Mindenféle laikus kérdés

[G.Á]

[Zsolt68]

Teller Ede azt mondta, hogy neki a ion energia nívóit kellett kiszámítania (numerikusan), ebből doktorált.

A táblára az alábbi képletet írta fel:

(Ez a macska-egyenlet. Nekem szilícium egykristályra kellett volna megoldani papíron, nem sikerült. Sehogy sem akart kiesni a képzetes rész.)

Kérdések:
- Ez lényegében a Lagrange formalizmus? (Mert akkor kellene szerepeljen benne.)
- Ha igen, nem volna egyszerűbb polár koordinátákkal számolni? (Állítólag úgy is lehet.)
- Hogyan lehet ezt numerikusan megoldani? (Megpróbálkoznék a hidrogén ionnal.)

Állítólag a megoldás alakú sajátfüggvények szuperpozíciója.

(Ha sikerül megoldani, utána azt is elárulom h mire kell.)

[G.Á]

[Zsolt68]

[Zsolt68]

Átírom polárba...


Ahol a potenciális energia csak -től függ:

A hullámfüggvény sajátértéke az energia, a sajátfüggvényt pedig keressük érintő irányú hengerhullám alakban:

Illetve

Utóbbi térbeli elforgatással kapható az előbbiből, nem szükséges külön számolni.
(Viszont elforgatással három változat is kapható. Egyre komplikáltabb a helyzet.)

Behelyettesítünk...

Imádom, amikor ugyanaz a betű több különböző dolgot jelent (itt most az elemi töltés és az exponenciális függvény).
De ilyesmi még komoly professzoroknál is elő szokott fordulni.
Akkor talán deriváljunk...






A harmadik tag nulla. Behelyettesíthetünk...


Szerintem itt a behelyettesítést elrontottam. Sőt, talán már a deriváltnál.
Szerintem ide a polár div grad kell.
div_grad.png
Na most ezzel mi a frászt kezdjek?
Egyrészt formálisan visszaírhatom a hullámfüggvényt és egyszerűsíthetek vele.
Másrészt viszont engem nagyon zavar, hogy benne maradt a szög a képletben. Az még talán rendben van, hogy a sugár benne marad. Egyébként meg csak a hullámszám maradhatna, ami kvantumszám.





grrrr

[G.Á]

[Zsolt68]

[Zsolt68]

Áttérünk polárba. Puskázok. (Ezt az átszámítást most ellenőrzés nélkül elfogadom. Nem lehet mindent jancsitól és juliskától kezdeni.)
schr_r.pngschr_eq_r.pngNa itt a másik hiba. Nem az elektromos töltés kell, hanem annak is a négyzete. Ezt nem igazán értem. A potenciál független a próbatöltéstől. Grrr. Ez nem a potenciál, hanem a potenciális energia.

Végső soron nem muszáj ragaszkodnom Ede bácsi (fejből felírt) képletéhez. Maradhatnak az együtthatók az egyenlet jobb oldalán is.

Ahol

(Mi a fene lehet ebben a képletben?)

Ideje deriválni...



Behelyettesítünk...


Bizonyos megfontolások alapján...
és
Visszahelyettesítve az alapállapot energiája:
Joule
És
méter

Nagyon letértem arról az útról, amit eredetileg kitűztem magam elé. Ez az zavar engem. Itt egy kvantumszámot szeretnék látni a képletben. Persze nem biztos, hogy a sugár lineáris (vagy négyzetes) függvénye a kvantumszámnak. Ezen még agyalnom kell...
(Annyit elárulok, hogy nem ez a végcél. Itt a mag töltéssel rendelkezik és az elektromos vonzás tartja össze az atomot. A gravitációt elhanyagoltuk. Viszont amit ki akarok hozni belőle, az egy semleges mag körül keringő semleges részecske - talán sötét anyag - amit a gravitáció tartana össze.)

Khm...
Ráadásul nekem úgy tűnik, hogy ez csak az pálya elektronja lenne. Ebből szerintem nem fog kijönni a megoldás. Van még mit kapálni...

[G.Á]

A hidrogénatom klasszikus, minden kvantummechanika tankönyv által tárgyalt probléma, érdemes azokból megérteni.

[Zsolt68]

A gravitációt nem tudjuk mérni -es távolságokban. Nem tudjuk, hogy az mennyire igaz.
És mi a helyzet a Maxwell-egyenletekkel? Mikroszkopikus méretekben biztosan teljesülnek, vagy ebben is lehet kételkedni?