EPÉ jól leírta már egy harmoikus oszcillátor egyenletét, egydimenziós oszcillátorra .
Ebből tényleg levezethető egy másodrendű közönséges diff.egyenlet, .
Ezt mindenképpen érdemes mindenkinek leellenőrizni.
Most rátérhetünk a Hamilton-formalizmusra, de sokkal többet lehetne róla mondani, mint amennyire szükség lesz.
Legtömörebben: A Lagrange-függvényről átváltunk Hamilton-függvényre.
A különbség:
A Lagrange-függvény az általánosított koordináták és azokhoz tartozó sebességek függvénye.
A Hamilton-függvény a kanonikusan konjugált impulzusok explicit függvénye a sebességek helyett.
A Hamilton-függvényt az ú.n. Legendre transzformáció viszi át a Hamilton-függvénybe.
Ez nem fog közvetlenül felhasználásra kerülni, a következőket viszont érdemes megjegyezni:
A Hamilton-féle kanonikus mozgásegyenletek elsőrendű egyenletek, és közvetlenebbül kódolják a fázistér trajektóriáját.
Ezenfelül bizonyos egyszerű esetekben a Hamilton-függvény közvetlenül felírható a rendszer energiájaként.
Az impulzusok úgy állnak elő, mint:
ha ezeket kiszámoltuk, a Hamilton-függvényt megkaphatjuk úgy, hogy:
Ebben persze minden tagot ki kell fejeznünk a változókkal.
Az Euler-Lagrange egyenlet átírása az új változókra lényegében megadja az egyik Hamilton-egyenletet, egy másik a maga a kanonikus impulzus definíciója.
Ezek tömör levezetéséhez a A Lagrange és Hamilton-függvények teljes differenciájából indulunk ki.
A Lagrange-fgv differenciálja:
A Hamilton-fgv differenciája:
Az utolsó két egyenlet ekvivalens, ebből eredően
Az E-L egyenlet
A kanonikus egyenletek pedig:
.Ebből viszont azonnal látható néhány érdekes következmény. Ha valamilyen általánosított koordinátától nem függ a Hamilton-függvény, akkor a hozzá tartozó kanonikus impulzus megmaradó mennyiség. Ha pl: szabad részecskét tekintünk, abban nincs szögfüggés. Ezért a hozzá tartozó kanonikus impulzus, ebben az esetben az impulzusmomentum, megmarad.
Ezek a kanonikusan konjugált mennyiségek ugyanazok lesznek, amelyek szorzataira a Heisenberg-féle határozatlansági reláció vonatkozni fog.
Ezzel kapcsolatban egyelőre ennyi.
