Gemini paradoxon

[Zsolt68]

A hagyományos iker-paradoxon esetén az egyik otthon marad, a másik elutazik és visszajön.
De mivel nincs kitüntetett nyugvó koordináta-rendszer, esetleg 3 vagy több személyt egymáshoz viszonyítva utaztatva összetett paradoxont lehetne kitalálni...



+++
gemini.png
Próbálkozok: Mondjuk a Földről elindul az Orion űrhajó sebességgel.
Útközben visszaküldenek egy teknőcöt sebességgel, hogy ellenőrizzen valamit (A pont).
A teknőc elvégzi a feladatot (B pont) és sebességgel visszatér az űrhajóhoz (C pont).
Végül együtt visszamennek a Földre sebességgel (D pont).
"Hány éves a kapitány?"

[G.Á]

Az ikerparadoxon leghagyományosabb és legegyszerűbb feloldása az, hogy az ikerpár legalább egyik tagjának gyorsulnia kell, aminek a jelenlétét egyértelműen ki lehet mutatni. Ez azt is jelenti, hogy a két (gyorsuló és nemgyorsuló) vonatkoztatási rendszer nem lesz egyenértékű.

1+1 dimenziós esetre viszonylag egyszerű számolás is elvégezhető a speciális relativitáselmélet keretein belül.
Ha jelöli a gyorsuló iker sajátidejét, a a Földön maradóét jelöli, akkor a következő kapcsolatok fogalmazhatóak meg a kettő között:



illetve a


összefüggések írhatóak fel.

Lényegében a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenséget felhasználva (integrálos norma esetére):



Itt az "a" a rapiditás első idő szerinti deriváltja.
Az egészben a nemtriviális rész a második egyenlet. Ezt személy szerint még sosem vezettem le, de majd egyszer megteszem, hacsak addig Laci meg nem előz.

[G.Á]

Pont azért írtam le ezt, mert úgy éreztem hogy Zsolt számára az ikerparadoxon tényleg paradoxon volt, és megpróbáltam egy tömör és általános eredménnyel szemléltetni hogy tényleg lesz különbség az ikerpárok által mért idők között.

És bár speciális esetben ez tartalmazhatja az "egyenes" pályákat (Dirac-delta gyorsulások mellett), de az ilyenfajta specifikációktól függetlenül, és A,B,C,D pontok helyétől függetlenül sem lehet fizikai értelemben " összetett paradoxont" kitalálni.
Persze olyan feladatot lehet adni, aminél sokat kell számolni.

[Zsolt68]

[G.Á]

Igen, szorzás.
csak a szorzás jelét igen ritkán szokás kiírni a fizikai képletekben.


Bár egyesek úgy vélik hogy telihold idején hallani lehet régmúltbeli fizikushallgatók sóhajait a tanszéken, amit azok az előadók okoztak akik elektrodinamikában mindig kiírták a szorzás jelét...X-el.

[G.Á]

[G.Á]

Valóban úgy tűnik hogy sikerült elbonyolítanom a helyzetet, de egyelőre megpróbálok érvelni mellette.
Most legyen c=1.

Az időkoordinátákra:


A térre:


Ekkor a

invariáns.

felhasználásával


A lényeg még annyi, hogy ha , és csak akkor ha a időben azonos helyre tér vissza az ikerpár mint "0" időben, akkor az csak az időkülönbséget fogja tartalmazni.

[Zsolt68]

[Zsolt68]

Tehát az elforgatásnál és is változik.




Mivel ez csak szemléltető bevezetés, itt a függvények konkrét alakjával nem foglalkozunk.
Megjegyezzük azonban, hogy az elforgatásra létezik inverz transzformáció is:


de most ezzel sem foglalkozunk részletesen.

--------------------------------------------------8<--------------------------------------------------

Ha eddig érthető, akkor talán áttérhetünk a relativisztikus transzformációkra:

Most helyett koordinátákkal fogunk számolni.


kozmof_925.pngAz ábrán piros a "fénykúp". Ez most két 45 fokos egyenes, mert a fénysebességet a szemléltetés kedvéért 1-nek vettük. Különben az ábra nagyon torz lenne...
Az x' és t' tengelyeket kék színnel jelöltük, és ezek egymás tükörképei az előre menő fény egyenesére nézve.

A koordinátákat nem lehet egymástól függetlenül számolni:



És létezik inverz transzformáció is:
De nincs kitüntetett koordináta-rendszer, ezért az inverz transzformáció ugyanilyen alakú. Lényegében ugyanaz a képlet:



Mi az, amiben a különböző megfigyelők megegyeznek?
Azt kapjuk, hogy ilyen hiperbolikus elforgatásnál nem a négyzetek összege, hanem azok különbsége lesz invariáns:

illetve

Az előbbi a "tér"-szerű, utóbbi pedig az "idő"-szerű alak.

[G.Á]