Bolygómagra ható felhajtóerő

[G.Á]

Inhomogén gravitációs térben a felhajtóerő jelentősen különbözik a hagyományos képlettől, és elveszíti az érvényességét a híres mondóka, mely szerint:
"Minden vízbe mártott test.
A súlyából annyit veszt.
Amennyi az általa.
Kiszorított víz súlya."

Adjunk becslést a gömbcentrikus nyomáseloszlásban a központtól kicsit elmozduló "R" sugarú gömbre ható felhajtóerőre.
(Ilyen eset állhat fenn a bolygómagokra is, bár fogalmam sincs, hogy a geofizikai könyvek szokták-e ezt tárgyalni.)

Vezessük le, milyen határesetben kaphatjuk vissza az általános formulából a jól ismertet.

Szorgalmi: Írjunk új, jobb mondókát.

[Antares]

Szerintem a törvény, és a mondóka is ugyanaz marad.

[takacs.ferenc.bp]

[Antares]

[Antares]

Bár lehet, hogy itt nem csak arról van szó, hogy a gravitációs tér inhomogén, hanem arról is, hogy függ a folyadékba helyezett testtől is, mert az már összemérhető nagyságú magával a folyadékkal. A kérdés nem teljesen egyértelmű, mert az elején csak annyit ír: inhomogén térben más az Archimédesz törvénye. Továbbra is azt gondolom, hogy magától az inhomogenitástól nem lesz más. Ha más lesz, akkor attól lesz más, hogy a test maga már olyan nagy, hogy befolyásolja ezt a teret. Nem tudom, melyik esetre gondolt a feladat, mert a végén mégis csak gömbcentrikus (gömbszimmetrikus?) térről ír, ami viszont csak akkor jöhet létre, ha a test hatását elhanyagoljuk. Már persze ha a test nem pontosan a középpontban van. De ha meg ott van, akkor nyilván nincs semmilyen felhajtóerő.

[G.Á]

A feladat tisztázása érdekében:


Itt a nyomáseloszlás gömbszimmetrikus, az origója az "O" pont. A homogén gömb alakú test középpontja viszont ettől kicsit el van tolva, "C"-vel jelöltük.

Az eltolás kicsinységének az a szerepe hogy a nyomás, --amely csak "r"-nek a függvénye-- elfogadhatóan sorbafejthető legyen első rendig.

[Antares]

Köszi a tisztázást. Akkor ha jól értem, az az eset a kérdés, amit feltételeztem. Vagyis a gömb már elég nagy ahhoz, hogy a bolygó gravitációját ne lehessen homogénnak tekinteni, de még nem elég nagy ahhoz, hogy ő maga "elrontsa" ezt a gravitációs teret. (Bár bolygómagnyi anyagnál ez már valószínűleg számít.)

Akkor maradok az első válaszom mellett, vagyis hogy Archimédesz törvénye nem változik: A gömbre ható felhajtóerő megegyezik a gömb súlyával*. Az indoklás az Archimédesz-törvény levezetése:

Cseréljük ki a gömböt ugyanarra a folyadékra, ami körülveszi. Ez a folyadékdarab egyensúlyban lesz, és két erő hat rá: a saját súlya és a körülvevő folyadék nyomásából fakadó felhajtóerő. Mivel a folyadék egyensúlyban van, ennek a két erőnek meg kell egyeznie.

Most cseréljük vissza a folyadékot az eredeti gömbre. Ettől a környező folyadék nyomásviszonyai nem változnak meg, így az általa kifejtett felhajtóerő sem változik. Arról viszont az előbb láttuk be, hogy megegyezik a testet helyettesítő folyadék súlyával.

Mivel ebben a levezetésben nem volt sehol kihasználva a gravitáció homogenitása, igaz kell legyen bármilyen inhomogén gravitációban is.

A levezetéshez persze feltételezni kell, hogy a test és az azt helyettesítő folyadék ugyanolyan módon reagál a nyomásra, azaz ugyanúgy nyomódik össze (vagy teljesen összenyomhatatlan), ellenkező esetben a két térfogat határoló felülete nem lenne azonos, és a felhajtóerő is változna.



*Szerk: Nyilván nem a gömb súlyával, hanem a gömb által kiszorított folyadék súlyával

[G.Á]

Én gondoltam hülyeséget korábban, igaz csak próbáltam megfelelő körítést fogalmazni a feladathoz.
Köszönöm a kijavítást, elég triviális hibába rohantam bele.

Ettől függetlenül a feladat elsősorban az, hogy számoljuk ki a felhajtóerő konkrét alakját.
A mellékkérdéseket pedig átfogalmazom úgy hogy: milyen határesetben kaphatjuk vissza az esetet.

Illetve írjunk versikét a felhajtóerő nagyságára úgy, hogy abban kifejezésre jusson a kis kitérésekhez tartozó felhajtóerő explicit alakja.

[Antares]

Hát, nekem számolással is csak az jön ki, hogy az erő mindig pontosan , kis és nagy kitérésekre is. Legfeljebb azt kell tisztázni, hogy melyik helyen érvényes g-t kell használnunk. Leírom, hogy számoltam, így remélhetőleg kiderül, hol a félreértés vagy hiba.

A gravitáció lineárisan nő a középponttól mért távolsággal:



a folyadék sűrűsége, r a bolygó középpontjától mért távolság. A konstanst elnevezem C-vel, hogy kevesebbet kelljen írni:

Így:

A nyomást egy adott r magasságban úgy kapom meg, hogy integrálom a folyadék súlyát r-től -ig, ahol -vel a bolygó sugarát jelölöm:



Most már jöhet a felhajtóerő.

Felhajtó2.jpg (15.14 KiB) Megtekintve 2553 alkalommal.

Erre a gömbre keresem a felhajtóerőt. Az origó a bolygó középpontja, "d" a gömb középpontjának távolsága a bolygó középpontjától, "r" pedig a gömb felszíni pontjainak távolsága a bolygó középpontjától. Az x irányt tekintem "függőleges"-nek, errefelé van elmozdulva a gömb.

A gömb felszínét (y-z) síkokkal elmetszve felosztom kis övekre, amelyeknek az alkotója (piros). Ezek mentén a nyomás állandó. Egy ilyen öv felülete:



Az övre ható erő kiszámításához szigorúan véve körbe kéne integrálni a nyomást az x tengely körül, tehát be kéne vezetni még egy szöget, de ezt elhagyhatjuk, mert a szimmetria miatt az erők y-z irányú komponensei összesen nullát adnak, az x irányú komponens viszont állandó egy öv mentén.

Tehát a nyomásból adód erő x komponense egy teljes övre:



Beírva a nyomást:



Még azt kell megtenni, hogy az r-et ki kell fejezni -vel, hogy azonos legyen a változó. Ez a rajz alapján:



Ezt beírva az előzőbe:



A teljes felhajtóerőt úgy kapom, hogy ezt az erőt integrálom a teljes gömbfelületre, vagyis 0-tól -ig:



Kicsit átrendezve ez nagyon kellemes integrállá válik:



Innen már nagyon könnyen kijön, hogy az első integrál nulla, a második pedig pontosan 2/3. Vagyis:



Azért lett negatív, mert én a rajzon a balra mutató -et vetem pozitívnak, tehát nálam ez a pozitív irány. A negatív eredmény azt jelenti, hogy a felhajtóerő valójában nem balra mutat, hanem jobbra, ami nem meglepő

Szóval az eredményben szépen megjelenik a gömb térfogata, a sűrűséggel együtt pedig a gömbből kiszorított folyadék tömege (). Vagyis:



A Cd viszont nem más, mint a gravitációs térerősség értéke a középponttól d távolságban, hiszen a g-t úgy írtuk fel, hogy . Tehát a középponttól d távolságban lévő gömbre ható felhajtóerő:



És ez pontos eredmény annyiban, hogy a számoláskor nem kellett semmit elhanyagolni.

Na ezzel megvan a felhajtóerő. De hogy ez hasonlítson az Archimédesz törvényére, ahhoz még ki kéne számolni a test helyébe rakott folyadékgömb tényleges súlyát is. A kapott eredmény ránézésre olyan, mintha a felhajtóerő pontosan ez a súly lenne, de ez még nem következik semmiből, egyelőre nem tudhatjuk, hogy inhomogén térben egy ilyen folyadékgömb súlyát tényleg úgy kell-e számolni, hogy az egész tömegét berakjuk a gömb középpontjába. Vagyis van egy hasonló tétel két gömb között ható gravitációs erőre, de nem tudom, hogy az érvényes-e akkor is, ha az egyik gömb benne van a másikban. Szóval a biztonság kedvéért most ki kéne integrálni a gömbre ható gravitációs erőt is. Az viszont bonyolultabb lenne, mert ott már biztos, hogy két változó kell. Ha például a fenti rajzhoz hasonlóan a gömböt felvágom függőleges síkokkal korongokra, akkor is az egyes korongokon belül a tér nem egyforma, még ezeket a korongokat is fel kéne osztani körgyűrűkre.

Viszont amiatt, amit korábban már írtam az Archimédesz törvényének általános levezetéséről, biztos, hogy ez az erő egyben a folyadék súlya is, úgyhogy ez a második, nehezebb integrálás megspórolható.

Szóval a mondókát igazából nem kell módosítani, a felhajtóerő most is a kiszorított folyadék súlyával egyezik meg. Amit a számítás a dologhoz hozzátett, az tulajdonképpen az, hogy hogyan lehet kiszámítani ennek a kiszorított folyadéknak a súlyát gömb esetében. Úgy, mintha a teljes vízmennyiség a gömb középpontjában lenne. Ezt az információt lehet esetleg hozzátenni a mondókához:

Minden vízbe mártott test
a súlyából annyit veszt,
amennyi az általa
kiszorított víz súlya.

Súlyon pedig azt értjük,
amit gömbnél úgy mérünk,
hogy a gömbnek tömegét
középpontjába tesszük
Kisangyalom!

(Elnézést kérek )

[G.Á]

Eltérő úton kezdtünk el számolni, de a végeredményünk azonos.

Én úgy kezdtem el, hogy sorbafejtést helyettesítettem be az integrálásba, és utólag kerestem meg az "a" értékét.

Csak így persze gyökös kifejezést kellett integrálni , amit sorbafejtettem.

Ezzel kijött hogy a felhajtóerő ahol "D" a középponttól való kitérés, és .

Azt viszont nem vettem észre, ami a te gondolatmenetedben szereplő függvényedből jól látható fizikai jelentés, így végülis a te megoldásod jobb.


A sorbafejtésnél én még kiszámoltam magasabbrendűbb korrekciós tagokat is, de úgy látszik hogy ezeknek nem jut fizikai szerep.