Szabiku vizsgálódásai

[dgy]

[api]

[szabiku]

[dgy]

[szabiku]

[szabiku]

Nézzük, hogyan lehet levezetni a kovariáns differenciál és konnexió összefüggés prototípusát.

A második lapon röviden leírtam az általános koordináta-transzformáció transzformációelméleti vonatkozásait:
viewtopic.php?f=9&t=269&start=18

Induljunk ki a összefüggésből.

Ez az összefüggés transzformálja a felsőindexes vektorokat koordináta-rendszerből (tekintsük ezt bázisnak) koordináta-rendszerbe (tekintsük ezt tetszőlegesnek az előbbihez képest). (Használhatnék a transzformáció alapján egy véges tetszőleges vektort (vektormezőt), de most direkt a prototípus vektorral dolgozok, mert ez az alapvető.) Minden pontban a lineáris transzformáció mátrix tartalmazza differenciális eltérését -tól. Más szóval az adott pontban a két koordinátázásból adódó két érintőtér koordinátavonalai irányhelyzetének, és léptékének eltérését. Ha az adott pontban nincs ilyen eltérés, azaz a megfelelő koordinátavonalak egybeesnek, és azonos léptékűek, akkor . (Az előbbi kék színű pár szó lemaradt, és utólag írtam hozzá.)

Alkalmazzuk a transzformációs összefüggésre a differenciálképző operátort:
(Ez nyilván a differenciálható sokaságon való kis odébb lépésből eredhet csak. A függvény annyira tetszőleges, hogy azért valamiképp értelmes, vagy értelmezhető legyen. Ez mellett nyilván is áll.)

. Felhasználva az összefüggést, adódik:

.

A baloldal a vektornak a teljes megváltozása () egy tetszőleges koordináta-rendszerben felírva. A jobboldal első tagja csak (-nek -tól való) differenciális eltérésének változásától () függő járulék. Ha nincs (differenciális) eltérésváltozás, akkor ez a koefficiens, és vele együtt ez a tag nulla. Következésképpen az utolsó tag csakis a vektormező saját, azaz a koordináta-rendszer választásától független megváltozását jelenti. Tehát ez vektor, ami -beni, és egy a koordináta-rendszer felőli transzformációs alakú formula. Jelöljük ezt a kovariáns differenciált operátorral:

.

Ezzel analóg a koordináta-rendszer felőli transzformációs alakú formula, azaz inverz alak, ami -ban jelent vektort:
(Egyszerűen csak a vesszős koordináták helyett vesszőtleneket írunk, és fordítva, ahogy a transzformációelméletben is áttértünk az inverz alakra.)

.

Egy tetszőlegesen adott prototípus vektormező értékének kovariáns differenciális változása bár a koordináta-rendszeren történő odébb lépésből derül ki, de így ez a differenciál már nem tartalmazza a koordinátázásból adódó nyúlást, rövidülést, elcsavarodást (elfordulást), azaz csak a vektormező sajátosságait fejezik ki. A fizikai matematika megkívánja koordinátázástól független (), de mégis a sokaságon felmért lépték szerinti derivált megadását, ezért ez a differenciál fontos. ()

Visszatérve az egyenlethez, szorozzuk azt be a koordinátatranszformáció mátrixának inverzével, azaz -vel:

.

Baloldalt azonnal feltűnik a kovariáns differenciál, miközben az jobboldalt teljes differenciálra vált:

. A Kronecker delta bevihető a operátor alá, mert konstans.

.

.

A jobboldal első tagjában bevezetve a Christoffel-féle szimbólumokat:

. Jelölés egyszerűsítésként a zárójelek elhagyhatók:

. Készen is vagyunk. Ez a kovariáns differenciál és konnexió prototípusa.

A prototípus vektor helyett tetszőleges vektort írva, és persze ennek megfelelően a középső tagban is az egyik -et -ra átírva:

, ahol a konnexiót jelenti.
(Landau könyv (85,1) és (85,2))

[dgy]

Lacinak teljesen igaza van - ez a legutóbbi levél az utolsó betűig teljesen értelmetlen marhaság.

Még csak annyit, hogy szabiku azt hiszi: kihozott egy képletet a Christoffel-együtthatókra - és ezzel persze azt is bizonyítani véli, hogy nem igaz az, amit már sokszor leszögeztem: a konnexió megválasztása önkényes. Hiszen neki képlete van rá, tehát nem lehet önkényes...

Vegyük észre, hogy a képletben a vesszős és vesszőtlen kordinátarendszerek adatainak egymás szerinti deriváltjai szerepelnek, tehát semmiképpen sem adhatják meg az egyetlen rendszeren belül érvényes konnexiós együtthatókat. Persze nem is adják meg.

Ami kijött (hibás levezetéssel), az az ún. euklideszi konnexió együtthatóinak alakja (lásd Hraskó: Bevezetés az áltrelbe c. könyvét). Ez akkor lép fel, ha van egy kitüntetett koordináta-rendszer - nevezetesen egy sík sokaság Descartes-rendszere, amelyben az összes konnexiós együttható nulla -, és erről térünk át egy általánosabbra: pl a síkbeli Descartes-rendszerről a polárkoordináta-rendszerre. Az ekkor fellépő együtthatók a kétféle koordináta átszámítási függvényeinek első és második deriváltjait tartalmazzák.

Más, általánosabb esetben ezek a mennyiségek nem maguk a gammák, hanem a meglévő, az eredeti KR-hoz tartozó gammák tenzorosan eltranszformált értékeihez ezek a mennyiségek ADÓDNAK HOZZÁ. A gammák változása tehát NEM homogén lineáris trafó, hanem inhomogén - éppen ezért nem tenzorok a Chr-szimbólumok, hiszen a tenzorok homogén lineáris módon transzformálódnak. (Ha az eredeti rendszerben minden gamma nulla volt, akkor persze ezek az additív tagok jelentik a teljes gammát - de ez csak sík sokaság speciális kooordinátázásakor lehetséges.)

A helyes leírás tehát nem az, hogy egy ilyen (téves) leírásból kijönnek a gammák, hanem a helyes leírás alapján követhetjük, mi történik a már meglevő, általában nem nulla gammákkal koordináta-trafó esetén, és különbségi tagként megjelennek ezek a kifejezések. Ezt összekeverni kb annyi, mintha valaki úgy gondolná, hogy a mágneses vektorpotenciál csupán egy mértéktrafó ereménye. Szó sincs róla - mértéktrafó során a már meglevő mágneses vektorpotenciál adott módon változik. (Ez nem felszínes analógia, hanem igen mély, mert geometriai szempontból az áltrel és a mértékelméletek nagyon erős hasonlóságot mutatnak - ez ad reményt későbbi esetleges egyesítésükre.)

A nagy kérdés persze az, hogy minek kínlódunk hetek óta ennyit hibás kiindulású, önkényes lépésekkel teli, téves eredményű "levezetésekkel", miközben a szükséges fogalmak tiszta és pontos definíciója, a korrekt levezetésekkel és interpretációkkal együtt benne van a már többször idézett tankönyvekben. Nem lenne egyszerűbb elolvasni, megérteni és megtanulni ezt a már régóta tisztázott matekot?

Egyetlen választ látok: szabiku nem megérteni és megtanulni akarja a meglévő matekot, hanem addig csűrni és csavarni a képleteket, amíg abból "kijön" az általa korábban "levezetett" hibás eredmény, amelyhez azóta is foggal-körömmel ragaszkodik. Eközben egyre durvább erőszakot kell elkövetnie a matematikán és a józan észen.

Ez már nem matek, hanem paranoia.

dgy

[szabiku]

[dgy]

[szabiku]

Azok nem gonosz vigyorok. Nekem inkább csak viccesen humorosnak tűnnek, mint valami mesefigura.
Nem hiszem, hogy meg kellene sértődni tőlük.
Szóval tényleg nem gonoszságnak szánom.