Úton a kezdetek felé

[api]

Ott hibáztál, hogy a geometria változását nem akkor tapasztalják, amikor egyre messzebb vándorolnak az É pólustól, hanem akkor ha egyre nagyobb alakzatokat vizsgálnak. Például maguk köré rajzolt egyre nagyobb köröket. Amíg azok sugara kicsi (sokkal kisebb mint a világukban lehetséges legnagyobb körök sugara), addig a kerület a sugár 2pí-szerese lesz, ám a nagy sugaraknál ez lemarad az r növekedésétől, sőt a még nagyobb sugaraknál már csökken is, mígnem a végén 0 lesz.

De az, hogy a fizikus helyén veszem fel az egyik pólus, önkényes. Nincs ezen a helyen semmi különös, csak a koordináta-rendszer kezdete. A világ geometriája tökéletesen független attól, melyik pontját nevezem ki "pólusnak". Egy másik fizikus a maga ülepe alá képzelt pólusból kiindulva pontosan ugyanígy írná le a dolgot. Mint ahogy a földrajz is független attól, hogy hova tesszük a földi pólusokat, választhattuk volna Vaunatu szigetét is. Persze egy ilyen koordináta-rendszerben más koordinátaértékek fogják jelölni az egyes pontokat.

Ez a gömbszerű világ homogén és izotrop is. Bárhova mész, és ott bármerre nézel, mindenhol, minden irányban ugyanazt tapasztalod. Csak épp eltér az euklideszitől, ha nagyok a vizsgált mértek. De akkor is homogén és izotrop marad. A pólusok helye és az 'ar' ill. 'at' értékek ebből következő konkrét összefüggése a koordináta-rendszer felvételétől függ. Tehát önkényes. A radiális és tangenciális léptékek eltérése nem érinti az izotropiát. A déli pólusra érve se tapasztalunk semmi különöset, mint ahogy egész odavezető úton sem. Meglepetés csak akkor ér, amikor egyszer csak váratlanul visszaérünk a kiinduló pontunkra. Akár Magelán. Noha mindvégig nyílegyenesen mentünk.

[tuloktulok]

Köszönöm! Összeállt!

[tuloktulok]

Eljutottam a tenzorokig (23.old.) és kicsit megint ingoványos lett a talaj.
(Mondjuk a Minkowski geometria befogadásához újra kell néznem D.Gy. tanár úr idevágó előadását. )
Szóval beláttam, hogy egy vektor hosszának négyzete független a koordináta-rendszertől. Szintén független két vektor skalár szorzata. Ezt úgy kell elvégezni, hogy mindkét vektornak az adott koordináta tengelyek szerinti vetületeit páronként összeszorozzuk, majd összeadjuk. (Pitagorasz) Ok.
Ha egy koordináta-rendszerben ezután minden vektor helyett az önmagukkal vetett skalár szorzatukat használjuk, akkor amellett, hogy ezentúl tenzornak nevezem őket, az egész rendszer belső viszonyai is állandók. Ok.
Eddig egy adott irányban a görbület jellemzésére használt skalár () helyett az adott irányú tenzorját használom (). Ok.
Ezek a tenzorok a koordináták mentén változhatnak is (). Ok.
Azt viszont nem tudom belátni, hogy miért függ -tól? Hiszen -t pont úgy képeztük, hogy csak az irányú összetevőt vettük számításba. Ha egy lejtős domboldalon "keresztben" sétálok nincs jelentősége, hogy milyen meredek a domboldal.
Szóval innentől elvesztem.
A másik kérdésem, hogy mi szabja meg pontosan nagyságát. (Az elég kicsi, hogy ne torzuljon elég ködös.)
Azért írtam ilyen kisregényt, mert azért az eddigi gondolatmenetem helyességében sem vagyok biztos.
Segíts kérlek!

[api]

[Rigel]

[tuloktulok]

Nem @api, nem elírás volt. Rettentő bosszantó, amikor az előképzettségek hiánya miatt egy bizonyos ponton mindig falnak ütközök!
Bár érteni vélem az érveléseteket @Rigellel, és ezen a kérdés feltevése előtt én is eltöprengtem, de mint az olvasható nem állt bennem össze ez a tenzor dolog. Úgyhogy még rágom a dolgot és ha lesz időm felszerkesztem, hogy a hullámfodros felületek szerintem hogyan görbék.
Mindenesetre ha tudtok valami online elérhető tananyagot amiből autodidakta módon is elsajátíthatók a fentiek, és egy másikat amiből az integrál számítás legalább alapjai, akkor kérlek osszátok meg velem!
Köszönöm az eddigi türelmet, de még visszatérek!

[api]

Ha ez most még nem áll össze, akkor is mehetsz tovább. Ahogy a szövegben is javasoltam, képzeld a tenzort egyszerűen egy táblázatnak. A tenzormezőket pedig úgy, hogy a tér minden pontjához tartozik egy ilyen táblázat. Ami ha az energia-impulzus tenzorról van szó, akkor az energiát, impulzust és ezek áramlását adja meg. Ha metrikus tenzorról, akkor a távolságszámolási képlet együtthatóit, ha görbületi tenzorról, akkor a különböző típusú görbeségeket. Ez a módszer ahhoz hasonló, mint amikor valaki nem érti a vektorok absztrakt definícióját, és kis nyilakként sem érzi őket szemléletesnek, akkor úgy is felfoghatja a komponenseiket, mint csupasz adatokat. Észben tartva, hogy azok azért nem tetszőlegesek, bizonyos szabályok szerint változnak, amikor más koordináta-rendszerben adjuk meg őket.

Bármi tananyagot ajánlanék a tenzorokról, az mind elvontabb lenne attól, mint ahogy én ebben az írásban érzékeltetni próbáltam, és elmenne tőle a kedved.

[api]

A másodrendű tenzorok mibenléte így talán érthetőbb lesz:
A vektorok között is lehet értelmezni függvényeket, pontosan úgy, mint a skalárok között: Ha egy "g" függvénybe beteszünk egy A vektort, kapunk belőle egy B vektort: B=g(A). Ezek a vektor-vektor függvények a skalárfüggvényekhez hasonlóan nagyon sokfélék lehetnek, de közülük is a legegyszerűbbek a lineárisak, azon belül pedig a homogén lineárisak. A skalárfüggvények esetén ezek egyetlen F együtthatóval való szorzást jelentenek: b=f(a)=Fa. A háromdimenziós tér homogén lineáris vektor-vektor függvénye pedig ilyen alakú:



Az ilyen homogén lineáris vektor-vektor függvényt nevezik másodrendű tenzornak. Amit tehát a együtthatók rendszere reprezentál.
Ha az , változók nem vektorok komponensei volnának, hanem akármiféle változók, akkor a fenti három sor csak három különálló homogén lineáris függvény lenne. Másrészről ha mondjuk a értékek ismertek, akkor meg egy lineáris egyenletrendszer. A együtthatók ezekben az esetekben csak egy közönséges mátrixot alkotnának.
A vektorok esetén viszont a komponensek a koordináta-rendszer váltáskor meghatározott módon transzformálódnak egymásba, ugyanígy a -k. A tenzor-komponensek természetesen szintén. Ennyiben különbözik a tenzor a mátrixtól.
A fenti háromsoros kifejezést tömören így szokták írni: =

[tuloktulok]

[api]

Én nagyon örülök, hogy alaposabban meg akarod érteni a dolgokat. A vektor és a tenzor absztrakt definíciója tulajdonképpen pontosan ott van aláhúzva a 24. és a 26. oldalon. Ennyi és nem több. Bár egy darabig emészteni kell, hogy megértsük, mit is mondanak ezek. (És hogy a ménkűbe szerepelhet az A vektor definíciójában, az összes X vektor? Mikor épp most kéne meghatározni, mi is a vektor. Nem körbeforgás ez? De ennek logikai feloldása most mellékvágányra vezetne.) Itt csak arra hívom fel a figyelmed, hogy ebben a definícióban tulajdonképpen az A vektort meghatározó két tulajdonság, vagyis az irány és a hossz invarianciáját (koordináta-rendszertől való függetlenségét) mondjuk ki egyetlen kifejezésbe sűrítetten. Azt kell észrevenni, hogy az A irányára vonatkozó információt épp a többi X vektorokra vett vetületei hordozzák.