Még mindig egyenletes gyorsulás a specrelben

[dgy]

Átnéztem a Rejtvények rovatot, és meglepődve láttam, hogy soha nem adtam fel az alábbi feladatot (Ortvay feladat kb 99-ből). Azért ide írom, mert pontosan ebbe a témába, az egyenletesen gyorsuló relativisztikus űrhajók problémakörébe illik.

Elindul a Földről (tekintsünk el a bolygó gravitációjától) két tökéletesen egyforma relativisztikus űrhajó. Az indítóállomásuk egymástől 10 km távolságban van. Az űrhajók pályája nyílegyenes, egymással párhuzamos. Az órákat az indulás előtt szinkronizálták, az indítás azonos pillanatban történt. mindkét űrhajó állandó, egyforma (1 g) gyorsulással halad.

A pilóták időnként kipillantanak az ablakon, hogy megnézzék, hol a másik űrhajó. A fény véges terjedési sebessége miatt a látott fény a másik űrhajó egy korábbi pozíciójában indult el, ezért a pilóták nem maguk mellett, hanem valamivel maguk mögött látják a másik űrhajót. Mennyivel? Hogyan változik ez a távolság az idővel? (Hagyjuk ki a számolásból az első töredékmásodpercet, amikor a másik űrhajót nem mozgásban, hanem még a Földön, a starthelyen állva észleljük.)

dgy

[takacs.ferenc.bp]

[takacs.ferenc.bp]

Nem vicc. Einstein űrlift kabinja nagyobb kiadásban. A keresztbe menő fény elhajlik lefele. De ha ugyanazon magasságba kell érkeznie, felfele kell lőni, és fentről is érkezik meg.

[takacs.ferenc.bp]

Nem tudom lerajzolni. Egyrészt mobilról írok, másrészt két térbeli, és egy idődimenziót kéne rajzolnom. Mindkét űrhajó látja a másik előlapját. Az űrben nem kell áramvonalasnak lenni.

[takacs.ferenc.bp]

No mégis lerajzoltam. Ha nem is 3D-ben, de legalább az oldalnézetét.

paralel.png (122.72 KiB) Megtekintve 2940 alkalommal.

Mivel a két űrhajó párhuzamosan halad, oldalról ugyanaz a piros hiperbola írja le őket, de 10 km mélységi eltérés van köztük. Az egyik űrhajó elindít az origóban egy fényjelet, amelynek vetülete a lila vonal. Mivel a fényjelnek csak a vetületét látjuk a fénykúpon, ez a vonal meredekebb, mint az előre küldött fényjelek lennének. A fényjel újból metszi a hiperbolát, de a másik űrhajóét. Oldalt, de kicsit előre fele lett elküldve a jel, és oldalról, de kicsit szemből érkezik meg. A sárga vízszintes vonal jelzi a jel megérkezésének T időpontját, a kék függőleges az űrhajó közben megtett X úthosszát. A fényjel térbeli útját az x tengelyen az X pont, az origó, és a rajzlapra merőleges z tengelyen 10 km-re levő Z pont által alkotott háromszög átfogója jelenti. A csúcsban levő hegyesszög ad választ a kérdésre, hogy mennyivel kell előrébb küldeni a jelet. És ugyanennyivel kell előre néznie a jelet megkapó űrhajósnak is, lévén a szituáció szimmetrikus. Az átfogó hosszának meghatározása nem könnyű, de nem vétünk nagy hibát, ha a 10 km-es befogót vesszük helyette, mivel a megoldásként adódó szög alig lesz nagyobb nullánál.

[dgy]

[dgy]

[dgy]

[dgy]

Sokszor szerepelt itt az a hasonlat, ami az egyenes vonalú, állandó gyorsulású mozgást (amelynek világvonala a téridő indikátrix-hiperbolája) a klasszikus fizika egyenletes körmozgásával (az euklideszi geometria indikátrixán való mozgással) hasonlította össze. Ideje feljebb lépni egy dimenzióval!

Ha valakinek van hozzá kellő affinitása, lelkesedése, matematikai eszköztára - és persze legfőképpen: ideje - próbálja meg összekapcsolni a fenti két jelenséget, és részletesen leírni a kétdimenziós (xy) sík R sugarú körén állandó sebességgel körbejáró részecske relativisztikus mozgását! Hogyan függnek az (x, y, t) téridőbeli koordináták a részecske sajátidejétől? Van-e látszólagos eseményhorizont? Hogyan változik ez s sajátidő múltával? Van-e a téridőnek tartósan a horizont mögé rejtőző része? Mekkora világot lát maga körül a körpályán mozgó részecske? Fellép-e az ikerparadoxon valamilyen megfelelője? Mi történik, ha feloldjuk a vonzócentrum rögzített voltának feltevését, és figyelembe vesszük, hogy két test (pl a Föld és a Hold) közös tömegközéppontjuk körül kering? Ha a két testet kölcsönös gravitációs vonzásuk tartja körpályán, akkor az órák járását a gravitációs vöröseltolódás is befolyásolja. Realisztikus paraméterek esetén melyik effektus az erősebb?

Én sem tudom a válaszokat, nem számoltam végig a feladatot, de elég érdekesnek találom ahhoz, hogy a karácsony és újév közti láblógatás idejére a figyelmetekbe ajánljam.

dgy

[srudolf]

Az utazó iker 1g-vel gyorsul, elért már nagy sebességet, elhúz a földi iker mellett és elkezd fékezni.
1 fényév távolságra megáll, megfordul és 1g gyorsulással visszafele haladva 1 fényév távolságot elhúz újra a földi testvére mellett.
Az egyköpenyű hiperbolaív szimetrikus az OX tengelyre, kiszámitom az utazó gyorsuló fázisát (a teljes utazás felére), azaz a pozitív t-re.
Az utazó világvonala (x-2) -t=1, a földié x=o.
Hol találkoznak?
A hiperbola és a t tengely metszéspontjában. Behelyetesítunk x=o a hipebola egyenletében, megoldjuk t-re, t=3
Ennyi telt el a földi iker élétéből a utazó iker utazásának felében.
Egyenletes gyorsuló mozgás esetén:
t=c/g* sh(g/c *τ), legyen c=1 és g=1, a távolság fényév, az idő év, akkor t=sh(τ), τ az utazó iker sajátideje fényévbe mérve.
Kijön τ=1.316 fényév.
Tehát a földi iker ideje találkozástól találkozásik 2*3=3.45 év, az utazo ikeré 2.62 év.
Ha arra lennénk kiváncsiak, hogy mekkora sebességgel húz el a találkozásnál az utazó iker a földi iker mellett, akkor kifejezzük a rapiditást a sajátidő függvényében: χ= (g/c)* τ, azaz a rapiditás a sajátidő számszerű értéke. th(χ)=th(1.316)= o.86c. Ekkora sebességgel zúg el mindkét találkozásnál az utazó a földihez képest. Előszőr balról, másodikszor jobbról.
Az ábra méretarányos.

A álló utazó esetében a számolás cifrább. De remélem honap este jelentkezem.