Konnexió - kérdések, válaszok

[dgy]

Konnexió. Csak röviden.
1. rész (még kb 3 jön, isten tudja, mikor).

Vegyünk két szomszédos pontot az dimenziós sokaságban, -t és -t. Koordinátáik és (a index -től -ig fut). Mindkét ponton áthalad a koordinátarendszer vonalhálózata, ezek érintővektorai feszítik ki az adott pontbeli érintőtérben a lokális bázist, ez dimenziós sokaság esetén db lineárisan független vektort jelent. Ezek lineárkombinációi alkotják a , illetve érintőtér vektorait.

Foglalkozzunk most a párhuzamos eltolással. Ez NEM az affin térben értelmezett eltolásfogalom, mert nem egyetlen halmaz elemei közti kapcsolatról van szó, hanem két különbözö vektortér, a , illetve érintőterek közti lineáris leképezésről. Lineáris, mert azt szeretnénk, hogy két vektor összegének eltoltja az eltolt vektorok összege legyen stb. Lineáris leképezés esetén a nullvektor mindig a másik tér nullvektorába képződik le (ez volt a múltkor az egyik hiba, mert a sokaságbeli eltolást egy affin eltolással akartad megoldani - ez nem megy, mert az érintőterek lineáris terek, de nem affin terek!). Szeretnénk a pontbeli érintőtér vektorát eltolni egy vektorba, ami igazából már a másik, a pontbeli érintőtérben van, azaz a érintőtér egy vektora: .

Mivel a két pont infinitézimálisan közel van egymáshoz, ezért feltételezhetjük, hogy az eredeti és az eltolt koordinátái (mindkettőt a hozzá tartozó helyi bázishoz viszonyítjuk!) szintén csak infinitézimálisan térnek el egymástól: , ahol a mennyiség infinitézimálisan kicsi. Feladatunk meghatározása (vagy kitalálása, definiálása).

Mivel azt akarjuk, hogy az eredeti és az eltolt vektorok koordinátáit lineáris transzformáció kösse össze, ebből következik, hogy a "különbség-vektor" is lineárisan kapható meg koordinátáiból.

Van azonban még egy feltétel. Ha "kétszer olyan messzire" toljuk el vektorunkat (azaz a koordináta-különbségeket megduplázzuk), elvárhatjuk, hogy a vektorkomponensek megváltozásai is megduplázódjanak. (Ez csak infinitézimálisan kicsiny eltolásokra igaz, véges koordináta-különbségekre már nem! Ezért is foglalkozunk csak nagyon közeli pontok közti eltolással.) Ezért a "különbség-vektor" a koordináta-különbségeknek is lineáris függvénye.

Ha most rendesen kiírjuk az indexeket, és alkalmazzuk az Einstein-féle néma-index konvenciót, azaz a kétszer (egyszer felső, egyszer alsó pozícióban előforduló) indexekre automatikusan összegzünk -től -ig), akkor könnyen látható, hogy a vektorkomponensek megváltozásai mindeképpen a következő formába írhatók:



A képlet csak ránézésre ijesztő. Pusztán annyit fejez ki, hogy a "különbség-vektor" lineárisan függ mind a vektorkomponensektől, mind a koordináta-különbségektől, ezért nem lehet más, mint ezek szorzatainak lineárkombinációja. A lineárkombinációs együtthatókat a szokásnak megfelelően -lel jelöltük - ők a nevezetes Christoffel-féle szimbólumok (Christoffel még egészen más jelölést alkalmazott), vagy mai nevükön konnexiós együtthatók. A képletben a minusz előjel pusztán konvenció.

Néhány elemi, de fontos megjegyzés:

- a konnexiós együtthatók háromindexes mennyiségek, ezért számuk , 4 dimenzió esetén tehát 64.

- a konnexiós együtthatók az adott pontból kiinduló eltolásokra vonatkoznak, más kezdőpont esetén mások lehetnek, ezért igazából nem állandók, hanem a pont függvényei. Mivel a pontot az koordinátákkal adjuk meg, ezért a a Christoffel-féle szimbólumok a koordináták függvényeinek tekintendők: db -változós függvénnyel van dolgunk: .

- a fenti magyarázatból látszik, hogy a konnexiós együtthatók két alsó indexének egészen más a funkciója, ezért általában nem várhatjuk el, hogy a két alsó index felcserélésére nézve e mennyiségek szimmetrikusak vagy antiszimmetrikusak legyenek.

- a konstrukcióból látszik, de szigorúan is megmutatható, hogy a konnexiós együtthatók, azaz az db -változós függvény megadása (a folytonosságon, diffhatóságon túl) TELJESEN ÖNKÉNYES, az "új, más világot teremtő" matematikus fantáziájára vagy egyéb igényeire van bízva.

Az "egyéb igényeket" további axiómákban megfogalmazva - ha szerencsénk van - ez az önkény megszűnik, és a konnexiós együtthatók más, elemibb függvényekből kiszámíthatókká lesznek. De ez még messze van.

A fentiekben definiáltuk egy vektor eltolását a pontból a hozzá infinitézimálisan közeli pontba. Ezzel "összekapcsoltuk", "konnektáltuk" a két pont érintőterét. Innen a művelet neve: konnexió (angolul "connection"). A véges távolságra való eltolás, illetve a vektormezők differenciálásának fogalma a fenti konstrukcióra épül.
-
dgy

[dgy]

[dgy]

[dgy]

Konnexió 2.
Paralel transzport görbe mentén, véges távolságra

A korábbi cikkben egy pontból a szomszédos, tőle infinitézimálisan kicsiny koordináta-különbségnyire levő pontba toltunk át egy vektort. Az eltolt vektort -val jelöltük. Az eredeti és a régi vektorok koordinátáinak összefüggése:

(*)

ahol a mennyiségek a konnexiós együtthatók, db -változós függvény, amelyek egyelőre teljesen önkényesek (persze folytonosak és diffhatók).

Vegyünk most egy görbét, ami áthalad a ponton. Görbe: a intervallum folytonos leképezése a sokaságba. Ezért legegyszerűbb úgy megadni, hogy a görbe pontjainak db koordinátáját megadjuk egy tetszőleges, folytonosan (szokás szerint, de nem kötelezően a intervallumon változó) paraméter függvényeként: . Célszerű a paraméterezést úgy választani, hogy a pont, a görbe kezdőpontja az paraméter-értéknek feleljen meg. A konnexiós együtthatók a sokaság minden pontjában adva vannak, így a görbe pontjaiban is. Ha a konnexiós együtthatók függvényalakjába behelyettesítjük a görbe paraméterezését, akkor megkapjuk az együtthatók görbe menti értékét a görbe paraméterének függvényeként: .

Alkalmazzuk most a fentieket egy tetszőleges, a pontban - pontosabban ennek érintőterében - megadott vektor eltolására. Azt szeretnénk, ha a vektor eltolt kópiái a görbe minden pontjában megjelennének. Ekkor ezek az eltolt vektorok a görbe pontjait jellemző paraméter függvényei lesznek. Keressük tehát a vektor koordinátáit mint az paraméter függvényeit: . E függvények meghatározása a célunk - ha ezek megvannak, kijelenthetjük, hogy eltoltuk a vektort a görbe mentén annak minden pontjába.

Már csak egy döntő lépés van hátra: ki kell fejeznünk az eltolás általános képletében szereplő koordináta-különbséget a görbe adataival. Ez nagyon egyszerű: a görbét leíró függvények paraméter szerinti deriváltja kifejezhető a koordináta-különbséggel: . Ezért a görbe menti elmozdulás esetén .

Helyettesítsük be a fentieket a konnexió (*) alapképletébe:



A baloldalon szereplő tulajdonképpen ugyanaz, mint a , azaz a vektor egyik koordinátája, de nem az paraméterhez tartozó pontban, hanem a kicsit nagyobb paraméterhez tartozó szomszédos pontban. Ezt így irhatjuk: és . Az utóbbi mennyiség viszont sorbafejthető az paraméter kicsiny megváltozása szerint: .

Írjuk be ezt az előző hosszú képletbe:



Most már kivonhatjuk az egyenlet mindkét oldalán szereplő mennyiséget, majd egyszerűsíthetünk a közös tényezővel. A következőt kapjuk:

(**)

Készen is vagyunk: a (**) egyenlet a vektor görbe menti párhuzamos eltolásának alapképlete.

Nézzük meg jól, milyen mennyiségek szerepelnek benne! Először is ott van a görbét leíró függvények deriváltja: de mivel a görbét ismerjük, ez is ismert. Aztán szerepelnek a konnexiós együtthatók mint a görbe paraméterének függvényei: az együtthatókat az helykoordináta függvényében ismerjük, a helykoordinátát pedig az paraméter függvényében, ezért az együtthatók behelyettesítés után a paraméter függvényében is ismertnek tekinthetők.

Mi maradt? A (**) képletben szerepelnek az eltolt vektor számunkra ismeretlen koordinátái az paraméter függvényében, valamint ezeknek a függvényeknek a deriváltjai. Mi tehát a (**) képlet? Úgy van: egy differenciálegyelet-rendszer az db függvényre! Mégpedig elsőrendű, mi több: lineáris (bár változó együtthatós) differenciálegyenlet-rendszer. Az ilyen rendszerek megoldhatóságára és a megoldás unicitására pedig szép és jól ismert tételeket tartalmaznak a diffegyenletek tankönyvei.

Az egyenletrendszer tehát tetszőleges kezdőfeltétel mellett megoldható. Mi lehet a kezdőfeltétel? Amiből kiindultunk: az paraméter-értéknél a vektornak meg kell egyeznie a pontban felvett kiinduló vektorunkkal: . Ezzel a kezdeti feltétellel kiegészítve az egyenletrendszer egyértelműen megoldható. Azaz a vektor az görbe mentén egyértelműen eltolható, és a fenti számolás konstruktív eljárást ad a feladat megoldására.

Vajon eltolható-e a vektor egy adott pontból egy többdimenziós tartomány minden pontjába? NEM! Mégpedig azért, mert ha ugyanabból a pontból kiindulva egy távoli pontba akarjuk eltolni a vektorunkat, az eredmény nemcsak a két végponttól, hanem a köztük vezető, általunk önkényesen választott úttól is függni fog. Más úton tolva más vektort kapunk! Másképp elmondva: ha a vektort egy zárt görbe mentén körbetoljuk, vissza a pontba, általában nem kapjuk vissza az eredeti vektort.

Márpedig a síkbeli párhuzamos eltolásnál ezt szoktuk meg: a párhuzamosság tranzitív reláció, ezért a körbetolt vektor megegyezik az eredetivel. Vannak olyan sokaságok, ahol szintén ez a helyzet: bármely vektor bármely zárt görbe mentén körbetolva megegyezik az eredetivel. (Ekkor egy tetszőleges pontból tetszőleges másikba egyértelmű az eltolás, nem függ a görbétől - így a vektor egy tartomány minden pontjába eltolható.) Nevezzük az ilyen sokaságokat (már csak nosztalgiából) SÍK sokaságoknak. De egy általános sokaság nem ilyen: a körbetolt vektor nem egyezik meg az eredetivel. Nevezzük az ilyen sokaságokat - jobb szó híján - GÖRBÜLTnek.

Legközelebb a konnexió (*) alapképletéből a vektormezők kovariáns deriválásáig fogunk eljutni.

dgy

[dgy]

[dgy]

[dgy]

[dgy]

[dgy]

[dgy]