10. kérdés - madzagos inga

[dgy]

Egy újabb köteles feladat, ezúttal nem relativisztikus, csak sima klasszikus feladat.

Egy adott hosszúságú madzagon pontszerű test lóg (a szokásos földi gravitáció hatása alatt). Az alsó egyensúlyi helyzetben megadott vízszintes kezdősebességgel meglendítjük. (Súrlódás, légellenállás nincs.)

Ha a kezdősebesség kicsi, a test az alsó helyzet körül lengéseket végez. Ha a kezdősebesség nagy, a test annak irányában folyamatos körmozgásba kezd, közben végtelen sokszor áthalad a kör legfelső pontján is.

Van viszont a kezdősebességnek egy olyan intervalluma, amikor a mozgás során egyszer csak ellazul a madzag. Meghatározandó ez a sebességintervallum.

A második kérdés: mi történik a testtel a madzag ellazulása után? Milyen mozgást fog végezni?

A harmadik kérdés: meddig tart ez az újfajta mozgás? És mi történik utána?

dgy

[mmormota]

A test körpályán mozgása során a mozgási energia egy része fokozatosan helyzeti energiává alakul úgy, hogy az össz energia változatlan marad.
A test akkor válik el a körpályától, ha a centrifugális erő kisebb mint az mg gravitációs erő radiális komponense.

Mivel az függőlegeshez képest +-90 fokban a gravitációs erő radiális komponense is kifelé mutat, az alsó félkörben nem válik el.
Tehát ha a lökéssel adott mozgási energia kisebb vagy egyenlő mint egy sugárnyi emelkedés helyzeti energiája, akkor nem válik el a körpályától.
m*v^2/2<=m*g*r
v<= sqrt(2*g*r)
ezzel megvan az alsó határsebesség.

Ha túlmegy a test az r emelkedésen a körpályán, akkor a sebessége az emelkedés miatt monoton csökken a felső pontig, így a centrifugális erő is monoton csökken. Az mg radiális komponense pedig monoton nő. Emiatt ha elegendő sebesség marad a felső ponton ahhoz hogy a centrifugális erő nagyobb vagy egyenlő legyen mint a súly, akkor sehol sem válik el a körtől a test. Ebből kiszámítható a felső határsebesség, ami felett körözni fog a test.
Legyen vf a kör felső pontján a sebesség.
A centrifugális erő legyen épp egyenlő mg-vel ami itt a súly radiális komponense:
m*vf^2/r = m*g
itt a mozgási energia m*vf^2/2 = m*g*r/2
ehhez alul hozzáadódik 2mgr helyzeti energia, így alul az energia:
m*v^2/2 = m*g*r/2 + 2*m*g*r
v = sqrt(5*g*r)

1. kérdésre: Tehát ha sqrt(2gr) < v < sqrt(5gr) akkor a test elválik a körpályától, különben ha v<=(2gr) akkor leng, ha v >= sqrt(5gr) akkor köröz.

2. kérdésre: Ha a sebesség a két határérték között van, akkor a 90 fokon túl valahol a test elválik a körpályától és a ferde hajításnak megfelelő parabola pályára áll.

3. kérdésre: a parabola valahol metszi a kört, ahol a kötél megfeszül. Hogy itt mi történik, az olyan paraméterektől függ amik nincsenek megadva.
Pl.
- a sebesség radiális komponense miatt megnyúlik a kötél és elszakad
- nem szakad el, rugalmasan visszarántja a testet, másik parabolán újabb becsapódásig megy, megint pattan, ha ideálisan rugalmas a kötél végtelen rugóállandóval akkor lehet olyan is hogy szimmetria okból harmadszorra pont nulla radiális sebességgel éri el a kört és megint beáll a körre, aztán ez ismétlődik (elválik valahol a felső negyedben, parabola lefelé, pattan, új parabola laposabb szögben, pattan, felmegy és besimul a körbe az ellentétes oldalon mint ahol elvált a körtől
- ha a kötél nem ideálisan rugalmas akkor a súrlódás a pattogás során elviszi a radiális komponenset, és lecseng a pattogás, beáll egy +-90 foknál kisebb lengésre
- ha a kötél ideálisan rugalmas de a rugóállandó véges, akkor piszkos bonyolult mozgást végez amit nem szeretnék gyalog számolgatni, szimulálni való feladat

[dgy]