegyük fel hogy az ablak kiterjedését d nagyság jellemzi, valamint hogy az ütközés az ablak közepén történik.
A rugalmas tartományban (amely egy ideig fennáll, és az üvegnek van ideje felvenni a megfelelő alakot) az ablak a kezdeti sík alakjához képest meggörbül, egy kis szöggel.

Ebből eredően a nagyjából hoszúságú szakaszok hosszúságúra nyúlnak.

A relatív megnyúlás

Ezekutén azt kellene meghatároznunk hogy mekkora lehet a maximális relatív megnyúlás. Ezt elvileg rugalmasságtani kísérleti adatok alapján becsülhetjük meg. Elvileg a ahol a T a szakítószilárdság , E a Young-modulus.

Probléma hogy különféle üvegek nagyságrendileg is eltérő adatokat tartalmaznak, ezért ezen a ponton mindenképpen meg kell állni és kiválasztani valamelyiket.
Másrészt persze a Young-modulust a lineáris rugalmassági tartományban szokták felvenni, az elasztikus, folyási, lefűződési tartományban más módon kellene számolni. Kerámiáknál persze nincsen folyás, ott repedések történnek, és bár az üvegek amorf, extrém nagy viszkozitású folyadékoknak tekinthetőek, de itt azért mégis inkább az utóbbiakhoz állnak közelebb.
Kérdés persze hogy a fentiek milyen jó közelítést adnak, de nagyságrendileg talán stimmelni fog a végeredmény.

[srudolf]

A labda rugalmassagaval kapcsolatosan:
a kerdes viszonylag egyszeru, a labda meg kell feleljen a kovetkezo pattogasi kiserletnek:
254cm elejtve egy betonpadlora, kb. 145cm kell felpattanjon. Innen százsalekosan ki lehet szamitani a mozgasi energiajanak a vesztesseget a rugalmassaga miatt, ami kb. 45%.

[G.Á]

Folytatva a gondolatmenetet, a toviábbiakban úgy tekintjük hogy az üveg Young-modulusa nagyságrendileg 50GPa, a szakítószilárdság kb 30MPa.

Ebből eredően a maximális relatív megnyúlás .
Ebből a kitérülés szögét is megbecsülhetjük. Ha feltételezzük hogy az üveg L átmérője hozzávetőlegesen egy méter, akkor
az ablak maximális benyomódásának mértéke .

Bár nincs túl sok tapasztalatom ablakok betörésében, de ezt összességében nem tartanám irreálisnak.

Most számítsuk ki azt az erőt amelyet a deformáció közben az ablak kifejt a labdára.
Ehhez szükséges figyelembevenni hogy az ablak véges d vastagságú.

További durva egyszerűsítés felé fordulunk, és feltételezzük hogy a mechanikai feszültség teljes egészében egy kerületű, d vastagságú felületre esik, ahol az r a labda hozzávetőleges sugara.

Ekkor az ablak eredeti felületére merőleges, labdára kifejtett erő .
Ha az ablak 1mm vastagságú, a labda sugara 4cm, és , akkor
.

Ezután persze rátérhetünk a labda tulajdonságaira is, így arra is amit rudolf írt.

szerk:jelölési redundancia javítva

[srudolf]

A kérdésed bonyolúlt.
Fontos dolog a biztonságtechnikában, hogy mennyit bír ki egy üvegfelület. A netten orosz tudósok foglalkoztak a kérdéssel behatóan, de a jegyzetükért kemény pénzt kell fizetni.
Még soha nem láttam olyat, hogy egy ablakon átmenne egy lövedék úgy, hogy azon csak egy lyukat üssön. Van egy udvara a törésnek, pontosan olyan, ahogy az általad belinkelt képen. Egy bizonyos sugarú körben, de nem föltétlenűl szimmetrikusan, sugárirányú repedések vannak. Ez azt jelenti, hogy a becsapodás energiájának egy része a sugárirányú repedésekre fordítódik, a repedések megállnak.
Ezzel a feltételezéssel, nekem teniszlabdára 800Joule mozgási energia jött ki a betöréshez (amit még el kell osztani elosztva o.55-tel), egy 4mm vasatag float (hengerelt) üvegre, ami egy 4ocm átmérőjű sugárirányú repedések vannak. Ez kb. 25om/s sebességű teniszlabdát jelent, ami lehetetlen, hiszen a legerőssebb adogatás 25okm/h körül volt mérve . Az az érzésem, hogy a rugalmasági modulusa a float üvegnek nincs 5oGP, hanem inkább ennek a negyede- pedig mindehol 7oGP ír. Ha egyáltalán be lehet tőrni egy 4mm vastag üveget egy teniszlabdával. 1mm vastag üveg nem létezik, az iparban a 3mm a legvékonyabb amit gyártanak, de abból is lamináltat készitenek: a 3.1.3 duplexet. Vagy az üveges bútorajtókra szerelik.
Szerintem két fázisra kell lebontani a tőrést. Az első fázisban a labda eléri a üveg felületét. Elkezd deformálódni, aztán egy adott pillanatban elkezdi mozgatni az üvegfelületet is, ennek lesz egy másik, valamivel kisebb sebessége, mind a labdának, ami már közös.
Még egy gyakorlati részlet. A 16mm vastag távtartóval készített üvegszerelvényt, két 4mm float üveggel, 12oox12oomm méretbe gyártva, 4om/s körüli szélnél összeér.

[G.Á]

[G.Á]

A korábbi eredményünket átírjuk 3mm-es üvegvastagság esetére.
Ekkor .

A maximális szöget megkaphatjuk a maximális relatív megnyúlás becslése alapján:
- -> (radiánban)

Ezután már kiszámolhatjuk azt a minimális munkát amelyet az ablakon végezni kell, ahhoz hogy megváltoztassuk az alakját egészen a repedéspontig.
Vezessük be az változót. Az ablakon végzett munka hozzávetőlegesen


Persze ez a formula nagyon érzékeny a maximális szögre, ami pedig az adott üvegek rugalmassági tulajdonságaitól függ.
Mindenesetre ha elfogadjuk hogy az ablaküveg betöréséhez legalább 1-10 Joule energia szükséges, akkor egy 50 grammos kő esetén (50 gramm egy teniszlabda tömege is) legalább és közti nagyságrendbe esik.

Legközelebb megnézzük azt is, hogy hogyan lehet egyszerű módon figyelembevenni a labda összenyomódását.

[G.Á]

A korábbiaknak megfelelően, ha az objektum például egy kavics, akkor az ablak betöréséhez szükséges minimális sebességre a következő írható:


ahol a tömeget a továbbiakban 50g -ra, vagyis 0.05kg-ra rögzítjük.
Nagyságrendileg elfogadjuk a számolás további részére hogy .

Ha az objektum egy tényleges teniszlabda, akkor a mozgási energia az ablak törésén kívül a labda saját deformációját is kell hogy fedezze.
Ezt egyszerűen úgy írhatjuk hogy:
, ahol az U a labda deformációjához szükséges munka.

A teniszlabda belseje, egyben térfogatának jelentős része levegő. Az ütközés elég rövid idő alatt történik, hogy a labda összenyomódását adiabatikus folyamatnak lehessen tekinteni.
Ekkor a labda belsejében lévő nyomás .
Hozzávetőlegesen nyomást fejt ki a labda az üvegre, hozzávetőlegesen a saját keresztmetszetének megfelelő nagyságú területen.
Ebből az erőt, illetve munkát ki lehet számítani. Alternatívaképpen a labdában lévő levegő felmelegedéséből is kiszámolható a munka.

Üröm az örömben, hogy a gömbre vonatkozó számítás nem egyszerű.
Sebaj, végre megtehetem azt a közelítést amelyre egész fizikusi pályafutásom alatt vártam:
Tegyük fel hogy a gömb egy kocka.
Innentől már tényleg csak egy hozzászólásnyi a megoldás.

[G.Á]

Tegyük fel, hogy a labdát kockaként, pontosabban téglatestként modellezhetjük, melynek az egyik lapja párhuzamos az üveglappal.
Legyen a kezdetben kocka alakú labda éle hozzávetőlegesen 1.62r hosszúságú, az összenyomódás során az ütközés irányába eső hossza pedig csökkenjen c-vel.

Ez alapján a térfogat minden pillanatban szorosa lesz a kezdeti térfogatnak.

Behelyettesítve az adiabatikus egyenletbe:


Az erő, amelyet a labda az üvegre kifejt, úgy írható mint:
.

Egyensúlyban a teniszlabdában is atmoszférikus nyomást feltételezünk, a levegőre vonatkozó fajhők arányai jó közelítéssel , ezeket felhasználva, illetve ismerve a maximális erőt ( ), ki tudjuk fejezni a maximális összenyomódást.

Némi átrendezéssel ugyanis
.
Ennek maximális értékére jön ki.

Ebből már közvetlenül lehet látni, hogy a labda alakváltozásához szükséges minimális energia mi is lesz.
(Korábban nem hangsúlyoztuk ki, de ebben a megközelítésben csak a labda levegőtartalmának a viselkedését vizsgáljuk. Mivel korábban már volt számolásunk a teljesen merev "kavics-szerű" labdára, ezért a második számolásunk a teljesen puha labdára vonatkozik. Az igazság úgyis a kettő közé esik, és nagyságrendi becslésnél a felső-alsó korlátok kijelölése teljesen elégséges.)

Korábban említettük hogy az ütközés adiabatikus, vagyis:
.
Ha a kezdeti hőmérséklet , .

Ez azt jelenti, hogy az ütközés 36K hőmérsékletemelkedést kell hogy okozzon egy adott pillanatban.
Felhasználva hogy a levegő moláris térfogata az adott hőmérsékleten és nyomáson , lefordíthatjuk ezt energiára.


Magasabb kezdeti hőmérsékleten ez nagyobb is lehet, mindenesetre elfogadható, hogy egy labda esetében a saját alakváltoztatásához több energia szükséges, mint az ablak rugalmassági határának eléréséhez.

Visszatérve az előző hozzászólásom elejéhez, a sebesség .

Ez alapján tehát az ablak betöréséhez szükséges minimális sebesség az 5-20 m/s nagyságrendjébe esik, ámbár az üveg típusától és vastagságától -sőt, a hőmérséklettől- is függhetnek az értékek.