Matematikafilozófia

[dgy]

[szabiku]

Szerintem a klasszikus elektrodinamikát, és annak is a legegyszerűbb (kiinduló) alapját, a vákuumbeli Maxwell-egyenleteket kevesebb/másabb feltételezésekből le lehet vezetni, mint a fentebb felsoroltak. Először is, ez nem részecske elmélet, hanem kontinuum elmélet inkább. Persze azért térfogati integrálással, és térbeli pontok tulajdonságait annak eredményével való felruházásával "részecskeszerűvé" gyúrhatjuk. Másodszor, nem kell hozzá mértékszimmetria mert, az egyszerűen matematikailag adódik ki. Hát akkor lássuk:
Kell hozzá, hogy a világ szerkezete olyan legyen, mint a specrel. Ebből következik, hogy nem görbe pszeudoeuklideszi a tér.
Kell, hogy létezzen anyag, mely képes hordozni az "elektromosság anyagát" a töltést (nincs szó kvantáltságról), ha nem csak vákuumbeli EM hullámokat szeretnénk.
(Ha az anyagnak elektromos tulajdonságokat is adunk, az vezet azokra a Maxwell-egyenletekre, melyek már 'műt', 'epszilont' és 'rót' is tartalmaznak, de most nem azokról van szó, hanem csak az alapvetőekről. Azokat ezekből utána lehet megalkotni.)
Ha az anyagnak, mely a töltést hordozza nem volna tömege, nagyon furcsa egyenletekre jutnánk, nem sok értelme volna, energia és hatás nélküli folyamatok jönnének ki, ezt a lehetőséget élből el kell vetni.
Tehát így már van elektrodinamika nélküli mechanikai-dinamikánk is az eddigiek alapján, így észrevehetjük, hogy ez is kell hozzá. (Valaki egyszer nekem azt mondta, hogy az elektrodinamika működik tömeg nélkül is, és ez alatt azt értette, hogy alapvetően nem kell hozzá a tömeg, mert nem szerepel a Maxwell-egyenletekben. Hát ez nekem már akkor furcsán hangzott, ezért el is gondolkoztam rajta, és szerintem nem volt igaza.)
Feltételeznünk kell, hogy "végtelen hatótávolságú" kölcsönhatás van az "elektromosság anyaga" között a semmin keresztül is, melybe nem szól bele a hordozó anyag. Ezt bizony hajlamosak vagyunk nem észrevenni a jelenség leírásának matematikai szépsége miatt. (Yukawa észrevette) A "végtelen hatótávolságú" azt jelenti, hogy statikusan vizsgálva a töltést, a kölcsönhatás "erőssége" nem hal el (nem csökken, sem nem erősödik) a távolság növekedésével, ha egy dimenziós lenne a tér, de mivel három, így ez 1/r -es (potenciál) csökkenésre vezet. (Ugye ezt módosította Yukawa, mikor az erős kölcsönhatást akarta leírni az elektrodinamika mintájából kiindulva... még Nobel díjat is kapott érte.)
Kell az anyag, pontosabban az "elektromosság anyagának" a megmaradása.
Kell az anyag megmaradása is, de inkább úgy fogalmazva, hogy az energia megmaradása, az impulzus és impulzusmomentum megmaradása. Ezt már tartalmazza a fentebb említett mechanikai-dinamika.
És most jön a legérdekesebb:
A kölcsönhatásnak, amiről ugye szó van, az elektromágneses kölcsönhatásnak mechanikai-dinamikai eredménye van, tehát mechanikai erők lépnek fel. Na de mi közvetíti ezeket a vákuumon, azaz a semmin keresztül?? Ebben az elméletben a fentiek alapján az ugyanis a "totál semmi", ezért a józan észnek ez ellent mond. Ezt a mélyebb problémát az elektrodinamika nem igazán oldja meg, csak szőnyeg alá söpri. A fentieket alapul véve ugyanis konstruktív matematikával olyan fiktív, nem valódi, mennyiségeket alkothatunk meg, mint az elektromos és mágneses térerősségek, valamint a vektorpotenciál. Ezek majd elképzelten kitöltik az űrt is, vektor-, illetve tenzormezőt alkotva a térben.
Lássuk a levezetést szóban:
A megmaradási törvények Gauss-tétele értelmében bármekkora térfogatra érvényesek, és a megmaradó mennyiségek csak az azt körülvevő zárt felületen áramolhatnak be illetve ki, tehát globálisan is, és lokálisan is érvényesek, így nem csak integrális, hanem differenciális alakjuk is van. Ezek az úgynevezett kontinuitási egyenletek. Az átalakulás nem sérti alapvetően a megmaradási tételt, ezt csak egyesek szeretik félrevezetően így felfogni, de persze az átalakulást figyelembe kell venni.
A megmaradási tétel a potenciális energiára is igaz, így az elektromos kölcsönhatás potenciális energiája is áramlik. Ebből lesz a (hármas) vektorpotenciál, ami nem más, mint a skalár potenciál áramlása. Mivel ez az üres térben, pontosabban, az anyagot figyelmen kívül hagyva a térben áramlik (fiktíven persze), sebessége c, a fénysebesség (más értéke nem lehet, és ez is csak dimenzionálást jelent, mert hisz a c nem is valódi fizikai állandó..). Ezzel megalkottuk az elektrodinamika négyes vektorpotenciálját. (Egy pár egyenletből a Gauss-tételen keresztül el lehet jutni idáig.) Ezután jön az elektromosság anyagának, a töltésnek a megmaradása. Ebből adódik a négyes áramsűrűseg, pontosan ugyan így levezetve Gauss-tételéből, azzal a különbséggel, hogy itt már valós mechanikai-dinamikai tulajdonságokkal is rendelkező anyag a hordozó (nem az üres tér), és ezért az áramlás sebessége nem lehet c, csak annál kisebb valamilyen értékű.
Ez a két mennyiség, a négyes vektorpotenciál, és a négyes áramsűrűség vektormezőt jelent a négyes téridőben, melyeknek a megmaradás miatt a divergenciájuk nulla. A vektorpotenciál esetén ez nem feltétlen kell majd, hogy így legyen, ami nemsokára ki is derül, és akkor ezt a speciális és kovariáns mértékét Lorentz-mértéknek, egyenletét pedig Lorentz-feltételnek nevezzük el.
És akkor most következik két nagyon egyszerű matematikai tétel, mégpedig a következők:
Ha egy vektor divergenciája nulla (ez lesz a négyes áramsűrűség), azaz megmaradó mennyiség, akkor az felírható egy másodrendű antiszimmetrikus tenzor divergenciájaként. Másodrendű antiszimmetrikus tenzor pedig felírható vektor rotációjaként (ez lesz a négyes vektorpotenciál).
Ha ez utóbbi vektor(mező) szintén divergencia mentes, akkor nincsenek az egyenletben zavaró tagok, és így ennek a Laplace-féle operátorral képzett mennyisége lesz ugye a kiinduló vektorunk(mezőnk). Ez a négyes Poisson egyenlet, ami ha nulla, vagyis nincs töltés(sűrűség) sehol, akkor a Laplace egyenletet kapjuk, amik hullámegyenletek. Ezekből lesznek az elektromágneses hullámok.
Az imént említett antiszimmetrikus tenzort térerősségtenzornak nevezzük. Ezek elemei majdnem közvetlen az elektromos és mágneses térerősségek, amik nem vektorok!
Na már most, a rotáció képzésénél kiesik a vektormező azon része (komponense), ami nem tartalmaz rotációt. Ez viszont felírható skalármező gradienseként. Ezért a térerősségtenzor (a térerősségek) ugyan az lesz, ha a négyes vektorpotenciálhoz hozzáadok egy tetszőleges skalárgradiens vektormezőt. Persze ezzel elrontom a "megmaradását", azaz divergenciája így már nem nulla, és a vektorpotenciálos hullámegyenlet sem igaz, de nem érdekes, azt mondom, más mértéket választottam, és kész, mert a térerősségeim ugyan azok, és az azokból felállított Maxwell-egyenletek is változatlanok, valamint az azokkal (térerősségekkel) felírt erő-, energia- és energiaáram-sűrűségek is. Ezért szeretik a Maxwell-egyenleteket tekinteni az elektrodinamika alapegyenleteinek, másokkal szemben, akik pedig a Poisson- és Laplace-egyenleteket. De van ennek még egy jelentős oka. Az, hogy ha görbült a tér, akkor a négyes vektorpotenciál a mértéktranszformáció nélkül is elveszti az energiához kapcsolódó közvetlen és egyszerű szerepét, melyet itt a levezetéshez kiindulásként felhasználhattunk.
Végeredményében így a mechanikai erő üres téren keresztüli közvetülését az elektromágneses kölcsönhatás esetében (klasszikusan a specrel keretében) tisztán spekulatív matematikai úton sikerült olyan formába önteni, hogy ezzel definiálva a térerősségeket és a vektorpotenciált, egy számolásokhoz nem csak jól felhasználható, hanem jól is vizualizálható szemléletes képet kaptunk eme "mágikus" távolbahatásról. A térerősségekkel így kifejezhető a teljes Lorentz-erősűrűség, sőt még az elektromágneses mező energia-impulzustenzora is felírható levezetéssel úgy, hogy matematiaki átalakításokkal olyan alakra hozzuk, hogy szimmetrikus legyen, és divergenciája a teljes Lorentz-erősűrűséget adja.
Mint minden, a természetet magyarázó elmélettel, sajnos ezzel is van baj.
A legelképesztőbb, hogy pl. tekintsük a legegyszerűbb és ráadásul szimmetrikus esetet: van két egyforma töltés (pontszerűek szintén az egyszerűség kedvéért, és most nem ez okozza azt a problémát, amire gondolok), és ezek kölcsönhatnak egymással. Írjuk fel a mozgásegyenletüket, azaz határozzuk meg a pályájukat. Nem tudjuk pontosan megoldani a feladatot.

[dgy]

[api]

Csuda dolgokat hoztok itt az elektrodinamika mértékszimmetriából való vagy anélküli származtatásáról. És dgy is annyira meglepett a klasszikus mechanikára vonatkozó provokációjával, hogy elgondolkoztam rajta, vajon ez miért nem jutott eszembe eddig? Talán, mert Newton elméletét az ember ösztönösen fizikatörténetnek érzi már, és nem is akarja rekonstruálni a mai elvek mentén? Annak ellenére, hogy valószínűleg ma is ezt a fizikát alkalmazzuk leggyakrabban.
Ha nem teljesíti a mértékinvarianciát, abból, gondolom, elég feltűnő következmények származhatnak. Vajon mik? Talán az abszolút nyugvó koordinátarendszer kitüntetett szerepe, pl. a vödörkísérletben?

[dgy]

[api]

[Kónya Gábor]

.

[api]

No igen, ennek az antiszimmetrikus
tenzornak a Lorenz transzformációjára már érvényes lesz a kompozíciós tulajdonság, és négy Maxwell egyenlet helyett a következő kettőnek hódol:


(a c=1 rendszerben)
De azt nem tudom, hogy a gradiens invariancia közvetlenül rá érvényes-e? (dgy. fenti megjegyzéséből arra következtetek, hogy nem, de ha mégis, akkor fel lehet-e írni olyan szemléletes módon, mint a négyespotenciálra?

[Kónya Gábor]

.

[api]

Kösz, ebből formulából tényleg csuda egyszerűen látszik, hogy kiesik. Ezzel az alakkal még nem találkoztam, pedig ahogy nézem a Wikin, tulajdonképpen ezt lehet tekinteni a térerősségtenzor definíciójának Minkowski térben.

Szóval dgy. akkor nyilván a hármas térerősségekre gondolhatott.