Alakváltoztató testek mechanikája

[mma]

[G.Á]

Közben rájöttem hogy a kinetika 2. részben felcserélve írtam a testhez és a térhez rögzített szögsebesség-mátrix definícióját. Még majd leellenőrzöm, de remélhetőleg nem okozott nagy hibát a későbbiekben.

Viszont rögtön adódik egy kérdés ezzel kapcsolatban.
Rögtön megkérdezhetjük hogy a testhez rögzített rendszerben miért nem nulla a szögsebesség?

A szóhasználat valóban nagyon összezavarhatja az embert, (angolul body-frame az elnevezés) de a következő a lényeg:
A szögsebesség komponensei azért nem lesznek azonosan nullák a "testhez rögzített rendszerben", mert nem arról van szó hogy a mozgást a forgó testhez rögzített vonatkoztatási rendszerben írjuk le!
(Abban a vonatkoztatási rendszerben természetesen a merev test egyes pontjai valóban mozdulatlanok maradnak.)

Ehelyett a merev test minden pontjának koordinátáit (és mozgását, így a szögsebességet is) egy közönséges inerciarendszerben, vagy legalábbis a merev test tömegközéppontjával együtt gyorsuló vonatkoztatási rendszerben írjuk fel.

Egyszerű konkrét esetben az origót a merev test tömegközéppontjába helyezzük, és Descartes-koordinátázást veszünk fel.
Ebben a merev test egyes pontjainak koordinátái felírhatóak mint:
Az ilyen esetben teljesül az is, hogy:

Egyszerűen csak arról van szó, hogy azokat a mennyiségeket amelyeket a nem-forgó vonatkoztatási rendszerben mérnénk, egy másik bázisban fejezzük ki.
Ezt a másik bázist úgy vesszük fel, hogy annak a vektorai a testhez rögzítettek, a mi vonatkoztatási rendszerünkben forognak.

[G.Á]

[mma]

A "könnyűszerrel" itt azért egy kicsi túlzás volt, magam sem gondoltam át rendesen. A nehézség az, hogy a (könnyű) bizonyításhoz a lineáris formák ékszorzatának egy kell alkalmazni, nem azt, ami a fenti jegyzetben van. A kétféle definícióról és ekvivalenciájukról kb. annyit érdemes tudni, ami le van írva.
Ezzel a másik definícióval viszont már tényleg gyerekjáték a bizonyítás.

----

Ja, egyébként a Hodge-duálnak az a definíciója is , amit én mondtam.

----

egy harmadk definíció

[mma]

[mma]

[mma]

Egy pár gondolat erről a 3 pontból álló macskáról (továbbiakban: 3-macska).

A síkon élő 3-macska konfigurációs tere 4-dimenziós, mert 2 pontját szabadon elhelyezhetem a síkon, a harmadik pont helyét pedig meghatározza az a feltétel, hogy a macska tömegközéppontja az origóban legyen.

Az alaktere 3-dimenziós, mivel a sík forgácsoportja (SO(2)) 1-dimenziós. Az alakok egy-egy reprezentásának választhatjuk például minden alakból azt a konfigurációt, amelyben a kék és zöld pontokat összekötő szakasz "vízszintes" (vagyis egy előre megadott iránnyal párhuzamos). Egy ilyen konfiguráció úgy adható meg, hogy megadjuk a zöld pont helyét (ez 2 koordináta), és a kéknek a zöldtől való távolságát (ez 1 koordináta). Mivel a kék pontnak a zöld ponton átmenő vízszintese egyenesen kell lennie (plusz az a követelmény, hogy a háromszög irányítása fix) már egyértelműen meghatározza a helyét (a kék és zöld pont helye pedig a már említett okból meghatározza a pirosét).

A 3-macska mozgása egyébként realisztikusabb lenne, ha kikötnénk azt is, hogy a háromszög területe a mozgás során nem változhat. Ekkor persze mindhárom pont helyének egyszerre kell változnia, viszont elkerülhető az a furcsaság, ami az én fenti megoldásomban előfordult, hogy a macska felfúvódik a mocorgása során, vagyis egy az eredeti alakjával középpontosan hasonló másik alakba megy át.

[G.Á]

Lényegében hasonló rajzot én is készítettem, de többre nem jutottam.

Köszi hogy foglalkoztál a feladattal. Korábban már belinkeltél egy pdf-et ami a 4-macska rendszert tárgyalja, némi munkával valószínüleg átírhatóak annak az eredményei a 3-macska esetre.
A folytonos mozgáshoz (fel-nem fújódó macskához) talán elegendő ha mindegyik lépést infinitézimálissá teszed, és ezzel infinitézimális elfordulásokat kapsz.

[mma]

[mma]