Jéghegy meglasszózása

[srudolf]

Egy kúpnak kiterítem a palástját.
A lasszó hurokja (a kötél: nyújthatatlan, súlytalan, teljesen képlékeny, súrlódásmentes), akkor van statikailag egyensúlyi állapotba, amikor húzott.
Az :A: pontban a cowboy súlya rá van függesztve. A kötél csak akkor lehet egyensúlyba, ha az :AA: szakasz egyenes vonal.
Látszik, hogy ez csak akkor lehetséges, ha a β <18o fok.
Számitsuk ki a kúpszögét egy olyan kiterített palástnak, ahol a β =18o fokkal.
Egy ilyen kúpnak a félnyílásszöge α <3o fok, hiszen a körcikk sugara :R:, ami a kúp generátora, derékszögű háromszög, a szöggel szembeni oldal a kicsi :r: ,
S=2πr=πR, sin (α)=1/2.

[dgy]

[srudolf]

Ez az az eset, amikor a hurok külön kötél.
A feltétele a statikai egyensúlynak az, hogy a kötél két végén egyforma nagyságú és ellentétes irányű erő kell hasson, ez kiegyenesíti- az én olvasatomban a feszültség végig a kötélen azonos lesz. Odakötöm a kötelet egy kampóhoz a falba, meghúzom a végét és kiegyenesedik és úgy is marad, ameddig húzom.
A hurokra felfüggesztett kötélen logó súly vektor reakciója felbontjató két komponensre, ami kollineáris az AA szakasszal, az egyik komponens az jobb oldali :A: pontban hat, a másik a bal oldaliba -kifele. Amikor a palástból kúpot hajtassz, ez a két vektor érintő lesz (ezt Te is leírtad).
Csak 3D-ben lerajzolni ezt elég nehéz.

[dgy]

Mindez igaz, de nem győz meg mindenkit.

Hadd kérdezzem meg így: te amellett érvelsz, hogy a kötélnek minden pontban egyenesnek kell lennie, hiszen egy kis szakasz két szélső pontján ható egyforma erők így épp kiejtik egymást. Ez valóban igaz egy síkra feszített kötél esetén. De ha visszahajtod a kúppalástot a térbe, akkor a kötél már nem egyenes, nem igaz az, hogy tetszőleges kis darabja két szemközti pontja egymás folytatásába esik, így a két végen ható erők eredője nulla. Akkor most mi a helyzet? Miért kell a kötélnek továbbra is abban a helyzetben maradnia, mintha síkra lenne feszítve, nem egy térben görbülő felületre?

Az állításod továbbra is igaz, csak ahhoz, hogy mindenki elfogadja, vagy a fenti kérdésre kell meggyőző választ adni (kissé brutális diffgeoval ez megtehető), vagy más (igen egyszerű) fizikai alapon kell megindokolni, miért lesz egyenes a kötél a kiterített paláston. Az utóbbi egyszerű választ hiányolom.

dgy

[G.Á]

Néhány dolgot érdemes hozzátenni.

Képzeljük el, hogy a súlytalan kötél két végén azonos tömegek vannak, és tegyük fel hogy a két tömeg pontja rögzített az egyensúlyi helyzetben.
A kötél akkor lehet egyensúlyban (ez szükséges de nem elégséges feltétel), ha ilyen állapotban a két pontot összekötő szakasz a legrövidebb.
Ez onnan látható, hogy kicsit hosszabb kötél esetén az energia nem lehet minimális.

Az ilyen legrövidebb vonalakat nevezik a kúp geodetikusainak.

Az előbb mondtam hogy a kötél geodetikus alakja szükséges de nem elégséges feltétel. Ha belegondolunk, ez azonnal látható.

Ezzel kapcsolatban még érdemes megjegyezni, hogy, a kúpnak általában sok geodetikusa van, ezek általában csak lokálisan minimális hosszúságúak.

Az ábrán három geodetikus szerepel, ezeket az különbözteti meg, hogy hányszor csavarodnak körül a kúpon.

A mi esetünkben a zöld szakasz az, ami legjobban hasonlít arra, amilyen a lasszóhurok lesz, csak a két végpontot kell egymáshoz közelíteni.

Kérdés, hogyan néznek ki a geodetikusok egy síkon?

[Macska Bonifác]

[srudolf]

Mivel szerintem a kötél minden pontjában azonos feszültség keletkezik, a kúpon a kötél mentén eltolhatom az erőket bárhova, csak érintők kell maradjanak és a kötél nem fog megmozdúlni.

Analógia a következő szerkezettel:


Ez egy 2oo személyes sífelvonó, két 6omm vastag tartókábele van és egy 4omm-res, ami húzza. A huzó kábel körbeforog, rajta van az üressen lefele haladó kabin, az ellensúly. Az alsó állomáson egy írdatlan méretű rugós szerkezet tartja kifeszítve a tartókábeleket. A feszitőszerkezet meg se mozdúl, amíg a tele kabin felér.

[srudolf]

Szia GA
Gratula a feladatért.
Biztos, hogy a kúpon egy geodétikusa a palástra kiterítve egy egyenes vonal lesz.
Utannanéztem a tegnap este, ma este megpróbálok valamit kihozni a matekkal.

[srudolf]

Clairaut-tól származó tétel:
Ha a forgásfelület egy pontjában az alappal párhuzamos kör sugara :r:, a kör érintőjének és az adott pontra illeszkedő valamely geodetikus érintőjének a szöge :φ: , akkor ennek a geodetikusnak minden pontjában az r cos(φ)= konstans.

Asszem csak arról van szó, hogy az izometria megtartja a szögeket.
Felrajzoltam néhányat az alappal párhuzalmos körből a kivetitett rajzra, majd megkerestem az érintőik szögeit az :AA: szakaszhoz képest.
Aztán a szögeket átmásoltam az oldalnéztre és a érintőt elhúztam a következő körig.
Kb. kijön a r cos(φ)= konstans.

[G.Á]

Köszönöm, természetesen helyes a válaszod.

A Dgy által hiányolt egyszerű fizikai válasz (ha ugyanarra gondolunk) azon alapul, hogy az kifejezés fizikailag ekvivalens volna egy olyan, pontszerű testre vonatkozó (szimmetriatengellyel párhuzamos) impulzusmomentum-komponens megmaradással, amelyre semmilyen más erő nem hat, azokon kívül, amelyek a kúpfelületen tartják.

Ha a kicsi kötéldarabokat külön-külön tekintenénk mozgónak a kötél érintőjével párhuzamosan, akkor is hasonló korlátozásnak lennének kitéve, amennyiben a szomszédos kötéldarabok nem fejtenének ki forgatónyomatékot az adott szakaszra. Egyensúlyban ennek teljesülnie kell.
A konkrét peremfeltételek mellett, sebességtől függetlenül teljesülne, hogy a kötél egyes pontjai egy egyenes mentén helyezkednének el a kiterített kúpon.
Ezt megszoríthatjuk a nulla sebességű esetre, és meg is kapjuk a megoldást.