Kísérleti fizika

[Zsolt68]

Nagy- és kisérleti fizika (mérnök módra)...
Adott egy fizikai rendszer, aminek bizonyos paramétereit mérjük.
(A mérnök feladata egy ilyen vizsgáló berendezés elkészítése. "Szakértő az nem volt." (c) Muppet Show)
Időfüggvényeket mérünk, de a közöttük lévő összefüggést kell ábrázolni: a gyorsulást és a teljesítményt a sebesség függvényében.
Nem tudom eldönteni, hogy a probléma fizikai vagy matematikai jellegű.

A sebességmérés pontossága 0.1% körül van, viszont az ebből számított gyorsulás hibája időnként nagyságrendekkel nagyobb (így nyilván a szorzat hibája is). Ránézésre mindig pozitív irányban vannak a kiugró értékek.
Felmerült az a lehetőség, hogy ablakfüggvényekkel szűrjük meg a mért értékeket. Ez a módszer nem vezetett eredményre. A véletlen (?)mérési(?) hibákat nem szüntette meg, viszont a két vizsgált mennyiség közötti összefüggést jelentősen eltorzította. Szerintem a mérési bizonytalanságot átlagosással csak statikus mérés esetén lehet kiszűrni.
Felmerült egy másik lehetőség is, 10001 mérési pontra illesszünk tízezred fokú polinomot, ami sokkal rosszabb eredményt adott.

[G.Á]

Gyorsulást általában nem a sebességből kiszámítva mérünk.
A deriválást (vagy inkább differenciahányados képzést) a legegyenesebben alkalmazva az adathalmazainkra, nagy hibákat kapunk, amit nem biztos hogy az átlagolás kellően feljavít.

Egyszerűen csak közvetlenül kell a gyorsulást mérni egy más típusú szenzorral.
Erre léteznek piezoelektromos, vagy kondenzátoros és más megoldások.

[Zsolt68]

[G.Á]

Polinomok illesztése, bár erre nem esküdnék meg, de szerintem a numerikusan stabilan algoritmizálható.

De a polinom-illesztés csak annyira képes, amennyire a neve is utal, és az hogy nagy N-edfokú polinom adott esetben élesen fel/leugrik az utolsó és első adatpontoknál, egyáltalán nem meglepő.

Ellenben polinom-illesztésnek csak akkor van értelme ha előre tudod hogy mit is vársz. Általában persze nem is biztos hogy bármilyen elemi függvény illeszthető.

Szerk: Ez utóbbit nem matematikai értelemben kell érteni. Természetesen illeszthető tetszőleges függvény egy adott adathalmazra, csak általában jóval nagyobb hibával, mint amennyi a mérést jellemzi.

[Zsolt68]

[Zsolt68]

[Zsolt68]

És most egy kis spektroszkópia (színképelemzés).

Legyen három vegytiszta mintánk, és a negyedik ezek ismeretlen keveréke.
Tegyük fel, hogy a vizsgált hullámhossz tartományban a három fémhez egy-egy különböző spektrum vonal tartozik.
Csillagászok számára a hidrogén után már állítólag minden anyag fém.

Vezessük be az alábbi jelöléseket:
: hullámhossz
: az ismert tiszta mintához tartozó színkép vonal intenzitása
: az ismeretlen keverék mintához tartozó színkép vonal intenzitása
: az ismeretlen anyag koncentrációja





Sajnos a spektroszkóp felbontása általában nem elegendő az egyes színkép vonalak feloldásához,
illetve (részben ennek következtében) a különböző anyagok színkép vonalai átfedhetnek.

Legyen az i-edik ismert mintához tartozó j-edik spektrum vonal intenzitása, pedig az ismeretlen mintához tartozó j-edik spektrum vonal intenzitása.
Írjunk fel lineáris egyenletrendszert:

ahol i a minta száma, j pedig a spektrum vonal száma. Összegzés i szerint, vagyis függőlegesen.

Megoldhatnánk az egyenletrendszert, de nekem jobb ötletem van.
Vegyük figyelembe a mérési bizonytalanságokat. Írjuk fel a lineáris regressziót tenzor alakban.

Itt j szerint összegzünk és szerint parciálisan deriválunk.
(A hagyományos regresszió két paraméteres, itt viszont már magasabb dimenziókba tévedtünk.)




Egyszerűsítünk 2-vel




Vezessük be az alábbi rövidítéseket:


ahol az összegzést j szerint végezzük



Ultra voila

[G.Á]

[Zsolt68]

Van egy futószalag, ami hosszúságú és sebességgel mozog.
A bemenetén valamilyen időfüggvény szerint adagolnak tömegű anyagot.
Először egyszerűsítve írom...
A kimenetén elvileg távozik tömegű anyag. Persze vannak komplikációk.
Részben az, hogy a keverés miatt valamennyi ellenkező irányú anyagtranszport is lehet. Ennek az időfüggése ismeretlen.
Továbbá ehhez az alapanyaghoz hozzá kellene keverni segédanyagot, ahol egy adott arányossági tényező (konstans). A probléma az, hogy nem ismert. Továbbá az adalékot nem pont az elején adják hozzá. És sajnos mérni csak a futószalagon lévő anyag teljes súlyát tudjuk.
Valahogy az időátlag inverzét kellene képezni...

(Nem lenne gond, ha ez egy tartályban gyűlne, és akkor a mért súly időbeli differenciálját vehetném. De mivel a szalagról ismeretlen mennyiségű anyag távozik is, így nem tudok vele mit kezdeni.)

[G.Á]

Nem tettél fel kérdést.
Mindenesetre az esetleges keveredés hatását (egyenlőtlenségek csökkenése) legegyszerűbben talán egy simítófüggvénnyel való konvolúcióval veheted figyelembe.
Mindenesetre a bemenetet gyakorlatilag sem lehet túl nagy probléma mérni, ha az időfüggés nem túlságosan változó.
Ha viszont számítógépesen történik a kezelés akkor elvileg ismertnek kell lennie.