Alakváltoztató testek mechanikája

[G.Á]

[takacs.ferenc.bp]

[G.Á]

Angolul "Control moment gyroscope" -nak nevezik ezeket a berendezéseket.
Magyarul nem tudom mi a neve.


Szimuláció a működésről az alábbi videóban látható: (3:10)

[takacs.ferenc.bp]

Ezek szerint nyitott kapukat döngetek. Mondjuk csodálkoztam volna, ha ezt még nem oldották volna meg. Bár az állandó nagy sebességű forgatás kikészíti a csapágyakat. A macska módszere takarékosabbnak, és tartósabbnak tűnik.

++ Bár szerintem ezen a videón már nagyon macskaszerűen mozog a kocka, és csak akkor forog fel nagy sebességre, ha ugrásra készül. Az egyensúlyozást többnyire megoldja a megfelelő irányú kerék megfelelő mértékű elfordításával, és nem is akarja a pörgettyűket elforgatni, azok fixen be vannak építve. A sarkán álló kockában a három kerékből csak egy forog, a többi csak korrigál. Feltehetően a korrekció sebessége szabja meg, milyen gyorsan forogjon az az egy kerék. Űrben nyilván egyik keréknek sem kell forognia.

[G.Á]

Kinematika 2.

Egy pillanatra térjünk is vissza az eddigiek fizikai jelentésére.
A szögelfordulást általában azonos alakú testekre tudjuk értelmezni, ezért deklarált célunk az, hogy ilyen állapotokat hasonlítsunk össze.

Ha a test megváltoztatja a formáját valamilyen módon, úgy hogy a folyamat végén (vagy valamely pontjain) az eredeti alakját vegye fel, az azt jelenti, hogy C* térben zárt görbe mentén fog a test mozogni.

Ugyanez viszont nem feltétlenül fog teljesülni a C térben. A két teret minden pillanatban az R mátrix köti össze, ezért ez alapján lesz értelme a szögsebességet definiálni, amelyből az elfordulás szögét kaphatjuk meg.
A szögsebességet merev testekre definiálhatjuk mint egy 3x3-as antiszimmetrikus mátrixot.
Megjegyzem hogy ennek két formája is lehet, az szögsebesség, ami a térhez rögzített rendszerben írja le a forgást, illetve a , amely a testhez rögzített rendszerben.
Most ez utóbbit lesz a praktikusabb használni.


Ebben a bekezdésben a levezetés erejéig használjuk az indexekre vonatkozó összegzési konvenciót értelemszerűen.
a térhez rögzített koordinátákban,
a testhez rögzített koordinátákban.
Könnyen belátható, hogy amely a két koordinátázást összeköti.



Most ez a szögsebesség-mátrix nem a merev testekre vonatkozóan kerül alkalmazásra, ekkor messze nem triviális a jelentése.
Ennek megfelelően közelítsük meg a problémát úgy, ahogyan az ismeretlen dolgokat szoktuk, a lehető legáltalánosabb megfontolások alapján tapogatózva a sötétben.
A test állapotát a C* alak-térben, az előzőek alapján, egy 3N dimenziós vektor határozza meg, ezt most jelöljük -val, ahol "A" az index ami 1,...3N-ig fut.

Tegyük föl hogy a testünk alakról alakúvá válik infinitézimális idő alatt.
Az alakváltozásnak nyilván 3N iránya lehet.

Jogosan feltehetjük, hogy infinitézimális változások esetén a mátrix, mely általában 3Nx3N-es, bárhogyan is nézzen ki, az egyes alakváltozásoktól, --pontosabban azok időderiváltjaitól-- lineárisan függ.
Ez azt jelenti, hogy , ahol az időfüggés kizárólag az utolsó tagban van, az alaktól függő mátrixok pedig egyenként 3Nx3N-esek, ugyanennyi darab van belőlük, és antiszimmetrikusak.

Amit fontos megjegyezni, hogy minden olyan pillanatban amikor a test felveszi az eredeti alakját, az mátrix azonos 3x3-as blokkokból áll, vagyis az tartalmazni fog minden információt. Ennek megfelelően az egyes mátrixokban is teljesen elegendő lesz egy 3x3 blokkot vizsgálni.

Ugyanakkor van némi határozatlanság a szögsebesség definíciójában, abból eredően hogy tetszőlegesen választottuk meg a referencia-orientációt amikor kiválasztottuk a megfelelő reprezentációt mindegyik alakra. Természetesen könnyedén választhattunk volna ki bármely más orientációt.
Végezzük el hát ezt!

Másik reprezentáció annyit jelent, hogy vektorról áttérünk a vektorra, ahol az "S" mátrix, egy olyan forgatómátrix, amelyik eltérő lehet a különböző alakokra.

Ebben az esetben az mátrix is megváltozik, lesz a megváltozott reprezentációban.
Végül a szögsebesség komponenseit a reprezentáció-váltás
alakúra viszi.

Ez a fajta határozatlanság kapcsolatba hozható azzal, hogy két különböző alak között nem tudjuk az elforgatást közvetlenül definiálni.
A bizonytalanság, a várakozásunknak megfelelően, el fog tűnni akkor amikor a tényleges elfordulást kiszámoljuk.
Az -hoz hasonló matematikai objektumok, vagyis amelyek ilyen módon transzformálódnak, igen fontosak a fizika bizonyos ágaiban.
Fizikusok nem-ábeli mértékpotenciáloknak hívják az ilyen mennyiségeket.


Ezzel egyszersmind rámutattunk arra is, hogy a klasszikus mechanika keretein belül nemcsak az "adjunk hozzá a potenciálhoz egy konstanst" típusú mértéktranszformációk kerülnek elő, hanem az igencsak absztrakt fogalmaknak is van megfelelője. (Tulajdonképpen még a Feynman-gráfoknak is, de ez most nem tartozik ide)
Ezen a ponton az ember jobban átérzi azt, ami a Landau I. kötetben szerepel: "Nemes egyszerűségében bontakozik ki előttünk minden természettudomány kiindulópontja: a klasszikus mechanika. "


A kinematika rész ennyiben kimerül, legközelebb a dinamika következik.
(folyt. köv.)

[G.Á]

Dinamika 1.

Az előzőekben megfogalmaztuk, hogy hogyan szándékozzuk leírni az alakváltoztató test szögsebesség-mátrixát.
Az azonban továbbra is kérdés maradt, hogy pontosan hogyan is kellene kiszámítani konkrét esetekben.
Most először erre kerül sor.

Alakváltozás során a rendszer impulzusmomentuma állandó, a korábbiak alapján megköveteljük hogy ez az inerciarendszerünkben nulla, hiszen a szögsebesség kizárólag az alakváltoztatásból ered .
Fejezzük ki az impulzusmomentumot a C* alaktér-beli elemekkel.


Az összegezési konvenciót a továbbiakban mindenhol alkalmazzuk. Komponensenként kiírva a fenti feltételt kapjuk hogy:


Ezt fel fogjuk használni az alábbi eredményhez.

Állítás:
A szögsebességmátrix 3x3-as blokkjait, amelyet -ként definiáltunk,
felírhatjuk formában is,
ahol a C^* térben felírt pillanatnyi tehetetlenségi tenzor.



pedig ugyanezen a téren értelmezett impulzusmomentum.



Bizonyítás:
Szorozzuk meg -t -vel.
Használjuk fel hogy

Ezzel

Most ezt szorozzuk meg -vel. Mivel R ortogonális mátrix, teljesül az összefüggés.
Az indexeket átnézve, összevonások után az írható, hogy:



Ennek a felhasználásával érhetünk célhoz, de hogy az indexes írásmód ne legyen összezavaró, érdemes ezen a ponton komponensenként kifejteni -t.
A fentebb már megadott definíciója alapján


Amelybe behelyettesítva a fenti eredményt:


A többi komponenssel ugyanez elvégezhető, tömören az írható fel (felhasználva a szögsebesség-vektor antiszimmetriáját) hogy:

Innen az inverzzel való baloldali szorzás után megkapjuk a bizonyítani való állítást.

Ezt utólagos visszahelyettesítéssel le lehet ellenőrizni,

A bizonyítás befejezettnek tekinthető.


Összefoglalva: Egy impulzusmomentummal nem rendelkező test, amennyiben képes az alakját változtatni, mégis rendelkezni fog egy, a fentebb tárgyalt értelemben definiált szögsebességgel, miközben az alaktéren trajektórián halad keresztül.
Erre a szép gondolatra vonatkozóan kaptunk is egy szép formulát.
Hogy ez alapján hogyan lehet kiszámolni a korábban kitűzött célunkat, azt a következőkben fogjuk látni.

(folyt. köv.)

[G.Á]

Dinamika 2.

A célunk tehát az, hogy az alakváltozás ismeretében, vagyis elvileg ismeretében, kiszámoljuk az eredő elfordulás mátrixát
miután a test alakok egy sorozatán keresztül visszaáll az eredeti formájára.

Az definíció azonnal ad egy differenciálegyenletet az R mátrixra.
Ha egyszerűen csak skalárokról lenne szó, a megoldást egyszerűen fel lehetne írni alakban.

Itt azonban természetesen mátrixok szerepelnek. A megoldáshoz induljunk ki mégis a skalár-megoldásból, és nézzük meg miért nem lesz jó.
A mátrixok exponenciális-függvényét az exponenciális-függvény definíciójába, a Taylor-sorába helyettesítve értelmezzük:


A differenciálegyenlet, amelyet ki kell elégíteni, az hogy:
Deriváljuk le az exponenciális függvényt! Az elsőrendű tag stimmel, a másodrendű tagnál


A jobboldali tag elfogadható alakú (Taylor-sorba fejtésnél elő kell kerülnie) , de a baloldali nem. A probléma forrása, hogy nem lehet felcserélni
az és mátrixokat, ha .

Emiatt az exponenciális-függvény nem lesz megoldás, de az összehasonlítás segítséget nyújt annak a megsejtésében hogy a megoldás az ú.n. rendezett exponenciális (path-ordered exponential) függvény segítségével állítható elő.

, ahol "T" a rendező-operátor. A hatása olyan, hogy a mátrixokat (most időbeli) sorrendbe rendezi az integrálás előtt (van fordított sorrendbe rendező operátor is).


A kettősintegrál a tartományon történik.

Ellenőrzésképpen, a másodrendű tagon t-szerint deriválva, -ot kapunk, ami pontosan az amire szükségünk van.
Magasabbrendű tagokra hasonlóan megfelelőek lesznek.

Ehhez hasonló rendezett integrálok előkerülnek minden olyan elméletben ami nem-kommutáló mátrixokkal operál, így a részecskefizika sztandard-modellje, de például kvantumos időfüggő Green-függvények előállításának is fontos eszköze.
A klasszikus mechanikában merev testeknél, és irányítástechnikai problémáknál is előkerül.

Visszatérve a megoldásra, a eredmény átírható, a korábbi eredményeinknek megfelelően, idő helyett az alak-tér koordinátáira.

, ami különösen akkor érdekes számunkra amikor zárt görbe mentén történik az integrál.
Ekkor az idő nem szerepel sehol, ami rögtön egy fontos, bár nem meglepő tényre hívja fel a figyelmünket:
Nem számít milyen gyorsan megy végbe az alakváltozás, az elfordulás azonos mértékű lesz.

Részecskefizikában a hasonló matematikai objektumokat "Wilson loop"-oknak nevezik.


A korábbi, S mátrixok erejéig fennálló határozatlanság, --most nem részletezett számítások révén megmutathatóan-- az R mátrixot -ba viszi. Ennek a jelentése könnyen látható, ez ugyanazt a forgatást jelenti, csak elforgatott bázisban, ami az alakú test eltérő reprezentációját jelenti.

Ebből eredően, bár a szögsebesség csak egy adott S mátrix erejéig meghatározott, az intuitívan értelmes kérdésekre, -- azonos formájú testek milyen elforgatásban vannak egymáshoz képest -- a határozatlanság eltűnik, akárcsak a potenciáloké gradiensképzés során.

Ha "értelmetlen" kérdést teszünk fel, -- például két különböző alakú test helyzetét akarjuk összehasonlítani -- akkor az integrál nem egy zárt görbe mentén történik, és R eltérő úton transzformálódik. Ebben az esetben a szabadon megválasztható S mátrixból eredő tagok is maradnak a transzformációban, vagyis az elfordulásra nem lehet egyszerű, egyértelmű (választásunktól független) választ adni.

Ebben az értelemben az elmélet tartalmaz egy, a (fizika modern ágaiban előkerülő) klasszikus mechanikában viszont igen szokatlan filozófiai vonást:
Megmondja, hogy milyen kérdéseknek van fizikai értelme!
Azon mennyiségeket van értelme vizsgálni, amelyek a szabadon megválasztható paraméterektől függetlenek.
Az ilyen objektumokat mértékinvariáns-nak hívják.


(folyt. köv.)

[Zsolt68]

[G.Á]

[G.Á]

Dinamika 3.

Az előzőekben tárgyalt integrálásokat általában igen nehéz kiszámítani. Az egyik fontos kivételt az infinitézimális alak-változás jelenti, most ezzel fogunk foglalkozni.

Tegyük fel, hogy egy adott alakból indulunk ki, és egy infinitézimális hurok mentén megyünk körbe a C* térben.
, így a szögsebesség-komponenseket elsőrendig Taylor-sorba fejthetjük.



Az R mátrixot hasonlóan, a korábban már látott sorbafejtés alapján számíthatjuk ki, a konkrét számolás kicsit könnyebb ha az integrálást idő szerint végezzük



Az integrálást elvégezve, azt vehetjük észre hogy az -ban elsőrendű tagok zérus járulékot adnak, a harmadrendű tagok pedig elhanyagolhatóak a másodrendűek mellett.
Ezt figyelembevéve, a végeredmény némi számolás után:

vagy ami ezzel ekvivalens,
ahol antiszimmetrikus mátrix, az értéke

.
Az ilyen alakú kifejezéseket a nem-ábeli térelméleteknél térerősség-nek nevezik.
Az infinitézimális forgatás tehát ennek a térerősségnek a felületi integrálja az alaktéren körbejárt kis hurkon belül. A térerősség természetesen az alakhoz tartozó.

Fontos tulajdonsága, hogy akárcsak R, a térerősség is mértékfüggetlen mennyiség .

A térerősség a C*-téren értelmezett mezőnek tekinthető, és elvileg minden információt tartalmaz az infinitézimális alakváltozások által indukált forgatásokról.
Így korlátozott körülmények között, elvileg megválaszolható az a kérdés is, hogy milyen alak tekinthető optimálisnak az alakváltozás-indukálta forgathatóság szempontjából.

Az egyik szép aspektusa ennek a formalizmusnak az, hogy az előkerülő matematikai objektumok analógak
az erős- és gyenge kölcsönhatások elméletében előforduló fogalmakkal.
Pontosabban a nem-ábeli mértékelméletekkel, így definiálásra került mértékpotenciál () és egy hozzá tartozó térerősség () .