Bomlás

[dgy]

Egy nyugalomban levő, =14 egységnyi tömegű részecske két részre bomlik.

Az egyik részecske tömege =9 egység, és ismeretlen sebességgel repül balra.
A másik részecske tömege ismeretlen, és =(15/17) sebességgel repül jobbra, ahol a fénysebesség.

Mekkora az első részecske sebessége, és mekkora a második részecske tömege?
Mennyi a relativisztikus tömegdefektus? Mekkora a két szétrepülő részecske relatív sebesssége a fénysebességhez viszonyítva?

A számolás során NE használjunk tizedes törteket, csak közönséges törteket, esetleg gyökös kifejezéseket!

(Optika és relativitáselmélet vizsgazh feladat, 2. Fizikus BSc, 2014.12.14.)

dgy

[srudolf]

Kedves DGY, köszi, hogy ezt megosztottad.
Már 3 óraja studirozom a feladatodat, nem tudom megállni, hogy ne írjam be amire jutottam.

Tömegegységben számolva és c=1-gyel.

Az energia megmaradás tőrvénye szerint


az impulzus megmaradás tőrvénye szerint


ahol th(chi1)= u és th(chi2)=v, M a nyugalomba levő tömeg a bomlás előtt, azaz a teljes energia E=M c, a nyugalomba levő tömeg impulzusa zérus, azaz a két elbomlott tömeg impulzusának összege is zérus. Az m és m az M tömeg bomlásának két részecskéje a bomlás pillanatában.
Úgy vettem, remélem nem hibásan, hogy az u sebességgel haladó részecske tömege (amit meghatároztál) relativisztikus, azaz
valamint .
Osztva-szorozva kijött a

A sebességek összeadásának képletével ki lehet számolni a két anyagi pont relatív sebességét, aminek (85/123)c -nek adódott.

[dgy]

[dgy]

[srudolf]

Kedves DGy és LaciSanyi

Nem probálom megoldani a feladatot, de tisztázom a négyesimpulzus vektor méretének (hosszának) az invarianciáját, ami Dgy magyarázott. Csak persze megint kell a matek.

Egy m tömegű anyagi pont mozog v sebességgel a téridőben A és B esemény között, erre igaz a következő: a négyes helyzetvektor hossza bármely megfigyelőhöz képest mindig ugyanaz. Időszerű eseménysorozat esetében (c=1):
dtau= dt-dr= dt'-dr'=dtau'

Ez egy egyenlőség, amit be lehet szorozni egy, a transzformációra, invariáns mennyiséggel, pl. a részecske tömegének négyzetével, (amit most pont nem értek, hogy miért invariáns, de megmérve a tömegét a részecskének egy olyan rendszerben amiben áll, akkor mindig az m tömeget kapod minden sebességnél) és elosztjuk a sajátidő négyzetével, akkor ezt kapjuk:

m= mdt/dtau-mdr/dtau= m'dt'/dtau'-m'dr'/dtau'=m',
tehát m= m', azaz a tömeg invariáns.

Namostmár, az időszerű komponenset a fizikusok elnevezték energiának, a térszerűt meg impulzusnak, megváltoztatták a mértékegységeket és mehet tovább a Minkowski geometria ezerrel. 1+1 dimenzióban tárgyalva (sajnos nem működik most a képletes program):
(p',E')= L(chi) (p,E), m=E-p=E'-p'[pub]2[/sup], ahol a E, E', p, p' a impulzus négyesvektor komponensei.

Ha a R'-ban az anyagi pont áll akkor az impulzusa zérus, azaz a (E , 0), tehát m= E', és ha most kiveszük a c=1 feltételt, akkor kijön a E=m c.

Most visszatérve a feladatra.
(p,E)= (p,E)+(p,E) ezek a négyesimpulzus vektorok egyenlőségét kéne jelőljék. Ebből következik az, hogy

E=E+E és p=p+p=0 és az is, hogy E-p= m és E-p= m

[dgy]

Sziasztok,

mindkettőtöknek teljesen igazatok van, csak a helyzet - bizonyos esetekben - egy kicsit bonyolultabb.

Rudolf azt írja, nem látja, miért is invariáns a tömeg. És úgy gondolja, úgy kaptuk az energiából és hármasimpulzusból álló négyesimpulzus-vektort, hogy a négyessebesség ismert négyesvektorát megszoroztuk az (ismertnek és invariánsnak feltételezett) tömeggel (ebből automatikusan következik, hogy ez a mennyiség is négyesvektor lesz), majd az egyik komponensét elneveztük energiának, a másikat impulzusnak.

Laci megfordítja: azt mondja, van a négyesimpulzus-vektor, ami az energiából és az impulzusból áll, és definíció szerint e vektor abszolút értéke a tömeg, ami eszerint kötelezően invariáns.

Mindkét állításhalmaz helyes - két különböző lehetséges didaktikai felépítést képviselnek. És e szempontból lényegtelen, hogy a történeti fejlődés egyik logikai utat sem követte - azt megbonyolította, hogy az "energia" és az "impulzus" fogalma korábbról, a klasszikus mechanikából ismert volt, és az alapító atyák elbíbelődtek azzal, hogyan illesszék be e fogalmakat a relativitáselméletbe. Utólag persze könnyű okosnak lenni, ma a fenti két út egyikét követhetjük.

Csakhogy mindkét gondolatmenetnek vannak elvarratlan szálai. A Rudolf-féle felépítésben azt gondoljuk, hogy már eleve ismerjük a "tömeg" fogalmát és tulajdonságait. És ehhez sajnos járulnak további, ki nem mondott háttér-feltételezések - pl az, hogy a tömeg a mozgás során állandó. Amíg konstans sebességgel mozgó részecskékről van szó, addig ez nem okoz gondot, még az itt szereplő bomlásos vagy összeütközéses-szórásos feladatokban sem, hiszen a pillanatszerűnek feltételezett kölcsönhatási aktuson kívül az összes részecske állandó sebességgel szalad. Ám ha külső erőhatás (azaz a környezettel, pl mezőkkel való kölcsönhatás) következtében a sebesség folyamatosan változik, akkor nem tartható a tömeg állandóságának hipotézise. Erre Novobátzky Károly jött rá Pesten 1950-ben, és tulajdonképpen ez az alapja a Higgs-féle elméletnek is, mi szerint a Higgs-mező "adja" a részecskék tömegét.

Akik ezt nem veszik észre, és állandónak gondolják a tömeget, azok igazából összekeverik az "invariáns", azaz "skalár" mennyiség fogalmát a "konstans" fogalmával. Pedig az első azt jelenti, hogy a mennyiség értéke transzformáció (jelen esetben Lorentz-trafó) esetén marad változatlan, míg a másik az idő múlása során nem változik. Gondoljunk arra, hogy létezhetnek időben változó skalármennyiségek (pl a lassan növekvő nyomás), és konstans vektorok is.

Ez a gond nem lép fel a Laci által leírt felépítésben, ezért én is ezt használom az oktatás során. Itt előbb van az energiából és impulzusból összerakott négyesimpulzus-vektor, a "tömeg" szó egyszerűen ennek az abszolút értékét jelöli. (Tulajdonképpen meglehetnénk a használata nélkül is, mint pl a klasszikus mechanikában is többször javasolták a sebességvektor abszolút értékének - ami skalár - a megnevezésére a "gyorsaság" kifejezést, de nem terjedt el, mert nem volt rá szükség.) A külső erőtér hatása folyamatosan megváltoztatja a négyesimpulzus-vektort, azaz az energiát és az impulzust, ezért természetes, hogy a belőlük alkotott vektor abszolút értéke, a tömeg is folytonosan változik. Azokat a ritka eseteket kell külön kimagyarázni, amikor nem ez történik, mert olyan speciális a külső hatás. Ilyen speciális külső tényező az elektromágneses mező: a vele való kölcsönhatás nem változtatja meg a négyesimpulzus-vektor abszolút értékét, a tömeget. Mivel sokáig csak ezt az esetet tanulmányozták (nem ismertek más külső mezőket), azt hitték, hogy a tömeg állandósága általános fizikai törvény - pedig dehogy. (Egy - matematikailag nagyon találó - hasonlat: egyenletes körmozgás esetén a sebességvektor változik, van gyorsulásvektor - az ún. centripetális gyorsulás -, de ez mindig merőleges a sebességvektorra, ezért a sebességvektor abszolút értéke, a "gyorsaság" állandó. Ha valaki ezt a szitut tanulmányozva e jelenség tulajdonságait fogadná el a sebesség és a gyorsulás általános törvényeiként, az nagyon meglepődne, hogy pl a bolygómozgás során sem a sebesség- és gyorsulásvektorok merőlegességének, sem a gyorsaság állandóságának "törvénye" nem teljesül. Pedig ezek igazából nem törvények, csak egy speciális szituáció jellemzői voltak.)

Laci felépítése tehát ebből a szempontból egyszerűbb, hatékonyabb és világosabb. Van viszont emögött is egy ki nem bontott szál. Honnan tudjuk egyáltalán, hogy létezik az energiából és a hármasimpulzusból összerakható fizikai mennyiség, és az négyesvektor, azaz pontosan úgy viselkedik a Lorentz-trafó során, mint az időből és a hármas helyvektorból összerakott négyesvektor? Ennek levezetéséhez és megindoklásához már cifrább matek szükséges: a Lorentz-trafók és ábrázolásaik csoportelméleti tárgyalása, és a mozgásegyenletek variációszámítással való levezetése. (Az utóbbi sokáig hiányzott a relativitáselméletből, a precít tárgyalás csak 1987 óta létezik.)

És még egy probléma van: miért is "párhuzamos" a két vektor, a négyessebesség és a négyesimpulzus? Azaz miért egyirányúak, miért kapjuk meg az egyiket a másikból egy skalárral való szorzással? Ez elsőre fel sem tűnik, nem is gondoljuk problémának. Annyira hozzászoktunk a klasszikus fizikában a p=mv képlethez, hogy természetesnek vesszük a fennállását. Rudolf felépítésében ez a párhuzamosság triviális, hiszen a másik vektort épp így definiálja: szorozzuk meg az egyiket egy skalárral (más kérdés, hogy a finomabb analízis szerint ez a skalár a mozgás során nem állandó). Laci felépítésében (és a mögé rakható csoportelméleti indoklásban) a négyesimpulzus-vektor létezése megmagyarázható, azonban az nem következik semmiből, hogy ennek párhuzamosnak kell lennie a négyessebesség-vektorral. Konkrét "egyszerű rendszerek" (pl a szabadon mozgó tömegpont) esetén "gazdaságossági" érveket használhatunk: az elméletben egyszerűen nincs másik vektor, és mivel nincsenek kitüntetett irányok, hát milyen irányba mutasson az a szerencsétlen impulzusvektor, ha nem az elméletben szereplő másik vektorral, a sebességgel párhuzamos irányba?

A pontos tárgyalás és indoklás igazából csak a variációszámítás felhasználásával lehetséges (ez az ún. kovariáns Lagrange-formalizmus). Ezzel az egyszerű rendszerekre valóban kijön a két négyesvektor arányossága. Viszont - itt jön a slusszpoén - kissé bonyolultabb rendszerekre már nem. Pl elektromágneses mezőben (melyek egy A_k(x) négyesvektor-mező jellemez) mozgó részecske esetén a négyesimpulzus: p_k = m u_k + e A_k, ahol m a "tömeg" (ami most NEM a négyesimpulzus abszolút értéke!), u a négyessebesség, A(x) az elektromágneses mező (ami függ a helytől és az időtől), e pedig a részecske "töltése", azaz a csatolási állandó, ami leírja a részecske és a mező kölcsönhatásának. "csatolásának" erősségét. Látható, hogy a p és u vektorok általában nem lesznek párhuzamosak.

Mindezzel azt szerettem volna illusztrálni, hogy - bár mindkettőtöknek teljesen igaza van - még az ilyen egyszerű(nek látszó) lépések, definíciók és képletek mögött is nemtriviális, bonyolult fizikai megfontolások, döntések és választások állnak. A legegyszerűbb esetekben persze ezektől eltekinthetünk, és érvelhetünk naívan, de ha az ismereteinket egy kicsit is általánosítani akarjuk (mint most: időben változó, illetve erőtér hatása alatt álló mozgás esetére), akkor alaposan meg kell gondolni az elemi állítások mögötti rejtett feltevéseket, és olykor (persze megfelelő indoklással) fel kell adni némelyiküket. Másrészt arra is szerettem volna felhívni a figyelmet, hogy létezik olyan matek, olyan tárgyalási formalizmus, amiben ezek a kérdések maguktól felbukkanak, jól kezelhetők, a válaszokat jól áttekinthető módon adhatjuk meg, a mozgásegyenletek pedig egyszerűen levezethetők. Ez a matematikai formalizmus a (szimmetriák csoportelméleti kezelésével megtámogatott) variációszámítási módszer - amit épp ezért érdemes megtanulni. (Ahogy pl azon a specin, aminek az elejére Laci is járt, igyekeztem ezt kb húsz hallgatónak bemutatni. Már csak hétmilliárd ember van hátra, akik még nem ismerik ezeket az igazságokat .

Viszont: ez itt a rejtvények rovata. Az eredeti feladvány - és a hozzá sokban hasonló, de nem 1+1 téridő-dimenziós "Sebességcsere" feladat - még megoldatlan. Az egyenletek ismertek, lehet nekigyürkőzni a megoldásuknak!

dgy

[srudolf]

[srudolf]

u= -5/13 c , m= 2 egység

M>m1+m2, 14>9+2 , azaz 3 egység, ettől tettek szert az elbomló részecskék mozgási energiára.

[dgy]

Stimmel!

dgy

[srudolf]

th (chi1+chi2)= (th(chi1)+th(chi2))/(1+th(chi1)th(chi2)) = 11o/146 c