Optimális kilövési szög

[G.Á]

Északi sarkról szeretnénk "kilőni" (elhajítani) egy testet úgy, hogy adott szélességi foknál érjen földet, minimális kezdeti energiával.
A közegellenállás elhanyagolható.
Mekkora legyen a hajításnak a vízszintessel bezárt szöge?

Hogyan változik az eredmény ha a célpont a földfelszínhez képest "h" magasságban van?

[G.Á]

Sajnos senki nem válaszolt, így megadom a megfejtés első részét:


A trajektória természetesen ellipszis lesz a megadott feltételek mellett, amelyről annyit tudunk, hogy az egyik fókuszpontja a Föld tömegközéppontja (igen jó közelítéssel a geometriai közepe), és átmegy az északi-sarkon (P), illetve a célponton (Q).

Ez a két feltétel nem teszi egyértelművé az ellipszis paramétereit. Azt ugyan láthatjuk, hogy a másik fókuszpontnak az ellipszis szimmetriatengelyén kell lennie (amely az OPQ háromszög megfelelő szögfelezője), de kérdés, hogy ezen hol helyezkedik el a másik fókuszpont.

A kérdés természetesen éppen az, hogy a minimális energiájú ellipszispályát válasszuk ki, így értelemszerűen ki kell fejeznünk az energiát az ellipszis paramétereivel.


Jelöljük a továbbiakban a közel-és távolpont sugarát és sebességeit d,d',v,v' -vel.
Az imp.mom. megmaradás miatt:


Az átalakítás következő lépéséhez tekintsük az energiák különbségét:

Ebből eredően:


Emiatt nyilván:

Visszahelyettesítve az ellipszispályához tartozó teljes energia kifejezésébe:

ahol "a" az ellipszis nagytengelye. A tömegek rögzítettek, így az energia minimalizálása a nagytengely minimalizálásával ekvivalens.
Az ábráról viszonylag könnyen kitalálható, hogy mikor teljesül ez.

(A teljes energia szokásosabb levezetése megtalálható pl: http://galileo.phys.virginia.edu/classe ... Orbits.htm .
Eredetileg arra gondoltam hogy a fenti módszer rövidebb, de lehet hogy tévedtem. )

[dgy]

Nagyon szép feladat! Főleg ha minél kevesebb analízist, és minél több geometriát használunk fel.

Nem akartam közbeszólni, mert nekünk ez annak idején zh-feladat volt első évfolyamban mechanikából.

Sajnálom, hogy senki sem foglalkozott vele. De még nem késő bekapcsolódni!

dgy

[Antares]

GÁ segítségként levezette, hogy a test energiája arányos az ellipszis nagytengelyével. Tehát egy olyan ellipszist keresünk, amelynek egyik fókusza a Föld középpontja, és amely átmegy az északi sarkon és a Föld felszínének egy másik pontján, amely "távolságra" van a saroktól.

Tudjuk, hogy az ellipszis bármely pontjába a fókuszokból húzott szakaszok összege egyenlő a nagytengely kétszeresével. Ez könnyen le is vezethető, ha a P pontnak mondjuk a perigeumot választjuk.

11.jpg (28.86 KiB) Megtekintve 2532 alkalommal.

Vagyis: PF1+PF2=2a

Tehát a nagytengely minimalizálása tulajdonképpen egyenértékű azzal, hogy a PF1+PF2 hosszúságot kell minimalizálni. Mivel adott becsapódási szélességi kör (azaz adott ) esetén PF1 adott, nem változtatható, ezért csak PF2-t változtathatjuk a minimum keresésekor. A PF2 szakasz nyilván akkor lesz minimális, ha merőleges a nagytengelyre:

12.jpg (31.54 KiB) Megtekintve 2532 alkalommal.

A kilövési szög az ellipszis érintője és a kör érintője által bezárt szög. Ezt jelölje a zöld .

13.jpg (41.24 KiB) Megtekintve 2532 alkalommal.

Innen már csak a szögek közti összefüggést kell levezetni:

- A két zöld színű egyenlő, mert csúcsszögek

- A narancssárga szög , mert a zöld és a narancs összesen 90 fok (a kör érintőjének és sugarának szöge)

- A lila szög , mivel az F1F2P háromszög derékszögű (a korábban levezetett eredmény alapján, ez biztosítja, hogy a nagytengely minimális legyen)

- A narancssárga szög megegyezik a piros és a zöld szög összegével (). Ez az egyenlőség az ellipszis azon tulajdonságából következik, hogy az egyik fókuszból kiinduló fénysugarat a másik fókuszba veri vissza. Ez az állítás tehát azt fogalmazza meg, hogy a P pontnál keletkező beesési és visszaverődési szögek egyenlőek. Tehát , amiből:



Most már csak fel kell írni valamelyik egyenesszöget ezekkel a betűkkel, mondjuk a kör érintőjén látható egyenesszöget (zöld+narancs+lila+piros). Tehát:







A két határset:

Ha a -vel nullához tartunk, azaz ha a becsapódási hely nagyon közel van a kilövéshez, akkor visszakapjuk a 45 fokot, ami a homogén erőtérben végzett ferde hajítás eredménye.

Ha a fok, azaz a kilövési és becsapódási hely a Föld két átellenes pontján van, akkor -ra 0 fokot kapunk, azaz a lövedéket vízszintesen kell kilőni, és az körpályán éri el a másik pontot (ahol ezért be sem csapódik, hanem tovább repül.)

Sokat segített GA tippje a nagytengelyről. Előtte megpróbáltam megoldani a feladatot analitikusan. Megpróbáltam felhasználni az ellipszis paraméterei (a, epszilon, p) és a dinamikai jellemzők (E, J) közti összefüggéseket, és kaptam is egy egyenletet, amelyben a v kezdősebesség csak -val és -vel volt kifejezve. Ennek kellett volna a szélsőértékét keresni -ra nézve, adott -nél. Még ezt az egyenletet is sikerült felírnom, de ez egy nyolcadfokú trigonometrikus egyenlet lett, aminél feltettem a kezem

Ezzel a geometriai módszerrel sokkal könnyebb volt.

A kérdés második része (hogy mi a helyzet, ha a kilövési pont h magasságban van) még nyitott.

[G.Á]

[Antares]

[dgy]

Egy kiegészítő kérdés a feladathoz:

Most már ismerjük az adott szögtávolságot átrepülő minimális energiájú lövedék optimális kilövési szögét. De mekkora sebességgel kell kilőni ezt a minimális energiájú lövedéket? Fejezzük ki a szükséges kilövési sebesség vízszintes komponensét az áthidalandó szögtávolság függvényében!

Válasszuk úgy a mértékegységeket, hogy a bolygó felszínén keringő műhold sebessége egységnyi legyen!

A végeredmény döbbenetesen egyszerű lesz...

dgy

[Antares]

[dgy]

Grat! Részletek később.

dgy

[G.Á]

Nekem is ugyanez jött ki, de szerencsére van egyszerű megoldása is.

A sebesség nagyságára:

A vizszintes komponense nyilván

A legfontosabb, hogy ki tudjuk fejezni "a"-t a szöggel, amihez a háromszögekre vonatkozó szinusztétellel egyszerűsítések után a: egyenletet kapjuk.

Behelyettesítések után négyzetreemelünk, trigonometriailag egyszerűsítünk, gyököt vonunk, és valóban kijön hogy (a normált esetre)