Relativisztikus elektrodinamika

[Auróra]

Nem igazán ismert az általános irányú Lorentz-transzformációt:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation

Leginkább csak az x-irányú Lorentz transzformációval való térerősségtranszformációkat mutatják be:
http://physicspages.com/2013/03/26/elec ... ormations/

E'x=Ex
E'y=gamma*Ey-gamma*beta*Bz
E'z=gamma*Ez+gamma*beta*By
B'x=Bx
B'y=gamma*By+gamma*beta*Ez
B'z=gamma*Bz-gamma*beta*Ey

x-irányú Lorentz trafónál a sebességnek csak x-irányú komponense van: beta=(beta,0,0)
Az elektromágneses térerősségtenzort két oldalról be kell szendvicselni a Lorentz-transzformáció mátrixával, illetve annak transzponáltjával:
F'=L*F*L^(-1) L(T)=L^(-1)

Sikerült magamnak bebizonyítanom, hogyha az általános irányú Lorentz-transzformációval nézem meg a térerősségek Lorentz-transzformációját, akkor a következő vektorösszefüggéseket kapom:

E'=gamma*E+gamma*betaxB-(gamma-1)*beta*(beta*E)/beta^2
B'=gamma*B-gamma*betaxE-(gamma-1)*beta*(beta*B)/beta^2

Nézzük csak a -(gamma-1)*beta*(beta*E)/beta^2 kifejezést.
-gamma*beta*(beta*E)/beta^2 tag az elektromos térerősség relativisztikusan transzformálódott sebességirányú összetevőjét kivonja a gamma*E tagból, így csak a sebességre merőleges kifejezés marad benne. +1*beta*(beta*E)/beta^2 pedig a transzformálatlan sebességirányú térerősséget adja. Ugyanez igaz a mágneses térerősség transzformációja esetén is.

Vagyis
E'(merőleges)=gamma*E(merőleges)+gamma*betaxB
E'(párhuzamos)=E(párhuzamos)

B'(merőleges)=gamma*B(merőleges)-gamma*betaxE
B' (párhuzamos)=B (párhuzamos)

Vagyis a térerősségek általános irányú Lorentz-transzformációja esetén csak a térerősségeknek a sebességre merőleges komponensei transzformálódnak, de a sebességre párhuzamosak nem.
Lorentz-erő relativisztikus kifejezése is megjelenik, aminek nemrelativisztikus alakja a jól ismert: F=q*E'=q*gamma*(E+betaxB)~
q*(E+betaxB)

Sokszor úgy tárgyalják az elektrodinamikát, hogy vannak a Maxwell-egyenletek és a Lorentz-erő. Nagyon örülök, hogy bizonyosan tudom, hogy az általános relativisztikus Lorentz-erőt is kiadják a Maxwell-egyenletek, csak ehhez a Maxwell-egyenletrendszert (vagy egyszerűbben az elektromos térerősségtenzort) az általános irányú Lorentz-transzformációval kell áttranszformálni, és kihámozni, hogy mik lettek az új elektromos és mágneses térerősségek. (hogy az egyenletrendszer kovariáns maradjon)

És az x-irányú Lorentz-trafó komponenseit úgy könnyű mondjuk egy relatvizsgára könnyen megjegyezni:
Ex'=gamma*Ex+gamma*(betaxB)xkomp-[(gamma-1)*beta*(beta*E)/beta^2]xkomp
Ey'=gamma*Ey+gamma*(betaxB)ykomp-[(gamma-1)*beta*(beta*E)/beta^2]ykomp
Ez'=gamma*Ez+gamma*(betaxB)zkomp-[(gamma-1)*beta*(beta*E)/beta^2]zkomp

Bx'=gamma*Bx-gamma*(betaxE)xkomp-[(gamma-1)*beta*(beta*B)/beta^2]xkomp
By'=gamma*By-gamma*(betaxE)ykomp-[(gamma-1)*beta*(beta*B)/beta^2]ykomp
Bz'=gamma*Ez-gamma*(betaxE)zkomp-[(gamma-1)*beta*(beta*B)/beta^2]xkomp

már csak azt kell a beta vektorba helyettesíteni, hogy beta=(beta,0,0)
és akkor kiadódnak az x-irányú Lorentz-transzformációs egyenletek
E'x=Ex
E'y=gamma*Ey-gamma*beta*Bz
E'z=gamma*Ez+gamma*beta*By
B'x=Bx
B'y=gamma*By+gamma*beta*Ez
B'z=gamma*Bz-gamma*beta*Ey

[Banzai]

Ha a földi halandó számára is érthető formában akarnád kifejezni, hogy lehetne megfogalmazni ennek a lényegét? (már ha meglehet)

[Auróra]

[Banzai]

[Auróra]

[dgy]

[Auróra]

Köszönöm DGy! Olvastam Einsteinnek egy könyvét, amiben a speciális relativitáselméletet tárgyalja, és bevezető szinten az általános relativitáselméletet. Minden teljes lett, mindent értettem, csak megemlítette, hogy az x-irányú Lorentz-trafóvól úgy kapjuk meg az általános irányút, hogy csak elforgatjuk a tengelyt...
Csak, hogy ezt a forgatást, hogyan kell elvégezni, azt nem írta. Simonyi könyvében pedig láttam, ahogy a Maxwell-egyenletek Lorentz-trafóval szembeni invarianciájából kihozza a térerősségek Lorentz-trafóját. De csak az x-irányú Lorentz-trafó esetére. Látszódik rajta, hogy a Lorentz-erő jelent meg, ha a képletben a sebesség x-irányú. Oké, de ennyi neki elég volt, hogy térerősségek általános irányú Lorentz-trafójának eredményére E'=E+vxB és B'=B-1/c^2 vxE képleteket felírja... De hogy???.... Ezek miatt muszáj volt kiszámolnom, mert miért higgyem el ennyiből? Jackson: Klasszikus elektrodinamikában pedig
E'=E+vxB-gamma^2/(gamma+1)*beta*(beta*E) volt írva, ami rossz eredmény. Nem értem honnan vette a gamma^2/(gamma+1) kifejezést. (gamma-1)/beta^2-nek kellene lennie.
Nagyon sokszor kényszeresen nekiálltam, és csak szombaton jutottam eredményre, amikor láttam, hogy a nagyon sok durva kinézetű tag milyen könnyen kiesik, és főleg a mágneses térerősséges tagoknál kellett trükközni. Az segített csak, hogy tudtam, hogy a beta*(beta*térmennyiség) kifejezést kellett keresnem. Pl. betax*Bx+betay*By+betaz*Bz kifejezést szerettem volna kiválogatni, és nem volt betay*By sehol sem, és akkor beta^2-es tagokban kellett ráismernek a iányzó betay kifejezésre, mert beta^2-betax^2-betax^2=betay^2.
Igyekszem ezeket a feladatokat megoldani.

Landau sorozatból csak a 4-est tanultam, mert abba nagyszerűen voltak leírva a térelméleti cuccok. Más témában inkább a Mai Fizika könyvsorozatot olvastam.

Emellett amit szeretnék még kiszámolni, hogy a fi^4 potenciálban való mozgásnál a mozgási energia növekedésével a rezgés egyensúlyi helye valóban úgy változik, mint a másodrendű fázisátalakulás hőmérsékletfüggő fi^4 potenciálja.

[dgy]

[simplyGuest]

[Auróra]