Kvantumfizika matekkal, kezdőknek

[srudolf]

A legelső hozzászólástól figyelem ezt a topikot és el vagyok képedve a QM matimatikájának komplexitásától, a legsötétebb álmaiban sem gondoltam volna, hogy ennyire absztrakt. Gratulálok mindenkinek, aki képes volt időt és energiát áldozni QM megértéséhez és értelmezéséhez vagy azon az úton jár.... drukkolok, hogy magyarázzátok meg a világot, HAJRÁ.

[dgy]

[dgy]

KOMPLEX MENNYISÉGEK A KLASSZIKUS FIZIKÁBAN ÉS A KVANTUMELMÉLETBEN
2. rész
HULLÁMOK ÉS PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK

Térjünk át most többváltozós függvényekre, illetve az ezekre vonatkozó homogén lineáris (ezúttal parciális) diffegyenletekre. Fizikai példánk legyen a húrban terjedő (transzverzális) hullámok esete. A húr egy pontját egy koordináta határozza meg. Az koordinátájú anyagi pont pillanatbeli oldalirányú kitérését jelölje az függvény -- ezt keressük. A fizikai feladat precíz megfogalmazásához hozzátartoznak a kezdeti feltételek (a kezdeti pillanatban meg kell adni a húr egyes pontjainak kitérését és sebességét), valamint a határfeltételek (pl az, hogy a húr két végpontja minden pillanatban rögzítve van, ott a kitérés mindig nulla). E kétféle feltételtől (amik a gyakorlati esetekben persze fontosak lehetnek) most eltekintünk. Ezt úgy is elképzelhetjük, hogy egy végtelen hosszú húrt vizsgálunk, vagy gondoljunk ismét az Atlanti-óceánra -- elég távol a partoktól a határfeltételek már nem játszanak lényeges szerepet.

Először persze fel kell írni a rendszer mozgásegyenletét. Ennek levezetését most elhagyom, benne van a mechanika könyvekben. Az egyenlet a következő:

(4)

Ez az egyenlet "a" "hullámegyenlet " nevet viseli. Sokféle hullámegyenlet (azaz hullámjelenségeket leíró egyenlet) létezik, közülük ez a legegyszerűbb - ha külön jelző nélkül "a" hullámegyenletet emlegetjük, rá gondolunk. A többi egyenletnek saját speciális neve vagy jelzője van.

Az egyenletben egy valós pozitív paraméter (dimenziója éppen sebességnégyzet), ami a húr fizikai adataiból, pl sűrűségéből, rugalmas állandóiból számítható ki. Azért nem -vel, hanem -tel jelöljük, mert egyrészt hangsúlyozni akarjuk pozitív voltát, másrészt négyzetgyökének, -nek később fontos szerepe lesz.

Felírok még néhány rokon, de más fizikai jelenséget leíró egyenletet, hogy lássuk a rokonságokat és a különbségeket:

(5)

Ez a Klein--Gordon-egyenlet. (Azért hívják így, mert elsőként Helmholtz, aztán Kudar János, őt követően Schrödinger, aztán jóval később Klein és Gordon írta fel. ) Az eddigieken felül egy új, frekvencia-dimenziójú állandó (pontosabban a négyzete) is szerepel benne.

Ez az egyenlet írja le a húr rezgéseit, ha a húr nem a levegőben feszül, hanem egy rugalmas felületre ragasztjuk, amelybe benyomódhat, így a közeg rugalmassága is beleszól a húr mozgásaiba. A állandó e közeg tulajdonságait veszi figyelembe. Ha elhagynánk a heyfüggést, ezzel a középső tagot az szerinti deriválttal, akkor visszakapnánk az első rész (1) egyenletét: a rugalmas aljzat rugóként ringatná a húrt.

Érdekes, hogy ugyanez az egyenlet (pontosabban: ilyen egyenletek sokasága) írja le a hang vagy egy elektromágneses hullám terjedését egy cső belsejében. Ebben az esetben az egyenletben szereplő függvény nem mechanikai kitérést, hanem a hang vagy a fény erősségét jelenti.

A következő egyenlet az egyik végével egy merev falba rögzített, abból kiálló gerenda transzverzális kitéréseit írja le:

(6)

Az egyenletben egy újabb állandó. Figyeljük meg a különbséget (4)-hez képest: előjelváltás történt, és ami fontosabb: a hely szerinti derivált most nem másodrendű, hanem negyedrendű. (Az egyenlet levezetése pl Budó: Mechanika című könyvében megtalálható - alaposan meg kell hozzá tanulni a rugalmasságtant. Számunkra ez most nem fontos, csak az egyenlet fenti alakját használjuk fel.)

Felírok még egy rokon egyenletet, ezt Fourier vezette le a szilárd testekben lezajló hőterjedés leírására. Ennek megfelelően az mennyiség, a "hullámfüggvény" fizikai jelentése most nem mechanikai kitérés, hanem hőmérséklet lesz.

(7)

Az egyenletben egy újabb valós állandó. Ugyanez az egyenlet írja le a diffúziót is: pl ha festékpöttyöt ejtünk a vízbe, és az lassan szétterjed. Ekkor az függvény fizikai jelentése a festék koncentrációja lesz.

Az eddigi képletekben az idő szerint mindig második deriválás szerepelt - ez a Newton-egyenlet öröksége volt, amiben szintén a mozgó részecske helykoordinátájának idő második deriváltja bukkant fel. A Fourier-egyenlet ettől különbözik, ebben idő szerinti első derivált van - ez jellemző a termodinamikai disszipációs folyamatokra, mint a hőterjedés vagy a diffúzió.

Mindegyik felsorolt egyenlet homogén lineáris, állandó együtthatós parciális differenciálegyenlet. Azaz a keresett függvény különböző rendű, hely és idő szerinti parciális deriváltjait, valamint magát a függvényt tartalmazza - pontosabban ezeknek a mennyiségeknek konstans együtthatós lineáris kombinációit. Az egyenlet jobboldalán pedig nulla van. (Ettől a nullától lesz az egyenlet "homogén". Állhatna a jobboldalon egy adott függvény, ami nem tartalmazza az ismeretlen mennyiséget, hanem valaki előre megadja - ez tulajdonképpen egyszerre végtelen sok feladatot jelentene, attól függően, hogy milyen függvényt írunk az egyenlet jobboldalára. Ezeknek az "inhomogén" diffegyenleteknek a megoldása is fontos matematikai kérdés, de nem tartozik ide. Mi a továbbiakban is a homogén diffegyenletekkel foglalkozunk.)

Vegyük észre (gondoljunk vagy számoljuk utána), hogy ha egy ilyen homogén egyenletnek ismerük egy megoldásfüggvényét, akkor annak kétszerese, minusz ötszöröse vagy negyvenkétszerese - általában: tetszőleges konstanszorosa is megoldás lesz. Ha pedig két megoldást ismerünk, azok összege is megoldása az egyenletnek. Összefoglalva: a megoldások tetszőleges lineáris kombinációja is megoldás lesz. Egy homogén diffegyenlet megoldásai tehát lineáris teret alkotnak (lásd e rovatban korábban a lineáris tér axiómáit). Gondoljunk az előző rész (2) egyenletére - ott az általános megoldás két "alapmegoldás" lineáris kombinációjaként állt elő, a megoldások lineáris tere tehát kétdimenziós volt. Fontos különbség, hogy parciális diffegyenletek esetén a megoldások általában végtelen dimenziós lineáris teret alkotnak.

A következő részben az első fejezetben megismert exponenciális próbafüggvény, illetve annak továbbfejlesztése segítségével megoldjuk a fenti egyenleteket.

dgy

[dgy]

[dgy]

KOMPLEX MENNYISÉGEK A KLASSZIKUS FIZIKÁBAN ÉS A KVANTUMELMÉLETBEN
3. rész
SÍKHULLÁMOK

Az első részben az egyváltozós (általában időtől függő) rezgési jelenségeket leíró, állandó együtthatós homogén lineáris diffegyenletekkel foglalkoztunk. A második részben megismertünk néhány (1+1) dimenziós (azaz 1 idő és 1 térkoordinátától függő) hullámjelenségekre vonatkozó, ugyancsak homogén lineáris, állandó együtthatós, ámde parciális diffegyenletet. Most ezek megoldásáról lesz szó. Az egyenletek számozása folyamatos, visszahivatkozom az előző részekre.

Az első részben megismert alapvető megoldási trükk az volt, hogy a megoldást a differenciáloperátor sajátfüggvényei, az alakú függvények körében kerestük. A paramétert előre nem rögzítettük, azt a függvénynek a diffegyenletbe helyettesítésével kaptuk meg. Mivel a paraméter általában komplexnek adódott, szokás eleve alakban keresni, így a megoldás alakú lesz. Az általános megoldás ezek lineárkombinációja.

Ezt a trükköt szeretnénk a többváltozós függvényekre alkalmazni. Ehhez a római politikából veszünk kölcsön egy jól bevált alapelvet: oszd meg és uralkodj! A diffegyenlet ismeretlen, kétváltozós, -től és -től függő megoldását két egyváltozós függvény szorzataként keressük: . Ezt az eljárást a változók szeparálásának nevezik, és igen kiterjedten alkalmazzák a különböző diffegyenlet-típusok megoldására. Esetünkben azonban tovább is léphetünk: mindkét egyváltozós függvényt a közönséges diffegyenleteknél megismert komplex exponenciális alakban keressük. Legyen tehát az időváltozótól függő , a helykoordinátától függő alakú függvény (a kitevőben a negatív előjel puszta konvenció). Mindkettő periodikus függvénye változójának.

(8)

Az elemekből ismerjük, hogy az (kör-)frekvencia a következő kapcsolatban áll a mozgás időbeli periodicitását mérő T periódusidővel: . Hasonlóképpen a térbeli változást leíró függvényben megjelenő mennyiség (neve: hullámszám) a mozgás térbeli periodicitását mérő hullámhosszal áll hasonló alakú kapcsolatban: . A próbafüggvény tehát térben és időben is periodikus jelenséget ír le - a köznyelv ezt hívja "hullámnak".

Az exponenciális függvény ismert tulajdonságai alapján azonban a két függvény szorzatát érdekes és hasznos módon átalakíthatjuk:

(9)

A diffegyenlet homogén lineáris volta miatt ezt még egy tetszőleges komplex számmal is megszorozhatjuk. Írjuk a komplex állandót exponenciális alakba: , ahol az és már valós (ám továbbra is önkényes) állandókat jelöl.

Korábban megegyeztünk a komplex mennyiségek fizikai értelmezéséről: a valódi (valós) fizikai mennyiséget a komplex mennyiség valós része jelenti. Nézzü meg tehát, milyen alakú lesz most az hullámfüggvény:

(10)

Olyan függvényt kaptunk tehát, amely szinuszosan (pontosabban koszinuszosan) függ a időtöl és az helykoordinátától is. A képletben megjelenik a hullám fázisa és A amplitudója.

Egy utolsó átalakítás érdekes fizikai értelmezéshez vezet. Emeljük ki a koszinusz argumentumában szereplő mennyiségből a hullámszámot:



Vezessük be a következő jelöléseket: , valamint .
Ekkor a hullámfüggvény a következő alakú lesz:

(11)

Most már leolvashatjuk, mit kaptunk. Tudjuk, hogy a koszinuszfüggvény a nulla pontban maximális, majd az argumentum növelésével újabb maximumhoz jutunk. A pillanatban a (11) függvény az helyen veszi fel maximumát, valamint ettől jobbra és balra végtelen sok helyen: e maximumok távolsága épp a hullámhossz lesz: .

Ha azonban a idő elkezd növekedni, a maximumhelyek sebességgel elkezdenek jobbra (a nagyobb értékek irányába) mozogni: a hullám sebességgel TERJED.

A hullámterjedés sebességét a fenti képlet adja meg:

(12)

A most leírt jelenség a "haladó hullám" avagy "síkhullám" nevet kapta.

Hangsúlyozzuk, hogy ez ugyanaz a matematikai objektum (pontosabban annak valós része), amit a (8) egyenletben két egyváltozós függvény szorzataként írtunk le. Az exponenciális függvény speciális tulajdonságai tették lehetővé a szorzat átalakítását olyan formára, amiről rögtön látszik a sebességű terjedés. Ha nem használtunk volna komplex számokat és komplex függvényeket segédeszközül, ez az átalakítás lehetetlen lett volna.

A (12) képlet megadja a hullám sebességét az és paraméterekkel kifejezve. (Némi átalakítással ez alakba írható: a sebességű hullám a T periódusidő alatt éppen egy hullámhossznyi távolságot tesz meg.

De mi határozza meg az és paramétereket? Ezeket a számolás elején önkényesen vettük fel...

Még nem használtuk ki az előző részben felírt hullámegyenleteket! A most leírtak minden hullámra érvényesek - az egyes hullámjelenségeket viszont a rájuk vonatkozó hullámegyenletek különböztetik meg, teszik egyedivé. A következő részben a (8) alakban felírt próbafüggvényt behelyettesítjük az előző rész (4)-(7) differenciálegyenleteibe, és meglátjuk: kapcsolatot, relációt kapunk az és paraméterek között. Így jutunk el a fizika egyik központi fogalmához, a diszperziós relációhoz.

dgy

[dgy]

KOMPLEX MENNYISÉGEK A KLASSZIKUS FIZIKÁBAN ÉS A KVANTUMELMÉLETBEN
4. rész
PARCIÁLIS DIFFEGYENLETEK SÍKHULLÁM-MEGOLDÁSAI

Az előző részben megismerkedtünk az (1+1) dimenziós síkhullámot leíró függvényekkel:

(13)

Most meglátjuk, miért és mire jók ezek a függvények.

1/ Láttuk, hogy jól kifejezik a szemléletes "hullám" fogalom két alaptulajdonságát:
- térben és időben is periodikusak,
- állandó sebességgel "haladó" hullámot írnak le.

2/ (Ezt el kell hinni): a fenti síkhullám-függvények bázist alkotnak a kétváltozós függvények lineáris terében, azaz MINDEN függvény felírható az ő lineáris kombinációjukként. (MINDEN = minden, a fizikusok által egy diffegyenlet megoldásaként elképzelhető függvény. A csak Norbi által értett analízisbeli finomságoktól most eltekintünk.) Tetszőleges függvények síkhullámok kombinációjaként való előállításának tudományát Fourier-analízisnek nevezik.

3/ Az előbb említett "minden" függvények halmazának egy adott (állandó együtthatós homogén lineáris) diffegyenlet megoldásai részhalmazát alkotják. Sőt nemcsak részhalmazát, hanem lineáris alterét is. Ha tehát megtaláljuk azokat a függvényeket, amelyek ebben az altérben bázist alkotnak, akkor az összes megoldást ismerjük. Nos ezek a megoldások éppen a fenti síkhullámok lesznek, csak nem akármilyen és paraméterekkel.

4/ A fenti függvények egyszerre sajátfüggvényei az idő szerinti és a helykoordináta szerinti differenciálás operátorának. További felhasználásuk ezen a tulajdonságukon alapul.

Emlékezzünk vissza az első részre: az alakú függvény szerinti deriváltja az eredeti függvény -szerese volt: . Ehhez hasonlóan a komplex paraméterrel felírt függvény deriváltja:



Ezért ha a (13) alakú hullámfüggvényekre hattatjuk a idő, illetve az helykoordináta szerinti deriválás , illetve operátorát (többváltozós függvények esetén a közönséges differenciálás helyére a parciális deriválás lép), hasonló képleteket kapunk:

(14a)

(14b)

Mi történik, ha a (13) függvényt kétszer avagy háromszor deriváljuk az idő szerint? Minden deriválás behoz a függvény elé egy szorzótényezőt, ezért

(15a)

Hasonlóképpen:

(15b)

Ha a és differenciáloperátoroknak egy bonyolultabb kifejezését, polinomját hattatjuk a (13) síkhullámra, akkor az és az mennyiségekből képzett ugyanolyan alakú polinom jelenik meg szorzótényezőként a hullámfüggvény előtt:

(16)

A most levezetett (16) képlet a síkhullámok alkalmazásának kulcsa. Vegyük észre ugyanis, hogy a 2. részben felírt állandó együtthatós homogén parciális differenciálegyenletek mindegyike úgy tekinthető, hogy a és differenciáloperátoroknak egy polinomja hat az ismeretlen függvényre, és az eredmény egyenlő nullával. Ha tehát e diffegyenletek megoldását a (13) síkhullám alakjában keressük, az összes egyenlet a következő alakúvá válik:



ahol a polinom konkrét alakját az éppen vizsgált differenciálegyenlet határozza meg. Mivel az exponenciális függvény sohasem nulla, ezért egyszerűsíthetünk vele. Marad:

(17)

Mit fejez ki ez az összefüggés? Emlékezzünk vissza az első részre: ott az exponenciális függvényben szabadon hagyott paraméterre kaptunk egy összefüggést, a differenciálegyenlet konkrét alakjából levezethető (1*) karakterisztikus egyenletet. Ez egy algebrai egyenlet volt, amelynek (véges sok) gyöke megadta, mely paraméterek jöhetnek szóba a diffegyenlet exponenciális alakú megoldásaiban. A (17) öszefüggés a parciális diffegyenletek esetében hasonló szerepet játszik, mint a közönséges diffegyenleteknél a karakerisztikus egyenlet: megadja, hogy a lehetséges és paraméterek közül éppen melyek jöhetnek szóba az adott parciális diffegyenlet (13) alakú megoldása során. Ezzel a tetszőleges és paraméterű (és az összes függvény számára bázisul szolgáló) síkhullám-függvények közül kiválasztottuk azokat, amelyek az adott diffegyenlet megoldásainak szűkebb halmazát, a megoldások lineáris terét feszítik ki. E síkhullám-függvényekből még mindig végtelen sok van (minden értékhez tartozik egy érték), ezért a diffegyenletek megoldásainak lineáris tere végtelen dimenziós.

Alkalmazzuk az eljárást sorra a második részben felírt diffegyenletekre. A kapott összefüggést az egyenlettel azonos számmal jelöljük:

A közönséges hullámegyenlet (4) esetén:



A négyzetreemeléseket elvégezve, és figyelembe véve az összefüggést, majd az egyenletet rendezve ezt kapjuk:

(4*)

Ez a (4) diffegyenlethez tartozó összefüggés az és paraméterek között, az ún. diszperziós reláció (az elnevezés magyarázatára később visszatérünk).

Következik az (5) Klein--Gordon-egyenlet:



Rendezés után:

(5*)

Ez a Klein--Gordon-egyenlet diszperziós relációja.

Nézzük a (6) egyenletet, amely a falba rögzített gerendában terjedő hullámokat írja le:



Rendezés után:

(6*)

Ez a falba rögzített gerenda hullámainak diszperziós relációja.

A (4*) és a (6*) egyenletekben továbbléphetünk, és gyököt is vonhatunk az egyenlet mindkét oldalából, így a végső alak:

(4**)

illetve

(6**)

Miért hívjuk ezeket az és paraméterek közötti öszefüggést éppen diszperziós relációnak? Emlékezzünk vissza a harmadik részre, ahol megmutattuk, hogy a (13) síkhullám-függvény sebességgel terjedő hullámot ír le! Ha egy konkrét diffegyenlet esetén a diszperziós reláció kapcsolatot teremt a két paraméter között, akkor az egyik paramétert kifejezhetjük a másikkal, pl: alakban, és ezt behelyettesíthetjük a sebesség képletébe:

(18)

Azt kaptuk tehát, hogy a hullámok terjedési sebessége függ a frekvenciától. Ezt a jelenséget hívják diszperziónak (szó szerinti fordításban a hullám "szétszóródásának"), innen kapta a nevét a diszperziós reláció. Ha különböző frekvenciájú (és így különböző hullámhosszú) hullámokból egy "hullámcsomagot" állítunk elő, akkor ennek különböző frekvenciájú komponensei más és más sebességgel terjednek tova, ezzel elmosva a hullámcsomag alakját.

Számítsuk ki a hullámok sebességét a fenti esetekben! A gerenda (6**) diszperziós relációja alapján:

(6 V)

azaz a nagyobb frekvenciájú hullámok gyorsabban haladnak.

Az (5) Klein--Gordon-egyenlet esetén kissé hosszabb a számolás: fejezzük ki az (5*) diszperziós relációból a hullámszámot: , és helyettesítsük be a sebesség képletébe:

(5 V)

Az (5*) diszperziós reláció és az (5V) sebességképlet alapján is látható, hogy egy kritikus frekvencia, alatt nincs hullámmegoldás, az (5V) sebességképlet azt is megmutatja, hogy a kritikus frekvencián a hullám terjedési sebessége végtelen, de még egy kicsit nagyobb frekvenciákon is nagyon nagy, mindenképpen nagyobb a fénysebességnél. Azonnal felmerül a kérdés: mit szól ehhez a relativitáselmélet? Erre a kérdésre később visszatérünk.

Végül vizsgáljuk meg a (4) differenciálegyenlet, a legegyszerűbb alakú közönséges hullámegyenlet esetét! Mint a (4**) diszperziós reláció mutatja, ebben az esetben a frekvencia egyenesen arányos a hullámszámmal. Ezért

(4 V)

A legegyszerűbb hullámegyenlet esetén tehát tetszőleges frekvenciájú hullám ugyanazzal a sebességgel terjed, amit az egyenletben szereplő paraméter szab meg: nem lép fel diszperzió! A "diszperziós reláció" ebben az esetben éppen a diszperzió jelenségének hiányát írja le.

Nagy szerencsénkre két gyakorlatilag fontos esetben a fenti szerencsés eset ténylegesen megvalósul. A vákuumban terjedő fény esetén egzaktul, a levegőben terjedő fény és hang esetén pedig jó közelítéssel a (4) közönséges hullámegyenlet írja le a jelenséget (persze nagyon különböző hullámsebességekkel). Ez azért nagy szerencse, mert ez teszi lehetővé a beszéddel történő információközlést és a zenét: az összetett, sok különböző frekvenciájú hullámból álló hullámcsomagok összetevői a diszperzió hiánya miatt együtt, egyforma sebességgel terjednek, így a hullámcsomag nem torzul, a beszéd és a zene a távoli hallgató fülébe pont olyan alakban érkezik, mint ahogy elindult. Képzeljük el az ellenkezőjét, az erős diszperzió esetét: a távoli beszélő hangjából először magas füttyök érkeznek, és csak később futnak be a mély dörmögések. Az információátvitel lehetetlenné, vagy legalábbis nagyon nehézzé válna. Hasonlóképp egy távoli tárgyról előbb a kék, majd később a piros fény futna be - elég furcsa világ volna...

Mindhárom eddig tárgyalt diffegyenlet esetén az , a komplex egység a számolás során kiesett a diszperziós relációból, így az végül a valós frekvencia és az ugyancsak valós hullámszám közti kapcsolatot fejezte ki. Ha utánagondolunk, ennek az volt az oka, hogy a (4), (5) és (6) egyenletben minden deriválás páros rendű volt, így a diszperziós relációban -nek páros hatványai szerepeltek, ezek pedig valósok.

Egészen más a helyzet a (7) hővezetési avagy diffúziós egyenlet esetén: itt az idő szerinti deriválás elsőrendű, ezért a diszperziós relációból nem tűnik el az , a képzetes egység. Ez újfajta jelenségek leírására ad lehetőséget - ugyanezzel a matekkal. Ezzel foglalkozunk a következő részben.

dgy

[api]

dgy!
Jó volt olvasni, annyira szép tisztán és egyszerűen vitted végig. Várom a következő részeket!

[srudolf]

Köszi Dgy.
Olvasgatom, már az első résztől, keveset értek belőle, de lassan utánna fogok nézni.
Közben nézegetek egy elméleti mechanika tankönyvet is.

[dgy]

[Macska Bonifác]