Maximálisan eltelt idő

[G.Á]

A speciális relativitáselmélet szerint egy mozgó űrhajóban lassaban múlik az idő. Az általános relativításelmélet
szerint viszont a gravitációs tér lassítja az idő múlását, tehát a Föld gravitációs kútjából kiemelkedő rakétában
az órák gyorsabban járnak. A Richard Feynmanról elnevezett lopakodó űrhajó azt a feladatot kapta, hogy földi
bázisáról sugárirányban felszállva földi idő szerint pontosan egy nap múlva térjen vissza ugyanoda úgy, hogy az
űrhajó órái a fizikailag lehetséges legtöbb eltelt időt mutassák. Hogyan kell a kapitánynak működtetnie a hajtóműveket,
ha teljesíteni akarja a feladatot? (A rakéta végig sugárirányban mozog, a Föld keringésétől és a légkör
zavaró hatásától tekintsünk el.)
Gnädig Péter (1996/2005-ös) Ortvay feladat

[dgy]

A forgástól is el kell tekinteni. (Valószínűleg figyelmetlenségből írtunk forgás helyett keringést.)

Tényleg nagyon szép feladat.

dgy

[triasz]

[dgy]

Az időszerű geodetikusok mindig lokális maximumok. Minimum nincs, csak infinum, ami nulla sajátidő lenne - ezt két c sebességű mozgásszakasszal lehetne elérni, de ez lehetetlen.

Nem igaz, hogy két téridő-pontot végtelen sok geodetikus köt össze! Általában véges sok, a legtöbbször csak egy.

A feladatot Feynman találta ki, pedagógiai céllal (ezért említettük meg a nevét a szövegben). Első pillantásra rémisztően nehéz - két nagyon bonyolult jelenség, a specreles időlassulás és a gravitációs "kékeltolódás" kompromisszumát kéne megtalálni, ami elég reménytelennek tűnik. Amikor feladta, többen megpróbálkoztak a számolással, és belefulladtak. Aztán megmutatta, hogy egy elemi fizikai ötlet hogyan segít - és hogy tulajdonképpen a természet megoldja helyettünk a problémát.

Ássunk mélyebbre. Feynman első és másodéves diákjai azért fulladtak bele a számolásba, mert nem tanultak variációszámítást. Ha tanultak volna, és felírják a feladat variációs integrálját, biztosan felismerték volna benne a görbült téridőbeli szabad mozgás problémáját.

A kezdeti gyorsításról: a feladat tulajdonképpen alulhatározott. Meg kellene adni az utasok által elviselhető maximális gyorsulást vagy valami hasonló korlátozást. Enélkül az a formális optimum, hogy a rakéta egy pillanat alatt felgyorsul a szükséges kezdősebességre. De ez már nem is rakéta, hanem Verne Holdra lőtt ágyúgolyója.

Tulajdonképpen nincs is számolnivaló. Az, hogy mekkora kezdősebesség kell egy pontosan egy napig tartó függőleges hajításhoz, elemi klasszikus mechanikai feladat, és pontosan csak numerikusan oldható meg. (Kb egy éve szerepelt is itt egy Absoluto Zérós feladatban.) Az áltreles megoldás csak a sokadik tizedesben különbözik ettől.

Az viszont tényleg tanulságos (és nem triviális) matematikai gyakorlat, hogy levezessük a sajátidő maximumáról szóló variációs elvből a geodetikus mozgásegyenletet.

Ennél csak az cifrább, ha megengedjük, hogy a gravitáció mellett más hatás, pl elektromágneses vagy skaláris erő is befolyásolja a mozgást. (Ez a levezetés nincs is benne a könyvekben.)

dgy

[G.Á]

[Zsolt68]

[=^.^=]

[G.Á]

Ha nem rontottam el, akkor a ()-ban a (130-131) egyenlet alapján lehet megkapni a fél nap alatti időhöz tartozó magasságot, bár a kifejezés kiértékeléséhez valóban numerikus számolás szükséges, rosszul emlékeztem.

[srudolf]

[dgy]

Könyörgöm, ez már mind érdektelen!

Az ellipszis- (vagy elfajult ellipszis-) pályán való mozgás időbeli lefolyásának pontos leírását Kepler már négyszáz éve megadta. Felesleges ennek a részletein rágódni.

Feynman feladatának fizikai érdekessége addig tart, amíg rájövünk, hogy a rakéta bonyolult vezérlése helyett a geodetikus mozgás, az egyszerű hajítás a megoldás. Ez zseniális ötlet. Innen viszont felesleges tovább rágcsálni az elemi számolást.

dgy