Forgó lánckoszorú

[Skirka]

Van egy specrel-es kérdésem és őszintén bevallom nem tudom a megoldást. Ezért nem rejtvény.

Van egy "ideális" nyújthatatlan és elegendően nagy szakítószilárdságú anyagból egy végtelenített láncunk.
Ezt kifeszítjük pontosan kör alakúra, (már amennyire a láncszemek ezt lehetővé teszik) és megforgatjuk úgy, hogy továbbra is kör alakú maradjon a láncunk.
(Most tekintsünk el a technikai részletektől, hogy hogyan tudjuk megforgatni.)
A kérdésem az, hogy ez a lánckoszorú megtartja-e az eredeti átmérőjét, vagy a szögsebesség növelésével "rázsugorodik" a forgástengelyre?
(Megtisztelne Dávid Gyula, ha állást foglalna ebben a kérdésben.)

[mmormota]

Beírom a saját válaszomat, mert nagyon érdekelne, jó-e...

Az ideális nyújthatatlan lánc szerintem specrelben necces, ezért egy kicsit átfogalmaznám a dolgot.

Ez egy nem nyújthatatlan lánc, de nincs mechanikusan megnyúlva (mindegy miért nincs, nincs és kész, ezt valahogy elértük!), és egyenletes sebességgel forog.
Így átfogalmazva szerintem a válasz teljesen egyértelmű és tiszta: kisebb az átmérője a pörgő láncgyűrűnek, mint egy álló ugyanilyen szemekből kirakott gyűrűnek.

Indoklásom:
Középponthoz rögzített inerciarendszerben leírva a láncszemeknek kerületi sebessége van, mindnek ugyanakkora, így ebben a rendszerben rövidebbek mint egy álló láncszem. A rövidebb szemek kört alkotnak (ok sokszöget de ez nem változtat a lényegen), ennek a körnek a kerületét ilyen rövidebb szemek alkotják. Pillanatfelvétel, inerciarendszer, semmi kétség, minden láncszem megvan, mind rövidebb, és pont körbeérnek. Akkor ennek a körnek az átmérője értelemszerűen kisebb mint ha ugyanennyi de álló, így hosszabb láncszemből rakunk ki egy kört.
(Le is lehetne fényképezni egy a tengelyen magasabban elhelyezett fényképezőgéppel, a fény kúppaláston azonos időket fut be, összetartozó időben kerül minden a filmre)

(Az eredeti kérdésből egyszerűsítettem azzal is, hogy nincs felpörgés, változó, növekvő szögsebesség. Viszont azt gondolom, hogy ha lassan, türelmesen pörgetik fel, hagyják hogy kiegyenlítődjön a feszültség vagy olyan ügyesen csinálják hogy ki se alakulhasson, akkor a helyzet eléggé hasonlít a fentihez tetszőleges szögsebességnél.)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ha reális anyagról beszélünk, akkor bármilyen létező anyag esetében a sima newtoni centrifugális erő elég nagy lesz ahhoz, hogy az emiatt bekövetkező nyúlás meghaladja a relativisztikus effektus miatt bekövetkező összehúzódást. Természetesen ebben az esetben mechanikusan nagy mértékben megnyúlik a lánc, és ez azt eredményezi, hogy növekszik az átmérő. De ez nem azért van mert a relativisztikus effektus nem érvényesül, hanem azért, mert van egy másik effektus is ami szintén érvényesül és annak nagyobb a hatása.
(Mondok hasonlót tisztán newtoni világban: fogunk egy forró gyűrűt (höre tágul), és hagyjuk hűlni de pörgetjük is közben. Akkor most nagyobb vagy kisebb lesz az átmérője, mint egy forró álló gyűrűnek? Hát attól függ.)

Reális anyag esetén szerintem így lehetne feltenni a kérdést:
Azt mondjuk, nem érdekel hogyan de valahogy elértük el hogy a lánc ne repüljön szét. Mondjuk sok kis rakéta nyomja befelé. A sok kis rakéta pedig úgy van beállítva, hogy addig nyomják befelé a láncgyűrűt, amíg megszűnik a gyűrűben mechanikus nyúlás (a láncban a nyúlás arányos a húzóerővel, ami pl. rugós erőmérővel mérhető).
Ez esetben az eredmény szerintem egy kisebb átmérőjű gyűrű lesz, ahogy a gondolatkísérletben a nem nyújtható lánccal. Csak itt nem elvileg se nyújtható, hanem a kapitányok kapták parancsba hogy nem szabad megnyújtani...

[Skirka]

A problémámat az okozza, hogy a láncszemek kontrakciója megfigyelőfüggő és nem mechanikai értelembe vett deformáció.
Vagyis a kontrakció jelenségét az egyidejűnek mért események, az egyidejűség relatívitása okozza.
Nem a kontrakció valóságos volta, hanem jelen esetben az értelmezése okoz gondot. (Nekem legalább is.)

[mmormota]

Forgó rendszerben leírva meg elsőnek meg kell egyezni abban, hogy egyáltalán hogyan mérnek hosszúságot. Mondjuk az a közmegegyezés, hogy van egy egységszemekből álló lánc, azt kell lerakni a mérendő görbe mellé, ahány szem annyi a hossza.
Ha így járnak el, akkor azt mérik, hogy a lánckör kerület/átmérő aránya nagyobb mint 3,141... Minél nagyobb kört rajzolnak annál inkább. Náluk az ami euklidesznél a pi az egy alsó határ ami nagyon kis körökre igaz, de növelve a köröket végtelenhez tart. Nem túl nagy körökre a geometria a hiperbolikusra hasonlít, de van egy kritikus távolság a forgásponttól (bocs, kitüntetett pont ahol nincs tehetetlenségi erő pl) ahol elszáll. Ez ugyanaz a távolság, amelyen túl semmiféle anyag sem állhat, ami azon kívül van az mind egy irányba kering.

[mmormota]

Egy másik fórumon beírt hozzászólást idézek be, majd azt ami az én véleményem róla:

Megkerdeztem egy idegenbe szakadt volt osztalytarsamat , aki fizika prof valami amcsi egyetemen, a valasz a kovetkezo:
"Ez egy klasszikus problema altalanos relativitas elmeletben es az un Ehrenfest paradoxonhoz vezet. Ha egy anyagot (minden lanc-szem egy szilard anyag) az anyagban terjedo *hang* sebessegenel nagyobb sebesseggel forgatsz, akkor az szetszakad, mert a centrifugalis erobol szarmazo feszultseg meghaladja a nyirasi moduluszat. Na de tetelezzuk fel, hogy ezzel nem torodunk a gondolat kiserletunkben es a lanc egyben marad. Mivel a sugar meroleges a mozgas iranyara, amiatt a sugar nem valtozik egy laboratoriumi megfigyelo szamara. Viszont a pereme az eltorzul, es az amit latunk a laboratoriumi rendszerbol fugg attol, hogy honnet nezzuk. Ebbe jol bele lehet bonyolodni es egy nehez kerdes is. Konnyebb elkepzelni azt, hogy egy bicikli kereket forgatunk. Akkor azt latjuk, hogy bizonyos iranyokban a kullok osszesurusodnek, mas iranyokban ritkulnak. A lenyege a valasznak az, hogy a forgo lanc (vagy bicikli kerek) az nem inercialis rendszer. A gyorsulas miatt egy ekvivalens gravitacios ter jelentkezik, ami megvaltoztatja a terido metrikat, es nem-euklideszi geometria jon letre (az un Langevin-Landau-Lifshitz metrika). Ebben a geometriaban a kor kerulete osztva az atmerovel mar nem pi-t ad, hanem egy sebessegtol fuggo szamot. Ezen maga Einstein is sokat gondolkodott es segitett az altalanos relativitas elmeletenek a megfogalmazasaban. Az emberi intuicio nagyon elszal c-hez kozeli sebessegeknel. Nezd meg ezeket a mozikat, ahol c-t 1m/s -nak vesszuk es ugy keszitenek mozikat "mindnnapi" dolgokrol : http://www.anu.edu.au/Physics/Savage/TE ... start.html"

-------------------------------------------------------------------

Ezt meg én válaszoltam rá:
Rendesen elment a prof amellett, amire ez a konkrét feladat ki van hegyezve...

"Mivel a sugar meroleges a mozgas iranyara, amiatt a sugar nem valtozik egy laboratoriumi megfigyelo szamara."

Igen, majdnem mindenki így rontja el.
Azt hagyja figyelmen kívül, hogy a feladatban a követelmény: ne nyúljon meg a lánc. Tehát nem azért lesz kisebb a sugár, mert valami relativisztikus effektus miatt rövidebb lenne (nincs ilyen hiszen merőleges a sebességre), hanem azért, mert a láncot mechanikusan beljebb beljebb kell vinni, különben megnyúlik.

"A lenyege a valasznak az, hogy a forgo lanc (vagy bicikli kerek) az nem inercialis rendszer. A gyorsulas miatt egy ekvivalens gravitacios ter jelentkezik, ami megvaltoztatja a terido metrikat, es nem-euklideszi geometria jon letre"
Ez kitűnően alkalmas félreértésekre. A lánc az lánc, nem pedig rendszer. Ha inerciarendszerben írom le akkor abban a rendszerben Minkowskí metrika van. Természetesen ez nem együtt forgó rendszer.
Amit ő ír, az az együtt forgó rendszer. Abban tényleg más a metrika. Csak nem ez volt a kérdés, és a feladat megoldásához nem is feltétlenül szükséges használni.

[mmormota]

Feltétlenül érdemes a "Bell's spaceship paradox"-ot megnézni, mielőtt valaki ezen a példán kezd gondolkodni.

[Skirka]

[mmormota]

[mmormota]

[mmormota]