Fourier transzformáció

[szabiku]

Ki mit gondol? (és miért?)





(A második választás -1 felső indexe az inverz transzformációra utal.)

[dgy]

[szabiku]

Köszönöm, de ez gyors rövidre zárása lenne a témának...

Esetleg valami ellenvélemény??

[dgy]

[szabiku]

Lényegében az -ad kitevőjében szereplő előjel konvenció kapcsolatos a Dirac-delta szimmetriájával. Azonban lentebb látni fogjuk, hogy ez az önkényes választás a kvantummechanika csererelációjában is előjelváltozást okoz. A kanonikus cserereláció a kvantummechanika kiindulópontja, ami viszont a Fourier transzformációból eredeztethető, mivel alapvető és lényegi kapcsolat van közöttük.
Nézzük előbb a Dirac-deltát:



és



A Fourier transzformáció oda-vissza pedig így néz ki:





Ezzel újra előállítottuk az eredeti függvényt, és egyben rögzítjük az kapcsolatot.
Az oda és visszatranszformálás lényegében azonos művelet, ezért jelöljük ugyan azzal a betűvel:



az -nek megfelelő identitás operátor.
Az is nyilvánvaló, hogy (a csillag konjugálást jelent).
Belátható, hogy (a hullámvonal transzponálást jelent).
Az is belátható, hogy (a + adjungálást jelent).
Így az is, hogy , ami azt jelenti, hogy unitér operátor.

Az identitás operátor bármelyik operátorral felcserélhető, tehát:



A bal oldal egy hasonlósági transzformáció, és az identitás operátorhoz önmagát rendeli.
De vajon mit rendel a Fourier transzformáció unitér operátorával elvégzett hasonlósági transzformáció pl. a hely, vagy impulzus koordinátával való szorzás operátorához?? Tekintsük ezt egy alapvető műveletnek, hiszen a sajátfüggvénye (sajátdisztribúciója) a szintén alapvető Dirac-delta, sajátérték spektruma pedig folytonos az egész valós számegyenesen -től -ig. Legyen nagy és az impulzus és helykoordináta operátora impulzus-reprezentációban, kis és koordináta reprezentációban. Nevezzük ki a Fourier transzformált terét impulzustérnek. Impulzus-reprezentációban az impulzus operátorához az impulzus koordinátával való szorzás tartozik, hasonlóan koordináta-reprezentációban a koordináta operátorához a helykoordinátával való szorzás tartozik. Ezeket az operátorokat át kell tudnunk transzformálni az egyik reprezentációból, mint vonatkoztatási rendszerből a másikba. Ezzel együtt lényegében ez a kapcsolat adja meg a kvantummechanika alapját, a hullámszerűséget. A Fourier transzformáció, mint unitér hasonlósági transzformáció, és mint bázistranszformáció adja meg ezt a kapcsolatot.

Az impulzus operátora koordináta reprezentációban:

A helykoordináta operátora impulzus reprezentációban pedig:

(Ez teljesen értelemszerű, mivel a szintaxisban az operátorok balról jobbra hatnak.)

Nézzük előbb az elsőt:







A második integrált az parciális integrálással lehet megoldani:









A második két tag okoz némi fennakadást a végtelenben...
Egy kicsit másképp variálva az integrálást, de lényegében ugyan ez:







Parciális integrálást alkalmazva, mint fentebb:



Ahol: , mert rögzített paraméter a kalkulációban (de úgy is nézhetjük ezt, hogy , mert nem függvénye -nek). Ugyan arra jutunk, mint fentebb:



Ez az utolsó felírás az előzőből nem kielégítő (csakúgy, mint fentebb), sőt, egyáltalán nem jó, mert már előtte a (zavaró) tag eltűnik az alábbi meggondolás szerint:



A integrálási elem minden határon túl infinitezimálisan kicsi, de nem nulla intervallum. Ezzel szemben a Dirac-delta nem egy ilyen infinitezimálisan keskeny intervallumon veszi fel a nem nulla értékét, hanem csak egyetlen pontban. (Ezért van szüksége minden határon túl végtelen értékre e pontban ahhoz, hogy az itt áthaladó határozott integrálja véges értéket adjon.) Ez a pont vagy az integrálási elemen belül, vagy pedig kívül helyezkedik el, de az elem határán nem. Ez azt jelenti, hogy az integrálási elem határán a Dirac-delta mindig nulla értékű. Így az integrálási tartomány határán a végtelenben is nulla az értéke, tehát az említett második tag eltűnik. (Ha visszamegyünk a parciális integrálás elé, akkor már a Dirac-delta deriváltjával hasonlóan okoskodva a intervallumra, egyből a lentebbi helyes végeredményt kapjuk.)
(A disztribúcióelmélet szerint is ezzel egybevágóan eltűnik az a tag...)

Marad:

, amiből:

, vagyis: , és

Egy negatív előjel van a szokványoshoz képest, ami a Fourier transzformációban lévő kitevő előjeléből ered. Ez a választásunk eredménye. Ugyanis önmagában hiába szimmetrikus a Dirac-delta, a hasonlósági transzformáció különböző integrálokban szerepelteti az egyik, illetve másik felét, és a transzformálandó mennyiséget e két fél közé teszi. A kalkuláció során felmerülő deriválások pedig lejuttatják a kitevőből az előjelet.

Nézzük a másodikat:






...

Teljesen hasonló számítással adódik: , vagyis: , és

A csererelációk: (ami szokványosan )

, amiből:

A koordináta-reprezentációbeli cserereláció pedig: (ami szokványosan )

, amiből:

Visszafelé:











Amiből látszik, hogy , vagyis: ahogy azt fent definiáltuk.

Szándékosan nem használtam a Planck állandót, mivel az csak egy mértékválasztás (nálam éppen 1). Nem a Planck állandótól jön létre a kvantumosság, hanem a fizikai mennyiségekhez rendelt operátorok viszonyaitól, pontosabban pl. a legalapvetőbb kanonikus mennyiségek (hely és impulzus) operátorainak csererelációjától ( ), és amit ez hoz magával, generálja az egész kvantumelmélet alapját: a kvantumos hullámszerűséget, és egyben a kvantummechanikát. A Planck állandóval való nullához tartás, lényegében eltörli határesetben a csererelációkat, így az operátorok felcserélhetők lesznek egymással, és ezzel megszűnik a kvantumosság egész alapja. Egyébként ez a matematikai szemmel amolyan "energia-impulzus-periódushossz viszonymérték". Ezért van hozzáragadva a , és ezért is tartják számon a redukált Planck állandót (Dirac nyomán), ami egyszerűsített jelöléssel . Matematikai kalkulálódása során hullám amplitúdókban is megjelenik, pl. normálásnál. Az impulzusnak a hullámhosszal való közvetlen kapcsolata folytán, pedig közvetlenül az energiával kerül kapcsolatba a Planck állandó.

[dgy]

[szabiku]

[dgy]

[szabiku]