Lőrinc transzformáció

[srudolf]

Tudom, hogy egy sokkal okosabb palival szeretnel targyalni mint en, de nekem ez a szintem.

Szoval a Lorentz trafonak a th (khi) =v/c= 3/5, mert c=1 es ezt lehet megmerni a grafikonok a piros-feketen. Tevedek?

Innen sh (khi)= (3/5)/((1-(3/5) )= 3/4
ch (khi)= 1/((1-(3/5) )= 5/4

[srudolf]

Hiba, hiba, hiba

(1-v)=1



de meg akkor se jon ki a (x*',t*')=M(x*,t*)

[srudolf]

Nagy vonalakban megértettem, de még kell egy hétvége, hogy a levezetesedet papiron is megismeteljem.
Amit nem értek azt meg fogom kérdezni, mert tényleg érdekes.
Ilyenkor nyáron szezon van a szakmámban. Este beesek az ágyba.

A feladat megértéseben nagyon megzavart a teljes egyidejűség axiomája.
Meg voltam győződve, hogy nem lesz Lorentz izomorfizmus.
De végül is az.

[srudolf]

A hibám a Lorentz trafónal az, hogy a változákat egymás alá kell tenni az egyenletrendszerben amikor felírom 2x2 matrix alakban. És akkor az alsó sorban
az első elem a (x nek megfeleló) minuszzal jelenik meg.
Ha ezt kijavitom, akkor a 2(x*’,t*’)= M (x*,t*) összefüggést kapom.
Ott van a nyújtás.

Végigböngésztem a feladatot, világos mind a vakablak. Van pár matek malőr benne, ami messze távoli.
Akkor kezdem:

1. Miert volt szükséges egy x,t,v változós függvény megszerkeztése (persze a feladat is ez kérte), amikor v=dx/dt, azaz a harmadik valtozó az első kettöből kifejezhető? OK, hogy a Lorentz trafóban szerepel a sebesség is, de itt egy pályafüggvény megkereséséről van szó, ami
f(x,t) alakú kéne legyen.
2. A lineális függvény deriváltja egy konstans. Tehát eleve feltételezted, hogy lokálisan a (xo, to) téridő esemény környezetében a világvonal egy egyenes, sőt még azt is, hogy a sebesség konstans, mert eleve úgy irtad fel a differencialegyenletet, hogy a v az egy konstans. De hát persze, mert a transzformáció egy v állandó sebességgel mozgó K’ rendszerre vonatkozik.
Késöbb tényleg bebizonyítod, hogy a függvény parciális deriváltvai mind állandók.
3. Innen a b,c,d parciális deriváltok értekeinek kiszámítása teljesen érthető.
4. Eljutottunk az a(v) függvényig.
A Lőrinc trafó tehát c=1, a(v) függvény csak a sebességtől függ.
x' = a*x – v*a*t
t' = (1-v)*a*t

A relativitás elve miatt, minden K- hoz képest tetszőleges állandó sebességgel mozgó K’ rendszerben alkalmazható ez a trafó. Válasszunk egy K” rendszert aminek a sebessége a K-hoz képest u. Tehát:
K és K’ között v sebesség van (K’ relativ mozgása K-hoz képest), K és K” között u sebesség van (K” relativ mozgása K képest).
Kérdés az, hogy mekkora a sebesség a K’ és K” között?

dx”=udt”, ezt behejetesítve a Lőrincbe K és K” között, adódik

dx' = a*udt” –a*vdt”= a*(u-v)dt”
dt' = a* (1-v)dt”
innen dx'/ dt'= (u-v) /(1-v), azaz a sebesség K’ és K” között is állandó és értéke
w=(u-v) /(1-v) - u= v+w-wv

E a(v) függvény meghatározásához felhasználod azt, hogy a K-ból a K’-be és K’ és K” a való Lőrinc (transzformáció (L). Ennek a két transzformációnak az egymásutáni alkalmazása ugyancsak egy Lőrinc transzformációval kell egyenértékű legyen, mivel a relativitás elve szerint minde IR egyenértékű, tehát L(u) = L(w) L(v)
Ezt kifejtve kapjuk az a(v)*a(w)=a(v+w-vw) összefüggést.
Ennek a megoldásáról annyit sikerűlt megtudnom, hogy az exponenciális függvény esetében, igaz a következő összefüggés:
fexp (x+y) = fexp (x) * fexp (y), minden x,y racionális számra. Itt megáll a tudomány.
De, megoldottad. a(v)= (1-v)m m lehet {-1,0,1}, hogy a egyenletek elemei elsőfukak maradjanak.


Aztám jöttek az ábrák.
A csillagos ábrát nem értem.
Azt nem értem, hogy miként váltottál bázist. A trafót megcsinálja az ábrád.
Fel tudtad volna rajzolni a trafót ortogónális bázisba is?

Ez most lehet, hogy nagy hülyeség, de üsse kő, gondolkoztam rajta.
A téridő koordonátázást nagy vonalakban megértettem, de csak az ollós szabályal.
Belinkelelek egy ábrát. Méretarányos, gridet nemtom kell rátenni. Az hossz és az idő egysége ugyanaz.


Vettem a Lőrinc trafót


és lerajzoltam egy eseményt aminek a sebessége v=1/2.

Akkor a trafó matrixa

Egy ortogonális bázison koordonátázva a zöld világvonal (5,1o) és (8,16) között van.
A trafót alkalmazva adódik x'= 2x-t és t'=t. Akkor a leképezett világvonalnak a koordinátái az (x,t) rendszerben (1o,-1o) és (16,-16) események között lesznek.
A geometria szempontjából a Lőrinc átviszi a világvonalat máshová.

[dgy]

[srudolf]

[srudolf]

Köszi SanyiLaci

Akkor folytatom. Kijítottam a hibákat, a P és Q pontok meghatározásánál az 5 bázisba.

Szóval: az ábráról leolvasható, hogy a K' sebbesége a K-hoz képest 6/10, azaz 3/5. Ezt a th (chi) értéke.
ch(chi)= (1- 3/5 ) = 5/4 és sh(chi)= th(chi) ch(chi)= 3/4.

Az K--- K' Lorentz tarfó, forgatásos ollos szabályal készűlt.

Tehát.

Azaz




A K" azt tudom, hogy a bázisa a K' bazisanak felezése, azaz i' =2 i" es j'= 2 j" (i,j) bázisvektorpár a K-ban, a vesszos a K'-ben.

Ha
i= 5/4 i' - 3/4 j' es j = -3/4 i' + 5/4 j' akkor i = 5/2 i" -3/2 j" es j = -3/2 i"+5/2 j" , megvan a K--- K" trafo is



A K---- K* a G matrix viszi át, ennek az alakjat megadtad

tehát

A K'----K*' is a G matrix viszi át, itt, hogy x,t fuggvenyeben kapjam meg K*' lekepezest, megszorzom a G-vel a K---K'.



Keszitettem egy ábrat (puskát) egy fix A(x,t) = 1/2 i+ 1 j pontot mindegyik bázisba leírtam.
Pl. ha veszem az A"(x"',t"'), azaz leirom a A(x,t) pontot a K" bazisba, akkor azt kapom grafikusan, hogy
A"(x",t")= x"'i"'+ t"j"' = -1/4 i''* + 7/4 j*''

az ugyanaz, mintha vennem a K--- K" lekepezest, merthogy



A K----K*' lekepezés helyességében nem vagyok biztos, nem passzol a grafikus megoldással. Lehet valamit elszámoltam.
Holnap folytatom.
http://www.filedropper.com/koordinataza ... a010920142

[srudolf]

Folytatva,
K"----K*' -ba volt a hiba, azaz ez a jó


A nyújtás ami a K'---K" kozott transzformál,


Az inverzeket, azaz a K'---K, K"...K, K*'----K*-ot.

Legyen A egy 2x2-es mátrix, ennek a legtöbb esetben létezik egy inverz matrixxa, amire érvényes az AA= I, ahol I az egysegmátrix,

Példaul Loretz esetében:
,
a mi esetünkben K'----K- ba a trafó a következő


Írjam fel a Lőrinc trafót is

a v* a K*' sebbessege a K*-hoz kepest, amit az abrarol leolvasva 3/5 (j*-j*' tengelyek elforgatasa) es m=-1.
Azaz


5. pont sebbesség transzformáció.
A K rendszerben mozog egy anyag pont v sebességgel, dx=vdt.
Ismerjuk a K---K' trafóját, kifejtve a mátrixot dx'= 5/4 dx-3/4 dt es dt'= -3/4 dx+5/4 dt, innen v'- azaz a v sebesseggel mozgo anyag pont sebbesege a K' rendszerben v'= dx'/dt'= (5v-3)/(-3v+5)

Hasonló képpen
v" = dx"/dt"= (5v-3)/(-3v+ 5)
v*= dx*/dt*= (2v)/(v+1)
v*'=dx*'/dt*'= (5v-3)/(v+1)

[srudolf]

Nem értem miért mondod a 3/4-et.
Ha megszámolom az ábrádon a j" bázisvektor vetületét a (i,j) bázisba, akkor 6 kockát kapok a i-nél és 10 kockát a j- nél, azaz th(chi)=6/10= 3/5
Innen ch(chi)= 5/4 és sh(chi)=3/4.

A rendszerek relativ sebessége.
Megpróbálok nagyon körültekintően fogalmazni.

Készítetem egy új ábrát.
http://www.filedropper.com/koordinataza ... 04092014_1
A Minkowski térben van rajzolva két esemény (A és B) világvonala az, OA és az OB szakasz.
Ezt a két eseményt úgy szerkesztettem, hogy a OA szakasz rajta legyen a K’, K” és K*’ rendszerek időtengelyén, azaz a j’, j”, j*’ –n. Az A esemény áll ezekben a rendszerekben. Ha a K’, K” és K*’ valamelyike mozog egy relativ V állandó sebességgel egy másik IR-hez képest, akkor az A esemény együtt mozog a K’, K” és K*’ valamelyikével, ugyanazzal az állandó V sebessége.
Ugyanígy a B esemény világvonala is rajta van a K, K* rendszerek időtengelyén, azaz a j és j*-n, és áll ezekben a rendszerekben.
Mivel a két világvonal egy-egy egyenes szakasz, az anyagi pont sebessége állandó, bármilyen hozzá relativ V sebességgel mozgó rendszerben.
Meg kell keresni az OA és az OB szakasz kezdeti és vég koordonatapárját mindegyik bázisba. Mivel az összes bázisban az (kezdeti) O pont koordinátája (0,0), azaz O(x,t)= x i+t j= 0

Eleg ha kiszámítjuk, a bazisokban A es B esemenyek világvolának a vég koordinátapárját, azaz a

A(x, t) = x i + t j valamint a B(x, t) = x i + t j

A K’, K” és K*’ rendszererek relativ sebessége bármely másik IR-hez képest
V= (x- x)/ (t- t)= x/ tahol a koordinatak masik IR rendszek bazisaban ertendok.
Ugyanígy a B eseménynél is.

Felírom a A és B világvonal végpontjának koordinátáit mindegyik bázisban:
K-ban A(3,5); B(0,1/5)
K'-ben A(0,1);B(-0.15,0,25)
K"-ben A(0,1/2); B(-3/10,1/2)
K*-ban A(4/5,1); B(0,1/5)
K*'-ban A(0,1); B(-3/5,1/2)

Hoppá a K*' bázisban a B esemény nem időszerű, azaz x>t. Most ez vagy tényleg így van, vagy én valamit rosszúl rajzoltam fel a ábrámra vagy rosszúl mértem valamit, pedig ezt most tényleg figyelmesen megnéztem.

Felírom a relativ sebességeket is: a függőleges K bázisokból mérem a vizszintes K bázisok sebességét.

[srudolf]

Nem csodálkozom, hogy nem tetszik a kavarásom, mert te ugy epítetted fel a feladatot, hogy van egy logikus rendje és én ezt nem vettem észre.
Nem gondolkoztam eleget rajta, sajnos máson is kellett.
Ott van a szép matek megoldás, nem kell vesződni a geometriával - és hibázni.
Azt kérted az 5. pontban, hogy számitsam ki egy, a K rendszerben, tetszőleges v sebesseggel mozgó esemény sebességét az összes többi rendszerben , felhasználva a v-t mind paraméter.
Ha ezt a v paramétert zérusnak veszem a K rendszerben, akkor a képletekkel megkapom a K rendszer sebességét a K',K",K*,K*' rendszerekben, ami a 6. kérdés egy része volt.
A 6. kérdés megváloszálására ki kell számoljam az összes trafót a K,K',K",K*,K*' rendszerek között, oda vissza, és ki kell számoljam a már levezetett képlettel a f(v) függvényt minden leképezésre. Ha mindegyik leképezésre a v paramétert zérusnak tekintem. akkor megkapom minden IR rendszerek relativ sebességét.

pl;.
v*'=dx*'/dt*'= (5v-3)/(v+1) az a K-ban v sebességgel mozgó test sebessége a K*'- ben mérve.
Ha v=0, azaz a test áll a K-ban, akkor a K relativ sebessége a K*'- bol merve v*' = (5* 0-3)/(0+1)= -3