Hópehely tehetetlenségi nyomatéka

[G.Á]

Mivel a napokban havazást jósolnak, illik ide ez az egyszerű feladat.
Valamikor talán egy cseh nyelvű pdf-ben olvastam hasonló kérdést, ennek az átfogalmazását adom meg most.

Tekintsünk egy olyan hópelyhet, amely gyakorlatilag 2D-s, vagyis a vastagsága egyenletes és elhanyagolható a síkmenti dimenzióihoz képest.
A 2D-s hópehely alakját vehetjük Koch-féle pehelynek.

Ha a sűrűség konstans, akkor számoljuk ki a síkra merőleges, a tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékot!

Annyit súgok hogy a feladat valójában nem olyan bonyolult mint amilyennek elsőre kinéz.

[Zsolt68]

[G.Á]

[Zsolt68]

Köszönöm.
Így már alaposabban meg lehet nézni.
Az első feltevésem máris megdőlt. Először sugár irányban terjeszkedik.
Aztán arra merőlegesen, de ennek is van többlete.
Utána meg már mindenféle irányban elkezd kiterjedni.

Eddig arra jöttem rá, hogy az eredeti háromszög kis piros csúcsai egybevágóak a zöld növekménnyel. Könnyű lenne a helyzet, ha csak a területet kellene kiszámolni.
KochFlake.pngHa a kezdeti háromszög területe 1, akkor egy kis zöld háromszög területe , viszont három van belőle. Ezért a második alakzat területe lesz.

A tehetetlenségi nyomaték már nehezebb ügy.
(Másodrendű nyomatékra van egy eltolási tétel, hogy az elmozdulás négyzetét hozzá kell adni. Vagy valami ilyesmi.)

Valószínűleg rossz nyomon járok, mert a többi lépés egyre bonyolultabb formulához vezet.

[Zsolt68]

1.png2A.png2B.png2C.png

[Zsolt68]

Ötszög, mert a mercit jobban csípjük.
3C.png4C.png8C.pngTényleg havazott. Nem hittem volna.

[G.Á]

Majdnem biztos vagyok benne hogy az ötágú esetet ugyanolyan könnyű/nehéz kiszámolni mint a hatágút.

A hópelyhek viszont tipikusan 6-os, ritkábban 3-as szimmetriájúak, esetleg hengeresek, vagy más nemsíkbeli alakzatuk van, de amennyire én tudom, sohasem lesznek ötszöghöz hasonló szimmetriatulajdonságúak.

Ez utóbbi egyébként is ritka tulajdonság a kristályok között.

[G.Á]

A feladat megoldásának a kulcsa annak a felismerése, hogy a Koch-pehely felbontható egy kicsit kisebb, és hat még kisebb, eltolt, de egyébként azonos alakú részre, akárcsak az alábbi ábrán:

[Zsolt68]

Határértékben oda tart.
3-5.pngDe persze mindig egy fél lépés hiányzik a másik oldalról, amikor egy-egy lépéssel növeljük az iterációk számát.

[srudolf]