Hópehely tehetetlenségi nyomatéka

[Zsolt68]

A sárga pehely aránya a zöldhöz: Koch_7.pngVagyis a területe háromszoros.
Nyilván ez végtelenszer ismételhető. Tehát ez egy olyan mértani sor, aminek a kvóciense

Másképp fogalmazva: ha egy zöld alakzat területe egységnyi, akkor a sárga alakzat területe három egység.
A karikával jelzett (1 sárga + 6 zöld) alakzat pedig 9 egység és semmi kétség.


Számomra a nagyobb dilemma a következő:
Ha ilyen bolhaköhögés feladatokkal foglalkozok, abból nekem nem lesz a fénysebességet megközelítő űrhajóm.
De ha még ezt sem tudom megoldani, akkor pláne nem lesz.

Tehát: a végtelen mértani sor összege emlékeim szerint

Valamilyen méretet rögzíteni kellene, mert így határozatlanabbak vagyunk Heisenberg négyzetesítésénél.
Szerintem az eredeti háromszög oldalhosszúságát tekintsük 1 egységnek...

[G.Á]

Alapvetően jó irányba tapogatóztok.
Eltekintve a geometriai sort illetően, arra egyáltalán nincs szükség. Bár valószínüleg úgy is ki lehet számolni.

Viszont az igaz hogy érdemes valamilyen hosszparamétert rögzíteni a számoláshoz.
Ez legyen a kiindulási háromszög oldalhossza, ezt jelöljük "a"-val.
Ezzel és tömeggel fejezzük ki a tehetetlenségi nyomatékot. Kérdés a dimenziótlan együttható.

[Zsolt68]

Azt mondják, egy jó ábra mindig sokat segít.Koch_7a.pngBerajzoltam az eredeti háromszöget. Ugyanis a csúcsok megmaradnak...

A körülírt kör sugara:

mert

Adjunk először felső becslést...



Tehát


Az alsó becslés a háromszög lenne...
de csak sokszögre van meg a képlet


Tudnám mit jelentenek a függőleges vonalak. Inkább majd megkeresem valami példatárban...
(Nem találtam.)

----------

Legyen egy hosszúságú vékony rúd. Ennek a tehetetlenségi nyomatéka a tömegközéppontra:


Állítólag a Steiner-tétel szerint eltolhatjuk. (Eltolni vagy elszúrni, nem mindegy.)
Mindenesetre a háromszög egyik hosszúságú oldalának távolsága a súlyponttól:

(Kicsit később az is kiderül, hogy miért és nem az oldal hossza.)

Ezek szerint a növekmény:


Vagyis összesen:


És akkor ezt kell(ene) -tól -ig integrálni... de nekem már itt kétségeim vannak.

Aztán ebből lenne három, mert a háromszögnek három oldala van. Ennek ráadásul három egyforma.

És ez nekem nem tetszik, mert szerintem nem lehetne köbös.
Hol szúrtam el?

(Valahol ott lesz a probléma, hogy az hosszúságú rúd vastagságát differenciálisan kellene venni.)

Szerintem


Tehát:
ahol

azaz


----------

Nézzük másképp...
Az arány lineárisan:
A területek aránya:
Az eltolás: (persze elforgatni is kell)

Ha egy kis zöld területe 1, akkor a középső sárga területe 3, a komplexum területe pedig 9 egység.
A hasonlóság miatt a tehetetlenségi nyomatékok aránya ugyanez. Állítólag.
Most bedobjuk a Steiner-tételt is.

Közben ülök ezen a tuskón és hülyeségeket beszélek. Itt valami árulás van.

[G.Á]

Laci megoldása nagyságrendileg jó, de az együttható teljesen közönséges racionális szám lesz.
Őszintén szólva kiváncsi lennék, hogy hogyan jött ki oda az az "e".

[Zsolt68]

[G.Á]

Igazából az általam belinkelt ábrán már szerepel a megoldási módszer legfőbb része is.

Egy "" hosszparaméterrel rendelkező pelyhet fel tudunk bontani hat darab ""-as , a tengelytől ""-el eltolt kissebb pehelyre, illetve egy , központi pehely összegére.

A tömegek a hosszparaméterek négyzetével skálázódnak, ezenkívül természetesen a tehetetlenségi nyomaték (ezenfelül) maga is négyzetesen függ a hosszskálától.
Ezt közönséges dimenzióanalízissel is be lehet látni, ha esetleg valaki bizonytalan az elkövetkező lépésekkel kapcsolatban.

Egy kis rajzolás és számolás után kiszámolhatóak a feljebb közölt paraméterek, illetve az is következik, hogy a középső pehely nyomatéka:
.
A Steiner-tételt felhasználva, a kis pelyhek nyomatéka:
.



Ehhez csak azt használtuk fel, mindenfajta kiterjedt számolást kikerülve, hogy a koch-pehely felbontható saját magára.
Kérdés azért hogy mi is az értéke -val kifejezve.

[Zsolt68]

[Macska Bonifác]

[G.Á]

[Zsolt68]