Síkföldi űrexpedicíó

[G.Á]

Síkföldi tudósok egy csoportja műholdat szeretne indítani egy távoli csillag felé. (A síkföldi gravitáció mibenlétével most ne törődjünk.)
Zseniális módon feltalálnak egy olyan hajtóművet, amely az űrben gyakorlatilag örökké, konstans hajtóerőt biztosít.
Dr.Királ sajátos hóbortja miatt azonban a hajtóművet úgy szereli a műholdhoz, hogy a tolóerő ne pontosan a tömegközéppont mögött legyen.

Ha naív módon a csillag irányában indítják el a hajtóművet, mennyire fog aszimptotikusan eltérni (szögben) a pálya az eredetileg tervezettől? Hogyan függ ez a hajtóerőtől, és az 'erőkar' nagyságától?

Végezzük el a határértékszámítást az erőkar nullához való konvergálása esetén!

[Antares]

45 fok?

Ha a hajtóerő és az erőkar elég nagy. És akkor nem függ egyiktől se. Ez eddig lehet jó?

[G.Á]

Ez eddig jó lehet, de éppen az (egyébként elég egyszerű) számolás tud tanulságos lenni.

Egyébként ez a feladat kis átalakítása egy, elméleti mechanika gyakorlatokon szokásosan elvégzendő feladatnak.

[Antares]

[Antares]

Szóval először azt hittem, hogy az lesz az egyszerűbb eset, amikor az erőkar nagyon kicsi, és az aszimmetria alig befolyásolja az irányt. Mert ha nagy az erőkar, akkor elég egyszerű elképzelni, hogy ez a műhold rövid időn belül eszméletlenül bepörög, és onnantól nagyon vadul mozog. De érdekes módon ez lett az egyszerűbb eset.

Szóval ha a hajtómű nem pontosan a tömegközéppont alatt van, akkor lesz egy állandó forgatónyomaték, aminek a hatására a műhold egyenletesen gyorsuló forgásba kezd:



Innen két integrálással könnyen kijön a szögelfordulás:



Ez lesz a tolóerő irányának mindenkori szöge is.

A 0 fokos iránynak a vízszintes x tengelyt választva:




A gyorsulás pedig:




A sebességek pedig ebből integrálással:




Bár a és függvényeket nem tudom analitikusan kiintegrálni, de megtaláltam az ún. Fresnel-integrálokat, amik pont ennek a két függvénynek az inegráljai.




És az a jó, hogy mindegy is, milyenek ezek a függvények pontosan, mert mindketten ugyanoda konvergálnak:



Még azzal sem kell foglalkozni, hogy pontosan hova tartanak, és a paraméterek hogyan változtatnak ezen, a lényeg, hogy ugyanoda tartanak.

Mert ha azt akarom vizsgálni, hogy hosszú idő múlva a műhold mennyire fog eltérni asszimptotikusan az eredeti iránytól, akkor a két sebességkomponenst csak el kell osztani egymással, és a határértéket venni a végtelenben, így pedig minden kiesik:



Vagyis a végtelenbe tartva , azaz az irány 45 fokos.

Ezt elsőre nem gondoltam volna, pedig logikus, hogy amikor a pörgés már nagyon gyors, akkor a műhold már semerre sem gyorsul, hanem nagyjából állandó sebességgel repül, egyenesen. A 45 fok viszont nem jött volna ki számolás nélkül.

[G.Á]

Nagyon jó!
Természetesen arra vigyázni kell, hogy az erőkar elhelyezkedésétől függően a szöggyorsulás pozitív, vagy negatív értéket is felvehet, de a végeredmény valóban az lesz, hogy 45 fokkal térül el (az erőkar elhelyezkedésétől függő irányba), a nulla erőkarú trajektóriához képest.

A Fresnel-integrálok határértéke teljesen analitikusan kiszámolható komplex függvénytani módszerrel (ez a wikipedia-n is megtalálható), de erre valóban nincsen feltétlenül szükség.
A kérdés már csak az, hogy ez a 45 fok hogyan változik a paraméterek függvényében.
Világos, hogy ha az erőkar negatív, akkor -45 fok lesz az eltérülés, szóval valahogyan mégis meg kell változnia az aszimptotikus dinamikának.

[Antares]

[Antares]

Ja értem már. Én azt hittem, az r--> 0 határátmenetkor azt kell vizsgálni, hogy mit csinál a műhold a célpontnál, ha az r-rel nullához tartunk vagy előjelet váltunk. De nem a célpontnál kell vizsgálni, hanem továbbra is a végtelenben.

Akkor a kérdés arra vonatkozik, hogy matematikailag hogy magyarázható az előjelváltás a kapott függvényekből. Mert eddig azt tényleg nem nagyon látni. Főleg hogy az S(x) és a C(x) függvény is páratlan, így a hányadosuk páros. Akár pozitív, akár negatív értéket írok be, az eredmény mindig +45 fok lesz. Értem már. Felhasználtam ezeket a függvényeket, de slendrián módon, és így elvesztettem az előjelek egy részét.

Igen, mert annyira egyértelmű volt, hogy ha a fúvóka az egyik oldalon van, akkor jobbra megy, ha a másikon, akkor balra, hogy fölöslegesnek láttam ezzel bajlódni De igazad van, úgy lenne korrekt. Megpróbálom majd, de nem biztos, hogy rájövök.

[takacs.ferenc.bp]

[G.Á]