Kupolán lecsúszás

[G.Á]

Tekintsünk egy pontszerű testet, amelyik az alábbi ábrán látható geometriai kényszerfelület mentén fog mozogni (legalábbis amíg el nem tud szabadulni tőle).
Kezdetben a test a csúcson helyezkedik el.



Mi a mozgásegyenlet a csúcs közelében?
Mi annak a megoldása?
Észreveszünk-e valami furcsát?
Ha igen, mivel oldhatjuk fel azt?

[G.Á]

Igen, és ezzel a (tetőtől mért) ívhosszal van paraméterezve a magasság is.

Emiatt a feladathoz elegendő egyetlen általánosított koordináta használata.

[G.Á]

A félreértések elkerülése érdekében vezessük be a következő jelöléseket:
- "q" a felület mentén megtett út, a csúcstól mérve. (az ábrán ez "r")
- "z" a magasság.
- "R" a hengerkoordinátákban vett sugár.



A feladatban a részecske végig a felületen mozog, ezért az egyik, (egyszerűbb) származtatása a mozgásegyenletnek az, ha a gravitációs erő felületmenti komponensét vesszük figyelembe minden pillanatban.
Ekkor

Persze ha igényesebbek akarunk lenni, akkor az Lagrange-függvényből indulunk ki.
Észrevehetjük hogy:
Átírva "q"-ra, a Lagrange függvényünk:


Amelyből ugyanaz a mozgásegyenlet származik.

Észrevesz-e valaki valami szokatlant, akár megoldás előtt?

[G.Á]

Annyit súgok, hogy a kezdeti feltételt több megoldás is kielégíti, vagyis nincs unicitás.

Egyébként különös, hogy egyes filozófusok milyen sokat cikkeztek ezzel, és más hasonló problémákkal kapcsolatban, miközben a feloldás elég egyszerű.

[dgy]

Nem egészen értem a problémát. Csak arról van szó, hogy a kezdőpontban nem teljesül a Lipsitz-feltétel, ezért nincs unicitás? Ez fizikailag nem jelent gondot.

dgy

[G.Á]

A feladat lényege valóban csak ennyi lett volna, csak nem bírtam ki, hogy le ne lőjjem a poént idő előtt.
Természetesen a problémát el lehet hessegetni úgy is, hogy fizikailag nem tudunk előállítani végtelenül hegyes objektumokat.

Erre némely filozófus alternatív (pl elektrosztatikai), de azonos mozgásegyenletre vezető feladatokat fogalmaznak meg, és rámutatnak hogy véleményük szerint a különböző problémákat feloldó fizika kifogások különböző, az adott rendszerre vonatkozó "hajszálhasogatás", amiből leszűrik hogy mivel általános elv nem tiltja, ezért a klasszikus fizika nem-determinisztikus és punktum.

Segítsünk a filozófusoknak, és mutassuk meg, hogy a feladat melyik feltevése az, amelyik általában is "nem-determinisztikusság"-hoz vezethet.

[dgy]

[G.Á]

Ajánlani ugyan nem ajánlom, de néhány példát közszemlére teszek:

Ha nem tévedek, ezt a konkrét rendszert már Poincaré is vizsgálta, de a sajátos interpretáció kezdete Norton nevéhez fűződik:



Ez pedig meglepően hosszan elhúzódó, bár termékenynek aligha nevezhető válasz-és viszontválaszokat szült. Egy a sok közül:


További forráskutatáshoz javaslom a wikipédia releváns oldalát:

https://en.wikipedia.org/wiki/Norton's_dome

Itt leginkább a: "there is no consensus among its critics as to why they regard it as invalid."
mondat keltheti fel a figyelmünket.

Szerk: Volt kifejezetten vad módon következtető cikk is, csak azt most nem találom. Amiket belinkeltem, azok tulajdonképpen még tanulságosak is lehetnének.

[dgy]

Kösz szépen!

dgy

[G.Á]