Algebrai geometria, topologia

[20 karakter lehet?]

Két kérdessel indítom a témát:
Valaki el tudná-e magyarázni/tudna-e forrást ajánlani a kanonikus nyaláb megértéséhez?
Hogyan lehet meghatározni, hogy egy sokaság lefedhető-e egyetlen koordináta-leképzéssel? Van köze ennek a fundamentális csoporthoz?

[dgy]

[xyz]

Fordított ellenpélda is van: egy középen lyukas körnek nem triviális a fundamentális csoportja, mégis térképezhető a síkon.

Egy negatív eredmény: Semmilyen n-dimenziós zárt sokaság (tehát pl. a tórusz, Klein-kancsó, akárhány dimenziós gömbfelület) nem ágyazható be az n-dimenziós térbe.

Pozitív eredmény: minden n-dimenziós sima sokaság beágyazható a 2n-dimenziós térbe. https://en.wikipedia.org/wiki/Whitney_embedding_theorem

A 2-dimenziós zárt felületek tehát beágyazhatóak -be, de nem ágyazhatóak be -be. Az, hogy 3 vagy 4 dimenzióba ágyazhatóak-e be, attól függ, hogy irányíthatóak, vagy sem.

[liederivative]

Célszerűbb volna izometrikus, távolságtartó beágyazásról beszélni (hiszen az az "igazi"). A topologikus sokaságokon a metrika mindenféle lehet, meglepő ezért, hogy ha van egy metrika, akkor van olyan elég sok dimenziós euklideszi tér, amelyben a(z n-dimenziósan definiált) Riemann-sokaságon lévő metrika éppen a nagy tér euklideszi metrikájának megszorítottja a beágyazott sokaságra.
Gondoljunk bele, mennyire meglepő ez a tétel: n+1-dimenziós tér euklideszi metrikája nem adja vissza az n-dimenziós Riemann-sokaság metrikáját, nincs beágyazás, de a dimenziószám növelésével ez lehetségessé válik.
https://en.wikipedia.org/wiki/Nash_embedding_theorem

Azért is lényeges ez, mert az általános relativitáselmélet pszeudo-Riemann modelljeit praktikusan mindig "rádefiniáljuk" egy Riemann-sokaságra (ahogyan a Minkowski-geometriát négydimenziós euklideszi térre).

Ha absztrakt topologikus sokaságnak tekintjük az Univerzumot, az teoretikusan helyesnek tűnik (tehát, hogy a téridő absztrakt sokaság), de matematikailag lehetséges egy óriási, számunkra - fizikai észleléssel - talán hozzáférhetetlen térbe ágyazott Univerzummal dolgozni.

El sem tudom képzelni, hogy milyen fizikai kísérlettel, kozmológiai megfigyeléssel dönthető el ez a beágyazási kérdés - vagyis, hogy a téridő beágyazott topologikus sokaság-e.

Különben több matematikai trükk vagy ekvivalencia van a matematikai fizikában, ami elméletileg probléma lehet. Gondoljunk a Wick-forgatásra; képzetes idővel Lorentz-transzformáció, vagy euklideszi tér - sokszor mindegy.

[20 karakter lehet?]

A vektorialis szorzas 3D-ben a ket vektor kulso szorzatanak Hodge-dualisa?

[liederivative]

[20 karakter lehet?]

Ertem. Eppen a magasabb dimenzios, tengely koruli forgatasokat nezegettem, amikor ez ezembe jutott. Arra gondoltam, hogy n dimenzioban a forgatas tengelyet egy n-2 rangu multivektor adja meg: R.
A forgatas sikjat kifeszito vektorokat kerestem. Az egyik megvolt ('b', a forgatando vektor R-re meroleges resze), a ra meroleges pedig *(RAb)

[liederivative]

[20 karakter lehet?]

Koszonom a valaszt. Azt olvastam, hogy a kanonikus nyalabon van egy n-forma, ami megadja pl az n db vektor által kifeszitett paralelopipedon terfogatat.
Ezt csak kiegeszitesnek szantam.

[liederivative]