Gyorstalpaló a Jaynes-Cummings modellig

[G.Á]

A Hamilton-Jacobi egyenlet a korábbiaknak egy alternatív felírása, ezúttal egyetlen, elsőrendű, nemlineáris parciális differenciál-egyenlet formájában.

Az eredeti motiváció ennek felírására az volt, hogy a mechanikai mozgásokat valamilyen analógiába lehessen hozni a geometriai optikával.

Kezdjük ott, hogy a hatást kifejezzük a Hamilton-függvénnyel, illetve annak változóival.


Azonban a hatás az összes lehetséges trajektóriához értéket rendel. Rögzítsük most csak a trajektória kiindulási pontját. Ekkor a végpontnak (annak helyének és idejének) a függvénye lesz a hatás. Az így definiált értelemben a hatás a klasszikus rendszerhez tartozó mezőnek is tekinthető.

Amennyiben csak a végpont kis megváltozását tekintjük, teljesülni fog a:

összefüggés, ahol a "p" és "q", és "H" mennyiségek is a végponton felvett értékeket jelölik.

Ebből meghatározható két egyenlet, a

és az
.
Ez utóbbi a Hamilton-Jacobi egyenlet.

Először nézzünk meg egy nagyon egyszerű esetet, az 1D-s szabad részecske esetét. Mivel itt a Hamilton-függvény egyszerűen csak , a HJ-egyenlet:
.

A háromdimenziós szabad részecske hasonlóan írható, és könnyen belátható, hogy a hatások bizonyos felületek mentén azonos értékeket vesznek fel.
ezek a felületek a fenti esetben az impulzus irányára merőleges síkok. A hatás az impulzus irányába "terjed".

Egy megoldása a fenti egyenletnek az, hogy:


Korábbi tapasztalatunk alapján a hatás teljesen úgy viselkedik, mint a hullámok fázisa!
Itt érdemes megállni.

Szerk: Fogalmazásbeli hibákat javítottam.

[EPÉ]

Azt most nem értem tisztán hogy ebből hogy következik E és állandósága illetve a geometriai optika kérdésfelvetése inkább az hogy milyen alakú a pálya, az időbeli lefolyása nem olyan fontos általában mivel a fény terjedése általában nagyon gyors. Olyan kérdéssel még nem találkoztam hogy amikor megszakítom a lámpa áramforrását mennyi ideig látom hogy világít.Pedig itt általában nem a fény terjedése az elsődleges hiszen fel van melegedve egy izzószál az lehűl vagy valami más effektus a dominánsabb izzótól függően. Ha geometriai optikai analógiát keresek a mechanikára akkor inkább a Fermat-elv és a Maupertuis-elv jut eszembe. Egyébként nagyon érdekes hogy a hullámfázisra hasonlít a kifejezés amit kapunk ha E és állandó. (Viszont ezeket máshonnan de tudjuk)

Illetve ha jól gondolom akkor általános mozgás esetén úgy kapjuk a mozgás egyenletet ha vissza helyettesítjük a hatásra kapott függvényt a legkisebb hatás elvébe?

[dgy]

[dgy]

[G.Á]

[dgy]

[takacs.ferenc.bp]

[api]

[G.Á]

Próbáld meg a következőképpen elképzelni:
-Bevezetünk egy függvényt.
-Ennek minden () értelmezési pontjában a függvény egy értéket vesz fel, amelynek a meghatározásához a következő lépések szükségesek:
-Vegyük azokat a trajektóriákat amelyek kezdőpontja egy rögzített () koordinátájú pont, végpontja a () koordinátájú pont.
-Ezekre a trajektóriákra számoljuk ki az extremális hatást, és ez lesz az függvény értéke az adott pontban.

Ezt csak annyival kell kiegészíteni, hogy nem végezzük el a hatás minimális értékének a kiszámolását minden pontra egymástól függetlenül, már csak azért sem, mert ekkor minden pont esetén tetszőleges konstanst hozzá lehetne adni a felvett értékhez.
Ezért variáljuk a végpontot, azután hogy egy adott végpontnál már kiszámoltuk a hatást.

[G.Á]

Ezután rátérhetünk a Schrödinger-egyenletre.

Előrebocsátom, hogy a kvantummechanikát hagyományosan a nehezebben megtanulható diszciplínák közé sorolják, és teljesen kiérdemelte ezt a rangot.
Legalábbis amennyiben a matematikailag teljesen precíz tárgyalására gondolunk, ami lényegében Neumann János óta változatlan.

Ugyanakkor (szinte) soha nem ezen az úton kerül bevezetésre a kvantummechanika, és én sem vállalom hogy így próbálom elmagyarázni, amelynek legfőbb oka, hogy én magam sem értek hozzá.
Másodlagos ok, hogy nem használnánk fel, és a végső célunk a QED, amelynek viszont nincs is hasonlóan elfogadott, matematikailag precíz kidolgozása.

Másik dolog amiről előre szólni kell, hogy a pillanatnyi ismereteim szerint a kvantummechanikát nem lehet teljes egészében levezetni. Itt most csak a Schrödinger-egyenletet fogom levezetni, azt is egy speciális esetben, nagyjából azon az úton ahogyan Schrödinger-eljutott hozzá.

Írjuk fel a klasszikus mechanika legtömörebb összefoglalását adó egyetlen egyenletet, a Hamilton-Jacobi egyenletet.


A kvantummechanika megfogalmazását éppen az indokolta, hogy léteznek olyan jelenségek amelyekre a klasszikus fizika nem elégséges.

Amilyen feltételezéseket a tapasztalataink alapján elfogadunk:
1)A klasszikus mechanikát meghaladó elmélet sérti a HJ-egyenlet érvényességét.
2)Elfogadjuk, hogy létezik a részecskékhez rendelhető hullám, amelyre vonatkozóan a dinamika lineáris kell hogy legyen. Ez utóbbit a linearitást alátámasztó interferencia-kísérletek alapján sejthetjük meg.

Ha egy elmélet sérteni fogja a HJ-egyenletet, akkor rá vonatkozóan van értelme bevezetni egy skalármennyiséget, ami a "nemklasszikusságot" jellemzi.
Ezt a teljes téridőre vonatkozó súlyozott integrál formájában lehet felírni:

.

Ez önmagában elég sokféle alakot vehet fel. Célunk egy olyan elmélet megkeresése, amely -durván szólva- valamilyen értelemben kitüntetett, extremális mértékben sérti a klasszikus mechanikát.

Mielőtt ezt fel tudnánk írni, felhasználjuk a 2) feltételezést, hogy létezik egy lineárisan viselkedő, hullámszerű mennyiség. Korábban megemlítettem hogy a hatás hullámok fázisaként viselkedik, ezért elvárható hogy teljesüljön, vagy visszaírva legyen a hatás, ahol mindegyik mennyiségre megengedett a komplex érték.

Mostantól a Hamilton-függvények egy speciális osztályára összpontosítok, legyen ez .
Ezt visszahelyettesítve az integrálba:
.

Az elméletünk akkor "kitüntetett", ha (természetesen ennek komplex konjugáltjára is teljesülni kell ugyanennek).

Mint kiderül, a súlyozási függvényre a linearitási feltétel erős korlátokat szab. A legegyszerűbb (talán egyetlen?) lehetőség, ha
.

Megmutatható, hogy a k együtthatónak tisztán képzetesnek kell lennie, értékét kísérletileg lehet meghatározni: .

Az ilyen módon megkapott elméletünk egyenlete az

Schrödinger-egyenlet.