Gyorsabban a fénynél (a Marx-paradoxon)

[dgy]

A most következő egyszerű számolásban fogadjuk el érvényesnek a speciális relativitáselmélet elveit és használjuk a szokásos indexes formalizmust! A index a {0, 1, 2, 3} értékeket veszi fel, míg az index csak a térszerű {1, 2, 3} értékeken fut végig. Legyen továbbá a feladatban az egyszerűség kedvéért !

Tegyük fel, hogy létezik egy négyesskalár-mező, amelynek gradiense képviseli a mező térerősségét a benne mozgó részecskék számára. Tegyük fel azt is, hogy a részecskék (nyugalmi) tömegükkel fordított arányban érzékenyek a skalármezőre, azaz a csatolási állandójuk . Eszerint egy részecskére ható négyeserő: .

A részecskék mozgásegyenlete a szokásos alakú:

.

Tételezzük fel most még azt is, hogy egy bizonyos inerciarendszerben (pl abban, amiben a skalármezőt keltő, a feladatban nem szereplő test nyugszik) a mező statikus, azaz a függvény nem függ az időtől, a nulladik koordinátától: . De akkor a fentiek szerint a négyeserő nulladik komponense (a mező által kifejtett teljesítmény) is nulla: . Ez viszont a mozgásegyenlet szerint azt jelenti, hogy a négyesimpulzus nulladik komponense, , azaz az energia állandó:

.

Így ,

ahol a hármassebesség vektora, ennek abszolút értéke.

Vegyük most elő a mozgásegyenlet másik három komponensét:

.

A bal oldalon használjuk ki, hogy , ezért a négyesimpulzus térszerű része



alakba írható. Ezért a mozgásegyenlet térszerű komponensei (minusz eggyel szorozva):

.

Írjuk ezt a tömörség kedvéért vektoros alakba:

.

Fejezzük ki a sajátidő-intervallumot a szokásos módon a rendszeridő intervallumával:

,

és írjuk ezt bele a fenti képletbe:

.

Szorozzuk be az egyenletet az nyugalmi tömeggel:

.

A baloldalon ismét megjelent az energia. Visszaemlékezve, hogy ennek érdéke állandó, kiemelhetjük a deriválás alól:

.

Osszunk -tel, majd nevezzük el az mezőt -nek, ahol a helyvektor, hiszen a (és így a ) potenciál nem függ az időtől. A mozgásegyenlet térbeli részének végleges alakja:

,

Ez pedig épp a klasszikus, nemrelativisztikus Newton-törvény (a tömeggel osztott alakban). Ennek megoldásait jól ismerjük. Ha pl feltételezzük, hogy a potenciál csak a kordinátától függ alakban, és a részecskét nulla kezdősebességgel indítjuk, akkor a hármassebesség a formula szerint minden határon túl növekszik. Ha a képletben a földi gravitációs gyorsulás (10 m/s), akkor a részecske sebessége idő (kb egy földi év) múlva eléri a fénysebességet, és tovább növekszik.

A számolás során végig betartottuk a speciális relativitáselmélet formai, számolási szabályait, minden matematikai lépés korrekt volt, a vizsgált részecske mégis túllépte a fénysebességet!

Ezt kell beépíteni a Millenium Falcon hajtóművébe, és akkor miénk a Galaxis!

Vagy valami nem stimmel? Hol a hiba?

(A fenti levezetés először Marx György 1955-ös Relativisztikus dinamika című jegyzetében jelent meg.)

dgy

[mmormota]

Az E nevezőjében 1-vv szerepel, vagyis E nincs értelmezve a v=1 pontban (akármi is van a számlálóban).
Ezért nem korrekt egyszerűen osztani vele egy olyan tartomány egészében, amely a v=1 pontot is tartalmazza.
A számítás azon alapul, hogy folytonosnak tekint egy olyan függvényt ami nem az, egyszerűen átlép egy nem értelmezett pontot.

[dgy]

[mmormota]

[dgy]

[dgy]

[dgy]

[szabiku]

[szabiku]

Zoli, nem vagy vele egyedül, mert nálam is olyan.
Engem is zavar, nem tudom mi lehet az oka..

[dgy]