Dávid Gyula kérdések

[liederivative]

[liederivative]

Bár formailag helyes, amit írtam, úgy éreztem, nem elég érthető, mert előzetes ismereteket kíván.
Ezért végiggondoltam még jobban a spontán szimmetriasértést, jegyzeteimet is megnéztem, és a következő mondható "fapadosan".
A leírás nem teljes, de legalább mutatja, hogy matematikailag hogyan fest.

Kétféle megközelítés, mindkettőről volt szó.

1. Említettem, hogy a vákuumállapot "alapállapot" a térelméletben. Ez az állapot a Fock-térben: |0>.
A Phi téroperátorokra
Phi|0>=!0. (a felkiáltójel azt jelenti, hogy nem egyenlő).
Másrészt <0|Phi|0>=0 többnyire(!) már igaz. Szavakkal, a "vacuum expectation value" ("várható érték", VÉ) sokszor 0.
Informálisan, a vákuum az az állapot, amelynek az energiája a legalacsonyabb.

A minimális energiaszint nem mindig 0. Elképzelhető, hogy a lehetséges kölcsönhatásokhoz tartozó Fock-terekben néha <0|Phi|0>=k, máskor <0|Phi|0>=-k.
Ez azonban fizikai ellentmondás, mert csak egy állapot lehet a vákuum.

Ha ez a helyzet áll elő, azt mondjuk: spontán szimmetriasértés történik.

Még rövidebben: ha pl. a QCD-ben vesszük az SU(3) csoportot, és a vákuumállapot az SU(3)-kölcsönhatásokra nézve a fenti jelenséget mutatja, akkor spontán szimmetriasértés van.
Jelenleg ennél nem tudom egyszerűbben.

(Még annyi megjegyzés ide kívánkozik, hogy ha a minimum energia nem 0 VÉ-nél van, akkor a kvantálandó teret módosítjuk; kompenzálni kell azt a vákuumbeli VÉ-vel, és az operátorokat a módosított térhez rendeljük. De ehhez definiálni kellene ezeket a tereket, így kihagytam.)

2. Ami a rendparaméteres általános tárgyalást illeti, azt is sikerült rövidítenem.
Hagyjuk most az energiát (a Patkós-Polónyi nem ezt teszi).
Arról van szó, hogy van egy rendszer, amely viselkedése reményünk szerint invariáns egy G szimmetriacsoporttal szemben (vagyis G hatására a rendszeren igaz bizonyos tulajdonságok nem változnak), állapotait pedig egy paraméter írja le, különböző értékekkel.
Kiderül azonban, hogy ez nem egészen így van, mert ha a paraméter értéke valahogyan változik (= a rendszer másik állapotba kerül), akkor G megszűnik szimmetriacsoport lenni.
A spontaneitás abban van, hogy a paraméter értéke bármi lehet; a sértés pedig abban van, hogy ugye sérül G szimmetriája, mert a rendszer az adott paraméter-állapotban nem mutatja a G-hez tartozó tulajdonság-invarianciát.

Ez nagyon egyszerű; azért volt olyan sok idő rájönni, mert királyi, könnyen követhető utat szerettem volna ettől a példától a vákuum-értelmezésig. A királyi út lehet az, hogy a rendparaméter egyik értékéhez tartozó rendszerállapot az, amelyet vákuumállapotként értelmezhetünk, ha a rendszerre ez értelmes.
A spontán szimmetriasértésért 2008-ban Nobel-díjat kaptak.

[dgy]

Spontán szimmetriasértés...

Azt hiszem, sokan ott hagyják abba az olvasást, amikor megjelenik a Phi operátor...

Megpróbálom egyszerűbben.

Vegyük egy búzaszál modelljét. H magasságú szál, rajta M tömegű fej. A g erősségű gravitáció le akarná dönteni, ennek a szál rugalmassága ellenáll. A rugalmasságot azzal modellezhetjük, hogy a szálat kétfelől rugókkal támasztjuk meg (matematikailag úgy tárgyalható a legegyszerűbben, ha a rugókat kétoldalt negyedkör alakú drótra húzzuk, ami a talajtól a kalászig tart, a rugóban fellépő erő az eldőlés szögével arányos).

A modell kész. Négy paraméterünk van: a H magasság, az M tömeg, a g gravitációs gyorsulás és a rugó k erőssége. Az egész modellt egy függőleges síkban képzeljük el, ebből nem tud kidőlni a rendszer.

A rendszer szimmetrikus a függőleges egyenesre való tükrözésre. Ha tükrözzük, minden anyagdarab, erő, alátámasztás stb ugyanolyan helyzetbe kerül. Mondhatjuk: a rendszer szimmetriacsoportja tartalmazza a tükrözést.

Mi lesz az egyensúlyi állapot? Nyilvánvaló, hogy az a helyzet, amikor a búzaszál függőleges, a két oldali rugók ereje kiegyensúlyozza egymást, ez egyensúly. A kérdés az, hogy stabil-e.

Ennek eldöntéséhez számolás kell. De szemléletesen is nyilvánvaló: amíg a búzakalász tömege kicsi, a súlya nem sokat számít, a kétoldali rugók függőlegesen tartják a szálat, áll, mint a pecek.

A paraméterek ilyen viszonya mellett ez a függőleges helyzet a rendszer alapállapota. Ha kicsit kitérítjük, rezgéseket végez körülötte. Ebben a helyzetben a rendszer állapota szimmetrikus a függőleges egyenesre való tükrözésre. Azaz ez a alapállapot maga is mutatja a rendszer alapvető szimmetriáját.

Ám itt a nyár, a búza lassan megérik, a kalász egyre nehezebb lesz. Egy kritikus tömeg eléréséhez közeledve a függőleges helyzet körüli rezgések egyre lassabbak lesznek (ez az emlegetett "kritikus lelassulás"), és a kritikus érték után a búzaszál nem tér vissza a függőleges helyzetbe: egy bizonyos szögbe kitérve alacsonyabb energiájú állapotba kerül. Ez a kitérített állapot lesz az új alapállapot. Ha megrezgetjük, az új, kitérített állapot körül végez rezgéseket.

A számítások azt mutatják, hogy a jelenség a szereplő paraméterek egy speciális kombinációjától függ. Legyen c=mg/kH (ez egy dimenziótlan szám) a "kontrollparaméter". Amint valamelyik érték változtatásával (pl a búza érésekor az M tömeg növekedésével) a c kontrollparaméer eléri a c=1 értéket, a szál kihajlik, és a függőleges egyensúlyi helyzet többé nem lesz stabil.

Mivel jellemezzük az új egyensúlyi helyzetet? A kitérés alfa szögével. Ez lesz a "rendparaméter". Mielőtt a c kontrollparaméter elérte volna a kritikus értéket, azelőtt a rendparaméter végig nulla volt. Amint c>1 lesz, az alfa rendparaméter elkezd nőni - minél nagyobb a c érték, annál nagyobb lesz az alfa is.

Az új egyensúlyi állapot NEM szimmetrikus, nem invariáns a tükrözésre. A rendszer alapvető szimmetriája "megsérült" (még csúnyább fordításban: "letört" - angol eredetiben brake down). Bár a rendszert leíró függvények és egyenletek továbbra is szimmetrikusak, a megvalósuló alapállapot már nem.

Ez a spontán szimmetriasértés jelensége. Miért "spontán"? Mert "magától", külső erőszak beavatkozása nélkül történik meg. Hasonlítsuk össze azzal az esettel, amikor a búzaszál egy lejtőn nő, a lejtőre merőlegesen, vagy amikor állandő szél fújja az egyik irányból. Persze hogy elhajlik - de ez nem a belső folyamatainak, hanem a külvilág, a rá ható erők aszimmetrikus voltának köszönhető.

Hová lett a spontán sértett rendszer alapállapotának szimmetriája? Megvan, csak elbújt. Ha a kidőlt szálat tükrözzük, nem ugyanazt az állapotot kapjuk, hanem egy másik hasonlót - az ugyanakkora szögben, de a másik irányban megdőlt búzaszál ugyancsak alapállapotban van! Egy helyett két ekvivalens, de nem azonos alapállapot lépett fel. Az alapállapot "kettéágazott" - a "villa" latin nevéből (furcus) eredően ezt bifurkációnak nevezzük.

Mi dönti el, hogy a búzaszál növekedésekor melyik alapállapotba, jobbra vagy balra dől? A véletlen! Pontosabban olyan gyenge kölcsönhatások (pl egy arra járó lepke szárnycsapása keltette fuvallat), amiket általában el szoktunk hanyagolni a rendszer leírásakor, de épp a kritikus állapotban, amikor a rendszer töpreng, mint Buridan szamara, hogy merre is hajoljon, az ilyen kis hatások döntőek lehetnek.

Átjuthat-e a rendszer az egyik alapállapotból a másikba? Ha már egyszer lehajlott jobbra, és a kihajlott állapot körül végez kis rezgéseket, nem nagyon. Ehhez sok energiát kellene összegyűjtenie (pl széllökésekből), fel kellene másznia a szimmetrikus állapotba, és azon átlendülve juthatna át a másik oldali alapállapotba. Ez nehéz és ritka folyamat. A kritikus állapotbeli döntés olyan, mint a fiatalkori házasság: hosszú távra szól, egyre súlyosabb, és egyre nehezebb visszalépni belőle.

Most módosítsuk a modellt. A valóságos búzaszálhoz hasonlóan rendszerünk dőlhessen a függőleges irányhoz képest ne csak jobbra vagy balra, hanem tetszőleges irányba. Ekkor a rendszernek (és az őt leíró potenciálfüggvényeknek) nem kétoldali tükrözési szimmetriája van, hanem a függőleges tengely körüli folytonos forgatási szimmetriája. Valóban: bármely oldalsó irány ekvivalens, a szál bármerre lenghet.

Amíg a c kontrollparaméter kisebb 1-nél, most is a függőleges egyensúlyi helyzet a stabil. Amint c túllép a kritikus értéken, a szál elhajlik. De merre? Most nem két lehetőség (jobbra és balra) között választhat, hanem végtelen sok ekvivalens (különböző irányba, de egyforma szögben kidőlt) állapot között. Az egyetlen alapállapot nem kétfelé bifurkálódott, hanem végtelen sok lehetséges alapállapotba ment át.

Mi dönti el, merre dől a szál? Megint a véletlen, a kritikus pillanatbeli környezeti hatások.

De most jön a döntő különbség! Átmehet-e az egyik irányba kidőlt szál egy másik alapállapotba? Minden további nehézség - sőt akármilyen energiabefektetés nélkül! Ha a szél egy picit oldalt fújja, máris egy másik irányba kidőlt állapotban találja magát. Akár körbe is sétálhat, és kipróbálhatja a végtelen sok alapállapot mindegyikét.

Aki képekben szeret gondolkodni, az első esetben a rendszer potenciálfüggvényét egy kétfenekű görbével rajzolhatja le: a két gödör feneke a két alapállapot, köztük pedig egy áthatolhatatlanul magas potenciálhegy magasodik. A második eset úgy képzelhető el, hogy ezt az ábrát a tengelye körül megforgatjuk. Bizonyos borospoharakhoz hasonló alakzatot kapunk, aminek közepét alul benyomták. A legalacsonyabb pontok, ahol a pohár az asztalhoz ér, egy kört alkotnak - ennek minden pontja alapállapot. A rendszer ezen a körön energiabefektetés nélkül körülsétálhat.

Hol láttunk már ilyen energiabefektetés nélküli (pontosabban: tetszőlegesen kis energiabefektetéssel megvalósítható) mozgást? A fotonok keltésénél! Míg egy elektron-pozitron pár létrehozásához minimálisan 2mc^2 energia szükséges, fotont tetszőlegesen kis energiával lehet kelteni. Miért? Mert nulla a tömege. (Részletek a Higgs-mezőről szóló előadásomban.)

Ha egy rendszer nulla energiával gerjeszthető, átvihető egyik állapotból a másikba, az olyan, mintha egy nulla tömegű részecskét adtunk volna hozzá. A folytonos szimmetria megsértésével egy végtelen sok alapállapotú helyzetbe került rendszer eme állapotok között mozogva úgy írható le, mintha egy nulla tömegű részecske gerjedne benne. Ez a nevezetes "Goldstone-bozon". Minden ilyen szimmetriasértett állapotban fel kell lépnie.

Hagyjuk el végre a búzaszálas hasonlatot. Az elemi részecskék világában is van az alapelméletnek egy folytonos szimmetriája, amit a megvalósuló alapállapot szemlátomást megsért. (A szimmetria egyebek között abban nyilvánulna meg, hogy a különböző részecskék egyformán viselkednének. De ezt nem teszik - a szimmetria nem áll fenn.). Ekkor viszont léteznie kell(ene) egy nulla tömegű Goldstone-részecskének. Őt viszont már régen észlelnünk kellett volna, a legkisebb energián működő berendezésekkel is, akárcsak a fotont. De semmi ilyen nem történt.

Az elmélet és a kísérlet ellentmozdásba került. Valamit sürgősen tenni kellett, meg kellett magyarázni, hogy lehet az, hogy az elmélet szimmetrikus, az alapállapot nem, és mégsincs Goldstone-bozon.

Ez volt az egyik ellentmondás. Volt egy másik is (erről majd máskor). Higgs és társai zsenialitása abban állt, hogy a két ellentmondást egymásnak eresztették, azok vidáman felfalták egymást, és a kialakuló elméletben más nem maradtak felesleges nulla tömegű részecskék - és egyéb vonatkozásokban is jól írja le a részecskék világát. Az alapvető lépést 1964-ben tette meg Higgs, valamint Englert és Brout, és még több másik kutatócsoport. Azóta az elmélet összes következtetését kísérletileg igazolták. Jogos a Nobel-díj.

dgy

[api]

Mindig újra élvezem ezt a szép búzaszálas modelledet. Talán azért is, mert én magával a sajátérték-sajátfüggvény problémával is a nyomott rudaknál találkoztam életemben először.

[liederivative]

[dgy]

[Banzai]

[Banzai]

[Banzai]

[Banzai]