Alakváltoztató testek mechanikája

[mma]

[Zsolt68]

[Macska Bonifác]

[mma]

Előre is elnézést, hogy nem kapcsolódok az előttem szólóhoz (hirtelen nem is értem, mit kérdez, igaz nem is nagyon próbálkoztam vele), de már előtte leírtam amit most csak idemásolok. Szóval a síkon élő nemrelativisztikus 3-macskáról elmélkednék egy még kicsit, remélem, még nem unjátok nagyon.

A 3-macska alaktere egy olyan halmaz, amelynek az elemei a konfigurációs térnek olyan részhalmazai, amelynek az elemei forgatással egymásba vihetők. A forgatás a sík távolságtartó transzformációinak egyike. A másik kettő az eltolás és a tükrözés. Mivel a 3-macska konfigurációs tere olyan háromszögekből áll, amelyek súlypontja az origóban van, nincs két olyan különböző konfiguráció, amelyik egymás eltoltja lenne. Olyan viszont van, amelyik egymás elforgatottja, és olyan is, hogy egymás tükörképei. Az háromszög irányítása 2-féle lehet aszerint, hogy egy nemelfajuló antiszimmetrikus bilineáris formát térfogati formaként választva (ez 2-dimenzióban területi formát jelent) pozitív, vagy negatív. A forgatás az irányítást nem változtatja meg, a tükrözés viszont igen. A macska lehetséges konfigurációi közé tartozó két egybevágó (tehát azonos , és oldalhosszúságú) háromszög tehát pontosan akkor tudunk egymásba vinni forgatással, ha az irányításuk azonos. Más szóval a 3-macska egy konfigurációjának az alakját (vagyis a vele forgatással fedésbe hozható háromszögek halmazát) a háromszög oldalhosszai és az irányítása határozza meg. A 3-macska alaktere tehát a halmaz lenne, ha az oldalhosszak tetszőlegesek lehetnének. De nem lehetnek tetszőlegesek, mivel teljesülnie kell annak, hogy bármelyik két oldal hosszának az összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál. A 3-macska alaktere végül is a halmaz, ahol az a halmaz, amely -nak pontosan azokból az elemeiből állnak, amelyekhez van olyan háromszög, amelynek oldalhosszai , és .

Konkrét esetként tekintsük a macska alakját. Ez az egységnyi oldalú, pozitív irányítású olyan szabályos háromszögek halmaza, amelyeknek a súlypontja az origóban van (vagyis, amelyek mindhárom csúcspontja az sugarú körön van).

Végezze el a macska a következő mutatványt a levegőben:

1. Nyújtsa meg az oldalát-szorosára úgy, hogy a másik két oldalhossz ne változzon
2. Nyújtsa meg a oldalát -szereséra úgy, hogy a másik két oldalhossz ne változzon
3. Húzza össze az oldalát az eredeti méretére úgy, hogy a másik két oldalhossz ne változzon
4. Húzza össze a oldalát az eredeti méretére úgy, hogy a másik két oldalhossz ne változzon

Ha a mutatvány közben a macska irányítása nem változik meg, akkor a végső alakja nyilvánvalóan azonos lesz a kiindulóval. Kérdás az, hogy ezeket a műveleteket a macska el tudja-e végezni úgy, hogy közben az impulzusmomentuma végig 0 marad, és közben a területe soha nem tűnik el (ami biztosítja azt, hogy a macska irányítása ne változzék meg).

Állítás. Van olyan és valós szám, amelyekkel a macska végre tudja hajtani ezt a muitatványt.

Bizonyítás. Legyen . Ekkor a macska az 1.lépést két rész-lépésben végre tudja hajtani: először megnyújtja az oldalát -szorosára úgy, hogy csak az oldal két végpontját (vagyis -t és -t) mozgatja az oldal egyenesén ellentétes irányban azonos sebességgel (ekkor ugyanis az impulzusmomentum végig 0 marad). Ezután az így valamennyire megnyúlt és oldalt húzza vissza eredeti méretükre úgy, hogy közben az oldal hossza nem változik meg. Ezt úgy tudja megtenni, hogy az oldal egyenesére merőleges irányban mozgatja mindhárom pontját, mégpedig a és pontját azonos sebességgel, az pontját pedig kétszer akkorával, és ellentétes irányúval hogy ez is 0 impulzusmomentummal történjen. E két rész-lépés egyike során sem válik soha 0-vá a macska területe, így az irányítása nem változhat meg (ld. folytonos függvények Darboux-tulajdonsága).

A 2. 3. és 4. lépéseket hasonló stratégiával tudja végrehajtani. (Utólagos megjegyzés. Mint Macka Bonifác , ez sajnos nem ilyen egyszerű.)

Ezek után már csak azt kéne kiszámolni, hogy e mutatványa során a macska mennyit fordul el. (Jó, tudom, hogy ez gyengébb mutatvány, mint Macska Bonifác állítólagos 2-lépésese, de én legalább leírtam az enyémet, és azt hiszem, ez elég könnyen átlátható)

[Zsolt68]

[mma]

[Macska Bonifác]

[takacs.ferenc.bp]

Két lépéses forgatás 120 fokkal. Igaz közben tükrözés is történik, aminek végrehajtása bizonyos tulajdonságú macskáknál nehézséget okozhat.

fa3.png (40.75 KiB) Megtekintve 1354 alkalommal.

Megjegyzem, itt a tükrözések tengelyeinek szöge 60 fok volt, de tetszőleges forgatás elérhető a tükrözési tengelyek különböző szögeivel. 90 fokos tükrözési tengelyszögnél 180 fok az elfordulás.

[Macska Bonifác]

[mma]