Matematikai offtopik

[takacs.ferenc.bp]

Hány dimenziós az n dimenziós komplex tér?

A gondom az, hogy a komplex számok eleve két dimenziósak, van valós, és képzetes részük. És jó lehet ezek nem teljesen függetlenek, de nem is teljesen összefüggőek, hiszen az aritmetikai műveletek ugyan összekapcsolják a valós és képzetes részt, de azokat mégis két független különböző számként ábrázoljuk.

Ezért azt sem állíthatom, hogy a definíció szerint n dimenziós komplex tér viselkedése okán 2n dimenziós, de azt sem, hogy n dimenziós.

A spec rel Minkowski tér egy különleges eset, hiszen a négy dimenzióból az egyik, az idő dimenzió felfogható képzetes dimenzióként, miközben három valós dimenziója van x=ict, x=x, x=y, x=z.

Azt már csak hallomásból ismerem, hogy vannak kvaterniók is három képzetes, és egy valós dimenzióval.

Az a bajom, hogy a komplex számokkal ugyan foglalkozik az oktatás, de ezek több dimenziós eseteivel nem igen, így ez a terület teljesen ismeretlen számomra.

[Macska Bonifác]

[Zsolt68]

[srudolf]

Áldott Karácsonyt mindenkinek.

Szia Zsolt
Metrikus tenzor.
Az legegyszerübb esetet válasszuk, a két dimenziós euklédészi síkot, ortogonális koordinátarendszerkben. Ezen a síkon két infizitimális pont között a távolságot így merjük:
, ez a metrika.
Ez minden ortogonális koordinátarendszerben ds lesz, azaz ez egy invariáns mennyiség a kétdimenziós euklédészi síkon.
Most számítsok ki ezt általánosan, bármilyen koordinátarendszerben.
Térjünk át vektoros formalizmusra. Vegyünk fel két teljesen általános bázist az euklédészi síkon, ezeknek a bázisvektorai:
és
Készítsünk egy transzformációs szabályt a veszőtlen bázisból a veszősbe:



Ez mátrixos alakban felírva:



ahol





A metrikus tenzor az a mátrix, ami transzformációs szabályt tartalmazza a vesszős és a vesszőtlen koordinátarendszer között, magyarán ezzel kell szorozni a koordinátákat, hogy a vesszőtlenből átszámítsuk a vesszősbe az értékekket:

és a komponensei sorra: g, g, g,g

Euklédészi síkban ha a vesszős és a vesszőtlen rendszer ortonormált :


azaz
, ahol

A fenti képlet minden koordinátarendszerben igaz.

Pl. a polár koordinátázásba, euklédészi síkban:
, akkor metrikus tenzor komponensei a .
Léteznek nulladik, első és második rendű tenzorok is (és magasabb rendüek is), mi tanultuk a szilárdságtan keretében a feszültség tenzort- az másodrendű volt. Az egy 3x3 mátrix , aminél az infinitizimális térfogategységre a legbonyolultabb esetbe összesen 3 húzófeszültség és 6 nyirőfeszültség került (ha nem tudtad úgy elosztani a terheléseket, hogy a három síkra merőleges erőket kapját, akkor minden síkhoz kellett illeszteni egy ortonormál bázist, amiben a nyírásokat osztottad el). A szemközti síkokon a nyírások azonosak voltak, ezért ez is egy szimetrikus tenzor.

Laci számolásaiban négy dimenzió van, tehát az index nullától indul és a g az a :r: koordinátanak megfelelő komponens.

A lap alján megkapod a nem forgó vákuumban álló fly metrikáját, aminek a g metrikus tenzor komponenese egy negatív gyökös kifejezés, amit Laci csak másképp jelölt. A :b: a SCH sugár, helyetetesítsd be és meglátod, hogy ugyanazt takarja, mint a Laci gyökös kifejezése. Laci a két szög koordinátát a gömbi metrikából kihagyta, hiszen azok változása zérus, mert a kötél iránya radiális a fly közponjához képest.

[Zsolt68]

Köszönöm.





Boldog Karácsonyt!

[Zsolt68]

Einstein lusta volt kiírni a szummát. Ha ugyanaz az index kétszer szerepel, akkor aszerint összegezni kell. Még nem szoktam hozzá.

Ha önmagával szorzom, az lesz invariáns. Amiben mindenki egyetért. Ez lenne a sajáthossz?
De akkor mi a rendszeridő?

----------

Ezt lehetne kicsit részletesebben? Minek felelnek meg a tenzor elemei?

[G.Á]

Egyelőre ezt az egy topikot hozom létre azért hogy a felmerülő értelmes, csak éppen az adott témában túlhaladott szintű matematikai jellegű kérdések helyszíne legyen, más topikokból áthelyezve.
Későbbiekben elképzelhető rendszerezés és több topik is.

[Zsolt68]

[Zsolt68]

[Zsolt68]