Összeomló kémény

[G.Á]

Tekintsünk egy magas, vékony kéményt, ami lassan elkezd oldalra dőlni.
Tudjuk hogy a kémény el fog törni. A kérdés, hogy nagyjából hol várható a törés?

(A feladat régi felvételi feladat volt az MIT-n.)

[srudolf]

Első ábra. Meg kell határozni az erőket amelyek a kéményre hatnak. Poláris koordonátákba vagyok.
A súlyerő adott, homogén vastagfalu csőnek tekintem a kéményt, a súlypontja a közepén van H/2-nél, a semleges tengelyen. Elöszőr foglalkozom az F erővel, ami a talaj visszahatása, ez változik a θ szög függvényében.
A kéményt az egyik végétől fordítjuk el és a külső sugara r1, a belső r2 és a hossza H, a tehetetlenségi nyomatéka:
. A kémény legyen magass, r1<H/1o, mert akkor a sugaras tagok elhanyagolhatóak, hiszen csak 1-2%-ka az egésznek. Tehát a: , képletet használom.
Felírva a nyomaték képletét z tengelyre, azaz merőlegesen az első abrá síkjára:
(1) - ami a szöggyorsulás.
Ebből egy integrálással adódik a szögsebesség négyzete:
,


A gyorsulása a kéménynek az O pont körül:, ahol az i- a két egységvektor. Felírjuk Newton második törvényét, a súlypontra, aminek az r koordinátája r=H/2.
és kifejezzük a súlyerőt is: , akkor ki lehet számolni a visszahatás két poláris komponensét.
Az egyenleteket kibontva kiesnek a r deriváltjai és a két komponens a következő lessz:
(2)
(3)


Kétfajta terhelést kap a kémény esés közben, egy húzást vagy nyomást, ami párhuzamos a semleges tengelyel ezt N-rel jelölöm, és egy nyírást, amit C jelölök. A nyirőerőből adódik egy nyomatéka, ami csavarja a kémény tetejét (illetve a kémény tengelyére minden merőleges síkban is hat), ezt M-el jelölöm. Az ábrán ez a nyomaték vagy az óra irányában hat, azaz pozitív, de fordítva is értelmezhetném.
Ki kell számítani a N és C érőket.
Újra felírom Newton második tőrvényét, ugyancsak a súlypontra. Egy keresztmetszetek keresek a kéményen, ami el fog tőrni, ezért a kémény r hosszára számolom ki a mozgástőrvényt, aminek a tömege mr/H. Így újra kell számolni az 1, 2 és 3 képleteket is.



Ezt kibontva, két egyenletet kapunk, amiből adódik:

(4)
(5)
Megvan a két erő a r és a θ függvényében.
A húzással egyszerű a lenne a dolgom: erő per keresztmetszet (ha tudnám a külső és a belső átmérőjét a kéménynek), a csavarást ki kell számítani. A kémény aljához képest felírom a nyomatékokat (a N és az F erő karja nulla) és kiszámítom a M nyomaték értékét.
A nyomatékok összege, egyenlő a tehetetlenségi nyomaték és a szöggyorsulás szorzatával, de most a hossza a kéménynek r és a tömege mr/H.
Tehát:



Ebből adódik az:
(6)

Most ki kell számolni a feszültséget, de nem ismerjük a kémény külső és belső átmérőjét (és nem szeretnék még plusz változókkal bonyolítani a számítást), a másodrendű tehetetlenségi nyomaték kiszámítására egy egyszerűsítéshez folyamodok. Feltételezem, hogy kémény keresztmetszete egy :a: oldalú négyzet, aminek a területe :A:=a és a másodrendű teh. nyomatéka, merőlegesen a kémény semleges tengelyére: J=a/12.
Keresem ezt a keresztmetszetetm ahol el fog törni úgy, hogy felírom a feszültség egyenletét egy síkra, ami r távolságra van a kémény aljától.



Megjelenik +- mert a csavaró nyomaték lehet pozítív az óra irányával, vagy fordítva is akkor negatív.
Ezt az egyenletet egy konkrét r-re nem tudom megoldani, hiszen ott van a szög is változónak. Egy kis módósítással tudom ábrázolni grafikusan és megkeresni azokat a síkokat, ahol a feszültségek nagyok.
Ehhez át kell alakítani a 6. egyenletet, kifejtem és szorzok a/mg-vel így kapok egy függvényt r/H változóval, ami arányos a feszültséggel és lehet grafikusan ábrázolni. Az H/a aránynak 24-et vettem, a valóságban ez 24 és 6o közé esik.
Az csak egy arányossági tényezője a feszültségnek, de így az egyenlet bal oldala mértékegység nélküli és az egyenlet jobb oldala is az.

Második ábra: a függvényt ábrázolva a görbék az azonos θ szöghöz tartozó feszültségekkel arányosak, de a lényeg az, hogy a kémény el fog törni valahol a r/H arány 0.3 és 0.45 értékei közé eső keresztmetszetén. A barna pontok jelölik a külömböző szögekhez tartozó maximális feszültségeket. A ábra alsó részén a naracs görbék, azt az esetet ábrázolják, amikor valamiért a csavarás az óra járásával ellenkező irányba hat a kéményre.

Végezetűl, Boldog Új évet, sok-sok pénzt és egézséget kívánok minden kedves fórumtagnak.

[G.Á]

Természetesen a mechanikai törések vizsgálata igen bonyolult, és srudolf megoldásával összhangban (nemlineáris) rugalmasságtani fogalmakat kell használni.
Ha figyelembevesszük a feszültségek hullámszerű terjedését is, az elvezet további érdekes kérdésekhez, mint hogy miért két helyen törik el a spagetti-tészta, de itt most csak egy kvalitatív vizsgálat volt a kérdés.

A forrásom alapján az elfogadott válasz kevésbé precíz, így most először azt ismertetem:
Legyen a kémény "L" hosszúságú. Történjen a törés "L-x" (egyelőre ismeretlen) magasságban. Osszuk fel a kéményt két részre itt.
A törési ponthoz viszonyítva, írjuk fel a felső részre vonatkozó forgatónyomatékot.
Ennek nyilván pont akkorának kell lennie, hogy a felső rész együtt tudjon mozogni a kémény alsó felével.

Itt az egyik forgatónyomaték nyilván a felső rész saját súlya, a másik a rugalmassági erőkből ered.
A felső fél tehetetlenségi nyomatéka
A nehézségi erőből eredő forgatónyomaték triviálisan kiszámolható, a rugalmas erőből eredő forg.nyomaték így:


A szöggyorsulás az egész kéményre vonatkozik:


Ennek a visszahelyettesítésével:

Ez jól láthatóan a rúd végeinél nulla lesz, nem túl meglepő módon.
A törésre ott számítunk, ahol az ebből származó feszültség maximális, ami nyilván ott lesz, ahol ez a forgatónyomaték maximális.
Szélsőérték-számítást elvégezve, , amelyből a két érték közül az lesz a jó megoldás.
Vagyis ez alapján a számítás alapján, nagyjából L-2/3L=L/3 magasságban várható a törés.

A nyomófeszültség elhanyagolhatósága mellett szerintem a kémény vékonysága szólhat, bár hogy ez mennyire realisztikus azt nem tudom.

srudolf megoldásával a végeredmény kvalitatívan egyezik.
Megjegyzek annyit, hogy a 3) és 4) egyenlet között a "P" az feltehetően "C" akar lenni. A 4) és 5) egyenletekig ellenőriztem le a megoldást, itt viszont nem győztem meg magamat az együtthatók pontosságáról. Jobb lenne, ha ezen egyenletek levezetését is felírnád.

Ugyanakkor a feszültségi tenzornak itt most két különböző elemét tekintetted, amit egyszerűen összeadni szerintem nem elfogadható, vagy legalábbis szükséges volna indoklás. Persze lehet hogy én vagyok hülye, de szerintem ha több feszültség együttes hatását tekintjük, akkor a rugalmas energiát kell felírnunk a feszültségekből, és ennek a maximumát keresni.

[srudolf]

Köszönöm G.Á., hogy megnézted.

1. A P tényleg C kell legyen.


2. (4), (5) egyenletek.


Ez az egyenlet a súlypontra van felírva, egy r hosszúságú kéményre, aminek a súlypontja r/2-re esik.
Tehát gyorsulás képletébe r/2 kell behetesíteni:

Valamint a szöggyorsulás és a szögsebesség négyzete is változik:



Kibontva és behelyetesítve kapunk két egyenletet két ismeretlennel:



Az (r) egyenlet rendezése:


Használom:
Aztán kiemelem a tagot.
Ebből adódik:
(4)

A (theta) egyenlet rendezése:

ezzel nincs mit kezdeni, csak ki kell emelni a közös tagokat:
(5)



Úgy gondolom, hogy nem lehet elhagyni a húzó vagy nyomófeszültséget, a valóságban egy téglakémény elég masziv építmény. Azért foglalkoztam a feladattal, mert tudvalevő, hogy kizárólag téglából, 4 emeletesnél magassabb épületet nem lehet építeni (max. 2o méter alapostól alápincézve), mert a tömör tégla a saját súlyától elszakad az alapnál. Ha körülnézel pl. Budapesten, a körútakon az összes épület amit a 19. század elejétől építettek max. 4 emeletes, noha az alapnál a falazat 1oo-11ocm széles és a tető alatt (a talpszelemennél) csak 3ocm széles. Általában a pince és a földszint feletti födém árkádos és süvegboltíves megoldás, aztán következő két födém fagerendás, ami egy fagerendákból készült koszorú rendszerre van feltámasztva. Ez a koszorúrendszer az emeletek közötti falazatvastagság külömbözetére van feltámasztva. A tömör falazásnál a malter nyomószílárdsága sokkal kevesebb mind a tégláé, talán a hatoda, ez a gyenge láncszeme a falazatnak. Azt tapasztaltam, hogy pl. egy nagyobb nyilású épületnek, aminek magass a tetőszerkezete (tipikusan nyeregtető), a kéményei lehetnek 8 méteresek is, a padlás födémétől mérve. Ezeket lebontani bonyolúlt. A módszer az, hogy fentről lefele levésik a téglákat soronként, mivel nagyon erőss malterből falazták a kőművesek annó.
A gond az, hogy az ezen épületek környezetében forgalmasak lettek az utak, azoknak az alapjai tele vannak szerelésekkel és a közszállítási autóbuszok, villamosok nehezek. Ezek rezgéseket közvetítenek a régi épületekre és természetesen ezekre a kéményekre is. A kémények rezgései gyengítik a tartófalakat.
De, hogy egy 2oométer magass falazott kéményt hogy áll meg, az nagy kérdés. Valószinüleg klinkerből van építve, amit 2ooo fok felett égetnek ki és nagyon speciális malter használtak.

Az általad kiszámított L/3-as törési keresztmetszet nem felel meg a valóságnak.
Pár videót megnéztem a netten a kémények bontásáról, L/4 - L/5 között törnek el, a theta szög 3o-4o fok értéke körül. Az én grafikonom sem nagyon stimmel.
https://www.youtube.com/watch?v=6YXF-I3Ys1E
Itt szerintem 4o fok körül megtörténik a törés, csak idő kell neki, hogy meg is nyíljon.

[G.Á]

[G.Á]

Valamennyire utánanéztem, a repedések akkor tudnak növekedni, ha a "rugalmassági energia csökkenésének" mértéke egy adott (a repedés paramétereitől függő) kritikus értéket meghalad.
Itt most a "rugalmassági energia csökkenésének üteme" a repedés felülete(vagy hossza) szerinti parciális deriváltat jelenti.
Megjegyzendő, hogy a szinte mindig jelenlévő plaszticitás a kritikus értéket akár egy nagyságrenddel megnövelheti.


https://en.wikipedia.org/wiki/Strain_en ... lease_rate

Egyébként meglepően bonyolultnak tűnő számításokat is el lehet végezni analitikusan, a kritikus értékre vonatkozóan

https://en.wikipedia.org/wiki/J-integral
https://en.wikipedia.org/wiki/Stress_intensity_factor

Biztos vagyok benne, hogy igen szép feladatot meg lehet fogalmazni ezekkel kapcsolatban, de mivel itt nem volt megadva semmilyen rugalmassági modulus, ezért ezt a feladatot lezártnak tekinthetjük.

[mmormota]

[G.Á]

"Qualifying exam question" volt, aminek most utánanéztem, és bár nem tudnám lefordítani, de úgy tűnik hogy PhD-soknak van.

Ezt most akkor eltévesztettem, de az az igazság hogy azt az egyszerű (és ténylegesen infinitézimálisan vékony esetre egzakt) megoldást amit felírtam, meg tudja oldani egy jobb középiskolás.
Legalábbis akik a nemzetközi fizikai diákolimpia feladatain gyakorolnak.