Időtükrözés aszimmetria klasszikus konzervatív rendszerekben

[G.Á]

Klasszikus fizikai rendszereket vizsgálva, feltehető a kérdés, hogy mikor garantált a T-szimmetria, vagyis mikor nincs kitüntetve az idő iránya.
Konzervatív (potenciálos) rendszerekre hagyományosan úgy tekintettek mint az időtükrözésre szimmetrikus dinamikai rendszerek példányaira.

Ha viszont megszámlálhatatlanul végtelen sok szabadsági fokú a rendszer, ez a szimmetria expliciten elveszik.
Szépen végigszámolható példa a harmonikus oszcillátor végtelen sok harmonikus oszcillátorhoz gyengén, és lineárisan csatolva. Ekkor a lineárisan csillapított oszcillátor dinamikáját kapjuk meg eredményül.

A kérdés hogy miért tűnt el a szimmetria?
Milyen szükséges és elégséges feltétel fogalmazható meg rá?
Vajon a klasszikus térelméletek, vagy pl: a hidrodinamikai Euler-egyenlet rendelkezik-e ezzel a szimmetriával?

[persicsb]

"Ha viszont megszámlálhatatlanul végtelen sok szabadsági fokú a rendszer, ez a szimmetria expliciten elveszik. "

Van olyan rendszer, ami valóban megszámlálhatatlanul végtelen sok szabadsági fokkal rendelkezik?

[G.Á]

A szabad elektromágneses térnek a pillanatnyi ismereteink szerint kontinuum-sok szabadsági foka van.
Persze elképzelhető, hogy létezik olyan megszámlálhatóan végtelen tagú bázis, amiben reprezentálni lehet, de ebbe most ne menjünk bele.
A kérdés itt expliciten a matematikai modelljeinkre vonatkozik.

[takacs.ferenc.bp]

Ahogy hallotttam, a klasszikus 3 test probléma sem oldható meg analitikusan. Vajon bizonyos-e, hogy 3 test esete időben megfordítható? Vajon ha egy doboz egyik felébe zárt ideális gáznál a felező ajtót eltüntetjük, előállhat-e ismét a kezdőállapot? (Elégséges, ha a doboz egyik fele kiürül). Nem ismerek e kérdésekre választ.

[G.Á]

Az ún. háromtestprobléma általánosan nem oldható meg analitikusan, bár vannak olyan speciális kezdeti feltételek, amelyek esetén mégis. (pl: azonos tömegek szabályos háromszög csúcsai mentén elhelyezkedve forognak), illetve ha az egyik test tömege elhanyagolható a másik kettő mellett (bár ez utóbbi esetben lehetnek problémák).

Az analitikus megoldhatóságnak viszont semmi köze nincsen az időtükrözés esetleges szimmetriájához.
A háromtestprobléma éppen rendelkezik ezzel a szimmetriával.
A másik kérdésedre a rekurrancia-tételek adhatnak választ.

[Antares]

Én még ott tartok, hogy a végtelen sok harmonikus oszcillátornak miért van megszámlálhatatlanul végtelen sok szabadsági foka. Egy-egy oszcillátornak van mondjuk 2, 4 vagy 6. És az egyes oszcillátorokat sorban végig lehet járni, 2D-ig legalább is biztosan, de valószínűleg 3D-re is vannak módszerek. Ez nekem még megszámlálhatóan végtelen.

Szóval az állítás azt mondja, hogy ha veszem egy ilyen végtelen rácsnak egy valamikori állapotát, és megfordítom benne a sebességek irányát, akkor nem fogok visszajutni a kiindulási állapothoz, amikor pl. csak az egyik oszcillátor rezgett?

[takacs.ferenc.bp]

[Antares]

[G.Á]

Példának okáért tekintsük a következő Lagrange-függvényt:



Megállapíthatjuk, hogy ez egy konzervatív rendszert definiál.
A belőle származtatható mozgásegyenletek:
=0
=0

Ha, és amennyiben a szummázás helyett integrálást veszünk, vagyis kontinuum sok szabadsági fokú esetet vizsgálunk, továbbá kikötjük, hogy a együtthatók kicsinyek (elég kicsik ahhoz hogy perturbációnak lehessen tekinteni a hozzájuk tartozó tagokat), akkor egy közepesen hosszú számolás után azt kapjuk, hogy:


alakú lesz a megoldás. Megjegyzem, hogy a tagok időfejlődése is hasonló lesz.

Ez a megoldás egyértelműen nem T-szimmetrikus.

[Macska Bonifác]