Alakváltoztató testek mechanikája

[G.Á]

Alakváltoztató testek mechanikája

avagy hogyan esik a macska a talpára, és mi köze ennek az erős kölcsönhatáshoz?

Bevezetés

Vegyünk egy élő, éber macskát. Tartsuk megfordított állapotban, majd engedjük el.
A macska megcsavarodik zuhanás közben, és a lábára érkezik. Ugyanakkor ezt nem a környezetre való erőkifejtéssel (annak ellenerejét kihasználva) éri el. A macska impulzusmomentuma a mozgása során végig nulla.
Ha a macska merev test lenne, ez a fajta mozgás nem volna lehetséges, mivel ekkor feltétlenül szereznie kellett volna perdületet valahonnan.

Ha a test alakja és belső viszonyai megváltozhatnak, akkor azonban képesek lehetnek elfordulásra anélkül, hogy sértenék a perdület-megmaradást.
Elegendő, ha a forgózsámolyon ülő, biciklikerekes híres kísérletre gondolunk hogy belássuk, ez önmagában nem meglepő.

Ami a macska talpra-esését illeti az a következő fő lépésekből áll:

1) A gerincük görbén tartása középen, hogy a testük felső és alsó fele különböző tengelyek körül foroghasson.
2) Az elülső mancsaikat behúzzák, csökkentve a testük felső felének a tehetetlenségi nyomatékát, és kinyújtják a hátsó lábukat, megnövelve a testük alsó felének a tehetetlenségi nyomatékát. Ebben az állapotban a testük felső felét sokkal jobban el tudják forgatni, mint amennyire az alsó feéltestük fog elfordulni az ellenkező irányba.
3) Kinyújtják az első lábaikat, behúzzák a hátsókat, és újra elfordulnak.
Szükség esetén megismétlik a 2) és 3) lépéseket.

Ellentétben a közhiedelemmel, a farok nem játszik lényeges szerepet.


Az alakváltoztatás egy folytonos (a valódi macskáknál így végre nem hajtott) változatát ábrázolja az alábbi animáció:


Az alábbiakban rövid bemutatásra fog kerülni az alakjukat változtató testek kinematikájának és dinamikájának alapja.
A mögötte rejlő matematika "haladóbb" mint ami a merev testek leírásához szükséges, ezenkívül a fizikusok oktatásában általában egyáltalán nem esik szó erről az elméleti mechanika kurzusokban.

Ennek az elméletnek a részletes kidolgozása az 1980-as években történt meg, elsősorban a mikroorganizmusok úszásának megértésére,
lásd Alfred Shapere és Frank Wilczek 1989-es cikkét: https://www.physics.utoronto.ca/~poppit ... reLowR.pdf
Ezt ugyanaz a Frank Wilczek írta, aki 2004-ben Nobel-díjat kapott az erős kölcsönhatás elméletében végzett hozzájárulásáért.

Ez a kapcsolat nem véletlen, elő fognak kerülni az ún. nem-ábeli mértékelmélet bizonyos fogalmai, amikhez általában nem tudunk szemléletes képet fűzni.

(folyt köv)

[Zsolt68]

[G.Á]

Kinematika 1.

Felmerül a kérdés, hogy hogyan érdemes leírni egy változó alakú test alakváltozását.
Lévén hogy (diszkrét vagy folytonos) pontrendszerrel modellezzük a testet, értelmezhető a tömegközéppont.
Ennek transzlációját azonban figyelmen kívül hagyjuk, hiszen az alak nyilván eltolástól független.

Definiáljuk tehát a deformálható testek C konfigurációs terét. Ez a tér tartalmazza a pontrendszer összes elrendezését, ami kielégíti azt a feltételt, hogy a tömegközéppont az origóba esik.

A geometriai forgatások szintén nem változtatják meg egy test alakját, így kiválaszthatjuk C egy alterét.
Most alak-térnek fogjuk nevezni a C* teret, mely elemeit úgy kapjuk meg, hogy C összes olyan elemét, amelyeket forgatás egymásba vihet, C* egy elemének vesszük.
Más szavakkal, bármely két elrendezés, amely azonos alakú, de eltérő orientációjú, két elemet jelent C-ben, egy elemet C*-ban.

Ezt úgy is jelölhetjük, hogy C*=C/SO(3) .

Szemléletes képet az N tömegpontból álló pontrendszerre kaphatunk.
Minden egyes tömegponthoz tartozik egy koordináta, amelyet az egyszerűség kedvéért a tömegközépponttól mérünk. A merev testekkel ellentétben azonban .

A C konfigurációs tér minden lehetséges koordináta kombinációját tartalmazza.
A konfigurációs tér elemeit reprezentálhatjuk egy 3N (vagy végtelen) dimenziós vektorral. Ezt jelöljük index nélküli vektorral.
Az alaktér elemeit -el jelöljük, és úgy kapjuk meg, ha kiválasztunk minden C-beli alak közül valamilyen határozott orientációjút.
Nem számít hogy pontosan melyiket választjuk ki, a lényeg hogy kiválasszunk egyet.

Így mindig létezni fog olyan "R" mátrix, hogy teljesüljön, vagyis C tetszőleges elemét visszakapjuk.
Ez persze trivialitás, hiszen így definiáltuk C*-t.
"R" -et forgatómátrixnak fogjuk a továbbiakban hívni, bár általában végtelen dimenziós. A fenti esetben azonos 3x3-as forgatómátrix blokkokból rakható össze.

Ezen a ponton érdemes megfogalmazni a kérdésünket:
Szeretnénk megérteni, hogy hogyan fordulhat el egy objektum rögzített impulzusmomentum mellett, miközben az alakja megváltozik.
Az egyik alapvető tapasztalatunk, hogy különböző alakú testeket nem tudunk egymásba forgatni, elvégre hogyan is forgathatnánk meg egy lovat úgy, hogy gömb legyen belőle?
Ehelyett első lépésben képzelhetjük úgy, hogy az adott objektum alakoknak egy során "megy keresztül", mielőtt az eredeti alakját veszi fel.
Értelmes kérdés ezután, hogy vajon a kezdeti és végállapotokat összehasonlítva észlelhetünk-e eredő elfordulást?

Ha a testünk alakja megváltozik, az azt jelenti, hogy időtől függő vektor jellemzi.
Ekkor a konfigurációt ki tudjuk fejezni a formulával.

A forgatómátrixokhoz azonban lehet definiálni szögsebességet , amely ezekben az esetben az alakváltozás miatt fog a nullától általában különbözni.

(folyt köv.)

[Macska Bonifác]

[Macska Bonifác]

[Macska Bonifác]

[takacs.ferenc.bp]

Azért sejtem, hogy ennek az elméletnek a legfőbb haszna az űrtávcsövek pozicionálásában rejlik. Így a napelemek energiájával tudhatnak forgolódni.

[G.Á]

[Macska Bonifác]

Nekem nem baj, ha lassan írsz. Én már itt is el vagyok kavarodva. Van az r(t), tartozik hozzá egy R(t), amelyik r*(t)-t csinál belőle..
Ez az R(t) tipikusan egy tipikus függvény, azaz nagyon-nagyon ronda, és semmit sem lehet róla állítani? Te lederiválod, és kapsz belőle szögsebességet?

Ez a szögsebesség függ attól, hogy a C térben hogyan veszed fel az orientációt? Mondjuk ha megadok egy tetraéder --> kocka átmenetet, akkor ez az átmenet elég ahhoz hogy szögsebességet rendelj hozzá, vagy kell adjak egy C --> C* felejtést is?

Esetleg egy rács-paralelepipedon elcsúszását? Egyáltalán mi lehet az r vagy az r(t)? Gyurma macska mozgása? Vagy rudakból, csuklókból és motorokból álló robotcicáé? Vagy valami egészen más?

[takacs.ferenc.bp]