Gyorstalpaló a Jaynes-Cummings modellig

[EPÉ]

Elnézést hogy megszakítom a gondolat menetet,
de az a kérdés merült fel bennem hogy a súrlódásos rendszereket ezekkel a formalizmusokkal hogyan lehet tárgyalni? Nyilván való út szerintem hogy felírjuk az összes egyenletet amiből a mozgást származtatjuk és megoldjuk de ez biztos bonyolult lesz. Ehelyett kellene valami egyszerűbb utat találni mit ahogyan a merev testeket is használjuk ahelyett hogy minden részecskére/tömegpontra felírnánk a mozgásegyenletet.

Eddig ezeket találtam:
-Newtoni mechanikában a súrlódási erővel vesszük figyelembe a hatását.
-Lagrange formalizmusnál valamiféle Rayleigh függvénnyel egészítik ki az Euler Lagrange egyenletet.

De mi a helyzet a Hamilton és Hamilton-Jacobi formalizmussal?

[G.Á]

Mivel a disszipációhoz általában nem rendelhető potenciál, így a Lagrange-függvény sem írható fel úgy, hogy az Euler-Lagrange egyenletben megjelenjen a megfelelő disszipációs tag.
Mivel a Hamilton-függvényt a Lagrange-függvényből nyerjük, így ez a probléma továbbra is megmarad.
A kiúthoz több lehetőség van:

1) Effektív leírás: Sokkal általánosabb Lagrange-függvényeket is megengedünk, a test tömegét megfelelő időfüggésűnek vesszük, vagy más, első elvekből közvetlenül nem következő praktikákat alkalmazunk.
Példa: A lineáris közegellenállási erő figyelembevehető a harmonikus oszcillátor esetén. Ekkor: .
Ebből legyártható Hamilton-függvény is, és így tovább.

2) Effektív leírás, csak másként: Amit te is említettél, a rendszert először a disszipáció nélküli esetben jellemzik, majd a mozgásegyenlet felírása után visszük be a disszipációs tagokat. Ez a Lagrange-formalizmusban a Rayleigh-féle függvény.
Lényegében ugyanilyen utólagos korrekciót a Hamilton-féle kanonikus mozgásegyenletek esetén is fel lehet írni. Hamilton-Jacobi egyenletnél nem tudom hogy egyszerű módon fel lehetne-e írni ilyesmit, de ha igen, szinte biztos hogy nem ez a legpraktikusabb megközelítés.

3) Környezet figyelembevétele: Talán a legjobban megindokolható, egyben legtöbb munkával járó leírás az, ha a test-környezet rendszer egészét figyelembeveszed.
A disszipáció ekkor nem feltétlenül irreverzibilis, csak akkor ha végtelen szabadsági foka van a környezetnek.

Erről a témáról egyébként néhány könyvet írtak már, az irodalmazás szempontjából kicsit kellemetlen, hogy legalább egy párnak teljesen ugyanaz a címe.

[G.Á]

Az előző lépés befejezése néhány dolog tisztázásával együtt:

A súlyozással felírva, a klasszikus mechanika sértését kifejező integrál olyan formában írható át a korábban felírt Hamilton-függvényünkkel, hogy:

.

A variálást a -ra, illetve annak tér szerinti deriváltjaira elvégezve azt kapjuk, hogy:
,
illetve
.

Fontos részlet, hogy bár a lépések gyakorlatilag megegyeznek a klasszikus mechanika Euler-Lagrange egyenletének levezetésekor elvégzett variációszámítással, itt a "maradéktag" nem a kezdeti és végpontokra vonatkozik, hanem téridőbeli felületekre. Nem triviális hogy ez elhagyható, de ezzel itt nem foglalkozunk.

csak úgy tud teljesülni, ha , vagyis ha k tisztán képzetes.
A választás adja a Schrödinger-egyenletet.


A Schrödinger-egyenlet általános alakú Hamilton-függvény esetén úgy írható, hogy: .
Ragaszkodhatunk hozzá, hogy a klasszikus mechanika fogalmait használjuk. Ez azt jelenti, hogy a Schrödinger-egyenletbeli Hamilton-operátort a klasszikus mechanika Hamilton-függvényével azonosítjuk, és az impulzus-koordináta fogalmakat is megtartjuk.
Az ár, amit fizetünk, az az, hogy ezen fizikai mennyiségeket "operátorosítani" vagyunk kénytelenek.


Összefoglalásul: A Schrödinger-egyenlet mögötti variációs elv a HJ-egyenlet sérülését minimalizálja bizonyos feltevések mellett. Ezzel megsérti a klasszikus fizikát, tehát semmiképpen sem következik a kvantummechanika a klasszikus fizikából.
A sérülés ugyan minimális, de korántsem nulla.

Ugyanakkor semmit sem lehet ilyen módon levezetni a kvantummechanika értelmezésével kapcsolatban. A nem valószínűségsűrűség, hanem a klasszikus dinamika sérülését jellemző súlyfaktor.
Nem eleve adott, hogy véges az integrálja, azaz a hullámfüggvény normálható.
Másrészt elvileg lehet nem összefüggő tartójú, vagyis lehetnek olyan téridőtartományok ahol , és ez a klasszikus fizikától való tetszőlegesen eltérést megengedi.

Legközelebb következik az ismerkedés a kvantummechanikával.

[EPÉ]

Az ismerkedést a kvantummechanikával kezdhetnénk úgy, hogy egy nem határ eset szerű rendszert vizsgálunk mint a hidrogén atom, amikor a proton jó közelítéssel rögzítettnek tekinthető. Foglalkozhatnánk mondjuk a pozitróniummal vagy csak általánosan a 2 test problémával amikor a két részecske elektromosan töltött. Aztán ezek alapján bizonyára a hidrogént is jobban megértenénk.

[G.Á]

A proton véges tömegét elég könnyű figyelembevenni a redukált tömeg felhasználásával, bár ebben az esetben is lényeges, hogy a protont pontszerűnek vesszük.
Természetesen lehet tárgyalni a hidrogénatomot a kéttest-rendszerek felől megközelítve, és ha már kérted csináljuk így.

Mindenesetre túlnyomórészt a kvantummechanika axiómáival való megismerkedés, a szabad részecske és hullámcsomag, a határozatlansági relációk, az impulzusmomentum, és talán néhány hasonló dologra lehet számítani.
Én a hidrogénatom tárgyalásához eredendően nem is ragaszkodtam volna, de persze ilyen kérést nem utasítok el.
Az a baj, hogy rengeteg dologról lehetne még beszélni: szórás-számítás, WKB-approximáció, hogy miért hazugság a periódusos rendszer, és mégis miért működik, Bell-egyenlőtlenség, megoldások időfüggő potenciálok mellett, perturbációszámítás, stb.

Ezeket (legalábbis nálunk) többféléves kurzusok alatt lehet megtanulni, és ezeknek az elmagyarázására nem vállalkozok, különösen az elkövetkező időszakban.
Kivéve a periódusos rendszert. Ha a hidrogénatomot megértitek, akkor az is pofonegyszerű.

A harmonikus oszcillátorral viszont mindenképpen külön kell majd foglalkoznunk, mert nagyon fontos lesz.

[Macska Bonifác]

[G.Á]

Szándékosan provokatívan fogalmaztam meg azt a részt.
Természetesen az egész azon múlik, hogy minek is tekintjük a periódusos rendszert.

Ha pusztán az ismert atomokra vonatkozó nyers kísérleti adatok rendezett táblázatának, akkor természetesen a periódusos rendszer léte kísérleti tény, amit nem lehet megkérdőjelezni.

Ha azonban elméleti struktúrának tekintjük, magyarázatot szeretnénk kapni a kémiai jellegek periodicitására, netán jósolni szeretnénk, akkor egészen más a helyzet.
Ebben az esetben első elvekből, vagyis a kvantummechanikából, sőt a QED-ből kell levezetnünk az egyes atomok tulajdonságait.
Ezt hihetetlenül nehéz volna elvégezni, bár természetesen vannak bizonyos közelítő numerikus módszerek, amelyekkel lehetséges a számolás.

A szűkebb értelemben vett megértést azonban az analitikus megoldások nyújtják.
Ez gyakorlatilag a hidrogénatomot egzakt vizsgálatát jelenti, illetve (variációs, vagy más módszerrel) a héliumatom közelítő vizsgálatát.
Ezek alapján az ember meg tudja győzni magát, hogy nem teljesen őrült ötlet feltételezni, hogy minden atomot a hidrogénatom mintájára lehet húzni, és az a meglepő, hogy ez alapján tényleg meg lehet magyarázni a periódusos rendszer felépülését, vagyis periodicitását.

Az egyes atomok tulajdonságait, illetve a héjak betöltöttségeit viszont ez a szép gondolatmenet nem adja vissza a nehéz atomok esetén.

A gondolatmenet szerepel sok kvantummechanika jegyzetben, sok atomfizika könyvben, és különösen a fizikai kémia irodalmában.
Ezen túlmenő, összefoglaló cikkek elérhetőek például itt:

[G.Á]

Igazából egy tételkidolgozásom és kézzel van írva, de beteszem ide azt a részét amin a kvantummechanika axiómái vannak.
Ez eléggé eltér a legtöbb tankönyv tárgyalásától, cserébe matematikailag olyan mértékben precíz, amennyire a lehetőségek és az ismereteim engedték.
Próbáltam úgy írni, hogy másoknak is érthető legyen, de a külalak nem a legjobb.
A papír nem sárga, csak a megvilágítás volt az.

A képeket a nagy méret miatt csak belinkelem:

1. A kvantummechanika axiómái











Szerk: Utólag elolvasva találtam egy hibát az 5. axiómában. Általában az időfejlesztő operátor nem egyparaméteres csoport (csak ha a Hamilton-operátor időfüggetlen), és általában teljesül.
Szerk2: Újra feltöltöttem az oldalakat, jobb megvilágítással, kicsit kibővítve.
Szerk3: A szeparálható állapot definíciója hibás, ebben az alakban nem kell szumma.

vagy általánosabb formában


Ezenfelül a 2. axiómában a belső szorzás értelmezésének a végeredménye

[G.Á]

Nem teljesen logikai sorrendben van kidolgozva, de azért felteszem ide a 2. és 3. tétel kidolgozását is.
A logikailag legfontosabb része a harmadik tételen belül a bra és ket vektorok jelentésének kidolgozása.
Ugyanakkor az x és p -reprezentációt nem dolgoztam ki, de ezeknek a -szokásos- megfogalmazását a következő adagban fogom felírni.

2. Mérhető mennyiségek







3. Reprezentációk









szerk: A Schauder-bázis lineáris függetlenségére vonatkozó feltétel hibás, minden elemre vonatkozó lineáris függetlenség kellene hogy szerepeljen. Ugyanakkor ezzel a korrekcióval az "egyértelmű" megkövetelés szükségtelenné válik.

[G.Á]

Kissé redundáns módon, a 4. részben bevezettem a koordináta és impulzusreprezentációt és operátorokat, de igazából csak a 6. részben szerepel a Stone-tételen keresztül ezeknek a tényleges jelentése.
A képek minősége lehet hogy kissé rosszabb lett. Az egyes tételekhez tartozó kiegészítéseket nem fényképeztem le.
Ugyanakkor (eltekintve a hidrogénatom vizsgálatától) többé-kevésbé ez lefedi azt, amire feltétlenül szükségünk lesz.

4. Időfejlődés





5. Harmonikus oszcillátor







(A K.K. rövidítés a kanonikus kvantálást jelöli)

6. Impulzusnyomaték