Kvantummechanika matematikai apparátusa?

[Voyager]

Lenne két kérdésem ezzel kapcsolatban, sajnos nem tudok rájönni ezekre a dolgokra. Leírom a gondolatmenetemet, megtenné valaki, hogy leellenőrzi helyesen gondolkodtam-e, illetve a felmerülő kérdéseimet megválaszolja?

Az első kérdésem reprezentációcserével kapcsolatos. Legyen egy {u_i} és egy {t_k} ortonormált bázisunk. Vegyünk egy adott fizikai állapotot és reprezentáljuk az {u_i} bázisban. Felmerül a kérdés, hogy ha kiveszem az {u_i} bázist és a helyére {t_k} bázist teszek, akkor az adott ket vektort reprezentáló skalárok hogyan változnak? Ehhez definiáljuk az áttérési mátrixot, amely a következő alakú: . Elvileg ez adja meg a t_k bázisvektorok komponenseit a régi u_i bázisban. A kérdésem, hogy miért? Ha vesszük az áttérési mátrix hermetikus konjugáltját, akkor az egyenlet jobb oldalára szorítkozva azt kapjuk, hogy < t_k | u_i >, de észrevehető, hogy ez nem más, mint az < u_i | t_k > komplex konjugáltja, mert < u_i | t_k >=< t_k | u_i >*. Ebből az következik, hogy az S_{ik} áttérési mátrix adjungáltja megegyezik a komplex konjugáltjával, tehát T-vel jelölve az andjungálást:S*_{ik}=S^T_{ki}=. Ebből pedig az következik, hogy az áttérési mátrix unitér: S * S^T = S^T * S=I. Ennek indoklása:
S^T * S = < u_i | t_k >< t_k | u_i >, ebből a | t_k >< t_k | kifejezés egy projekció, ami a t_k bázisvektorra projekttál és mint tudjuk ő az indentitásnak felel meg, szóval az egyenlet redukálódik: S^T * S = < u_i | u_i >, ez pedig a bázis ortonormáltsága miatt 1 lesz, így tényleg kiadja az identitást. Ennek segítségével pedig kiszámolhatóak az új bázisbeli reprezentációk.

c_k = < t_k | Ψ > = < t_k | P_{u_i} | Ψ > = ∑_i < t_k | u_i >< u_i | Ψ >=∑_i S^T_{ki} c_i
c_i = < u_i | Ψ > = < u_i | P_{t_k} | Ψ > = ∑_k < u_i | t_k >< t_k | Ψ >=∑_k S_{ik} c_k

Bra vektorokra és operátorokra hasonlóan megkaphatóak a transzformációs szabályok.


A második kérdésem a projekciókkal kapcsolatos. Vegyünk egy {|u_i>} (i=1, 2, ..., m<n) ortonormált bázist az n dimenziós Hilbert-téren. Ekkor az alábbi egyenlet az |u_i> vektorok által kifeszített altérre való projekciót definiálja.
P_{u_i} = ∑_i | u_i >< u_i |
Értem, hogy miért és mit jelent. Írjuk fel a | Ψ > ket vektort a bázisvektorok lineáris kombinációjaként:
∑_i c_i | u_i > = ∑_i | u_i > < u_i | Ψ >=P_{u_i} | Ψ > = | Ψ >.
Ez azt jelenti, hogy a projekciók, mint operátorok az indentitásnak felelnek meg. Ezt így belátom, de nem értem ezt a kifejezést ∑_i | u_i > < u_i | olyan szinten, hogy ezt hogy lehet konkrétan kiszámolni? Fordított sorrendben a vektorok belső szorzatát jelenté, így meg elvileg a külsőt jelenti, de ha ez így van, akkor bármilyen számolás nélkül is nullának adódik, hiszem ugyanazon vektornak önmagával vett külső szorzatáról van szó, az pedig mindig nulla. Ez pedig egy ellentmondáshoz vezet, mert ebből 0 mátrix lesz és nem egység, mint ahogy az fentebb már kijött. Ezt valaki feloldaná? Szerintem rosszul értelmezem a ∑_i | u_i > < u_i | kifejezést.

[20 karakter lehet?]

Egy kicsit meg gyurhattad volna ezt, mert nagyon nehezen olvashato. Lehet, hogy nem is arra fogok valaszolni, mint ami a kerdes akart lenni.

1.: "miert? : ha felirod az egeszet 2D-s vagy 3D-s valos bazisra, akkor nagyon szepen kijon minden.

2.: Igen, rosszul ertelmezed. Ez nem kulso szorzat,hanem diadikus. Kulso szorzatot csak egy vektorter ket eleme kozott lehet definialni. Itt meg az egyik egy vektorter eleme, a masik meg a vektorter dualisanak eleme.
A belso szorzatnal is ilyen tagokat szorzunk ossze, viszont az a Riesz-fele reprezentacios tetel miatt atirhato ket vektor szorzatara.

[Voyager]

Nagyon szépen köszönöm! Ezzel rengeteget segítettél, a kettes kérdésem így már teljesen letisztult az egyest meg kiírom mindjárt.

Ui.: Kiírtam, tényleg látszik is. Köszönöm a segítségedet még egyszer!

Lenne még egy kérdésem, ami a sajátérték problémához kapcsolódik (kvantummechanikás megközelítéssel) és ezzel se tudok dűlőre jutni már jó ideje.

((Most jöttem rá, hogy lehet képlet formájában is írni, de valamiért a görög betűket nem veszi be, így a ∑=SUMM, λ=t és δ=d jelölést használom.))

Vegyünk egy N dimenziós Hilbert-teret.
Van a sajátérték egyenlet: A |Ψ > =λ |Ψ > [1. egyenlet]
Ebből kihozható egy egyenletrendszer:
[2. egyenlet]
Ezen egyenlet megoldásának feltétele a szekuláris egyenlet:
, ebből kijön az A operátor spektruma, tehát a hozzá tartozó λ=t sajátértékek.

Ha λ=t egyszeres gyöke a szekuláris egyenletnek, akkor a 2. egyenletbe helyettesítve N-1 független egyenletet kapunk N ismeretlennel. Egyik kérdésem, hogy miért?
Ugye az i index miatt N egyenlet ez, de a j index miatt minden egyenletben N ismeretlen van, a -k. Nem értem az egészet. Miért fontos az, hogy λ=t egyszeres gyök? Tudom, hogy mit jelent (legalábbis merem remélni), de jelen helyzetben nem értem, hogy miért fontos. Milyen kapcsolatban van a gyök multiplicitása a sajátvektorokkal?

A másik kérdés, hogy a fentiek miatt (N-1 független egyenlet N ismeretlen) végtelen sok megoldás létezik, de előállíthatóak egy paraméter függvényében. Miért állíthatóak elő egy paraméter függvényében? Lenne még sok kérdésem ehhez, de szerintem ha ezeket megértem, akkor azokat mát ki tudom találni magamtól is.

[dgy]

Kedves Voyager!

A mostani szerteágazó kérdéseid nem annyira a kvantummechanika matematikai apparátusára vonatkoznak, hanem a közönséges lineáris algebrára. Mi ezt fél éven át tanítjuk, és nem érzek elég erőt az egész anyag itteni szisztematikus leírására. Két nagyon jó és alapos könyv tanulmányozását ajánlom:

Rózsa Pál: Bevezetés a mátrixelméletbe (Typotex 2009)
Lovass-Nagy Viktor: Matrixszámítás (Műszaki matematikai gyakorlatok sorozat C IV. kötete)

Ezekben a könyvekben részletes és megalapozott választ kapsz a kérdéseidre.

Hozzá csatlakozó gyakorlatok, feladatok:

Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás (Bolyai példatár sorozat)

A sajátértékekkel kapcsolatos kérdéseket a "mátrix ragja" fogalomkörrel kapcsolatban találod meg.

dgy

[Voyager]

Rendben, köszönöm az ajánlást és a latex-os tippet is!