Most akkor van energiamegmaradás?

[szabiku]

Megpróbáltam a Stokes-tételt általánosítani, és alkalmazni görbült térre.
Nézzük előbb az általánosítását:



Ha a mennyiség az indexet tartalmazza, azaz is összegzőindex, akkor a fentiből ez adódik:



A konnexiós doksimban a konnexió prototípusára ez adódott:



Erre alkalmazzuk a Stokes-tételt infinitezimális formában, tehát magára a végtelen tagszámú integrálásra nincs szükség, csak a megfelelő értelemben vett átalakításra:
(A fentebbi indexnek most felel meg, -nak pedig )



Valamint, mivel és ezért vagyis:

amiből: Ezt behelyettesítve:



Az utolsó két tagban és összegzőindexeket felcserélve, és -et kiemelve:




a negyedrendű görbületi tenzor, a negatív előjel lényegében csak konvenció.

[dgy]

[szabiku]

[dgy]

[szabiku]

[dgy]

[dgy]

[szabiku]

[api]

[szabiku]

Térjünk rá, hogyan lehet az energia, impulzus, és impulzusmomentum megmaradás elvéből eljutni az Einstein-egyenletekig.

Induljunk ki abból, hogy egy másodrendű szimmetrikus energiasűrűség jellegű, de nem tenzor mennyiség alkalmas az előbb említett axiómaként előírt megmaradási törvények felállításához. Célunk természetesen, hogy ez a gravitációt is leírja, valamint, hogy ne sértsük meg a hatás terjedésének felső korlátjára vonatkozó szintén axiómakén előírt törvényt.

A megmaradásra infinitezimális, azaz mikroszkópikus esetben máris fel tudjuk írni a kontinuitási egyenletet:



Ezt bármekkora négyestérfogatra integrálva szintén nullát kapunk:



Tekintsük értelemszerűen az egész világot egy zárt rendszernek, tehát univerzális makroszkópikus, azaz globális tekintetben a kiindulási megmaradási axiómák azt írják elő, hogy az egész univerzum négyesimpulzusa konstans legyen, azaz: (Az impulzusmomentum megmaradását egy külön részben érdemes kifejteni, egyelőre most fogadjuk el, hogy az szimmetrikusságának megkövetelése adja.)

Lássuk be egyszerűen, hogy ez tényleg így van:
Mivel megmaradó mennyiség, azt az egész háromdimenziós teret tartalmazó hiperfelületre integrálva azonos értéket kell kapjunk. Ez úgy következik, hogy az utóbbi képletben úgy választjuk meg a négyes térfogatot, hogy az tartalmazza az egész háromdimenziós teret. Ez Gauss tételével átalakítható a határoló hiperfelületre vett integrállá. A térbeli végtelenben nincs semmi (a téridő se legyen görbült), tehát az integrál ezen része nulla. A maradék két részben (határfelület) az egyik odafelé integrál a teljes háromdimenziós térre, a másik pedig vissza, bárhogyan is vesszük fel az egész háromdimenziós teret tartalmazó négyestérfogatot. Tehát a nulla eredmény mindig úgy jön ki, hogy . Így csak az odafelé integrált véve a megmaradó négyesimpulzust kapjuk:



Jobboldalon az szorzó energiasűrűség jellege miatt van, és csak a mértékegység rendszert választja (a konstans, ami ugye nem valódi fizikai állandó, a hatásterjedés felső korlátja, azaz a vákuumbeli fénysebesség (Galilei vonatkoztatási rendszerben)). Baloldalon az univ. indexet célszerűen azért kell elhagynunk, mert ha az utóbbi integrálban pl. nem integrálunk a végtelenig, akkor csak a kiintegrált tartomány négyesimpulzusát kapjuk (ami így általában nem vektor), és nem az egész világét.

Ezek voltak az előkészületek.
A továbbiakban belemerülünk a fenti célnak megfelelő (a gravitációt is leíró) mennyiség megalkotásába.

A következőket kell meggondolnunk: Mivel a cél a gravitáció teljes belefoglalása az elméletbe, nyilván görbült a tér, mert hiszen ebből remélünk valamilyen hasznos matematikai leírást, és ezért dolgozunk Riemann-téren. Mivel görbült a tér, az integrálás során az eredmény nem tartja meg vektor vagy tenzor jellegét, mert az integrálási tartomány különböző pontjaiban különbözőek a vektorok és tenzorok transzformálási szabályai. Ezek után most próbáljunk meg elindulni, és valamilyen összefüggést kihozni tisztán spekulatív matematikai úton az egyszerűség elvét követve, hogy valami módon lássuk a görbült tér jellemzőit, miként juthatnak szerephez a gravitációt is magába foglaló mechanikai-dinamikai mozgáselméletben.

Az mennyiség pl. megalkotható egy harmadrendű mennyiségből divergencia képzéssel:



Az teljesüléséhez pedig csak az szükséges, hogy ez a mennyiség az indexeiben antiszimmetrikus legyen, tehát és ekkor nyilvánvalóan:



Így a -ra felírt fentebbi integrál Gauss tételével (tovább) átalakítható az azt körülvevő (már csak) kétdimenziós felületre, globális esetben a végtelenben lévő kétdimenziós zárt felületre. A végtelenre az az axiomatikus kikötés, hogy ott fizikailag már nincs (ne legyen) semmi, tehát matematikailag célszerűen egyforma metrikus tulajdonságúnak kell vennünk, és ezért ott például a metrikus tenzor determinánsa konstans. Valamint hasonlóan az átalakított integrál integrandusa is csak ennek megfelelő lehet, így a kifejezésre lineáris transzformációk esetére kiköthető a szabályos vektor jelleg tetszőleges világ esetére azzal a feltétellel, hogy az átalakított integrál integrandusa a végtelenben tenzorsűrűség legyen. Ezzel egyszerre arra törekszünk, hogy -et alkossuk meg úgy, hogy az megfeleljen az előbbi kikötésnek, tehát az nem lesz tenzor. Az energiasűrűség jellegű központi mennyiség kell, hogy tartalmazza a mozgásban lévő anyag jellemzőit, valamint a gravitációra vonatkozóan is mindent. Ha nincs, vagyis elhanyagolható a gravitáció a tér egy kis tartományában, mert például ott Galilei-féle koordinátákat választottunk, akkor és erre mindenképp kikötjük, hogy szabályos tenzor mennyiség, ami ugye az anyag szimmetrikus energia-impulzus-tenzora. A gravitációt is figyelembe véve az mennyiségben a mennyiség nem szerepelhet önálló független tagként, hiszen akkor a gravitáció és anyag nem hatnának egymásra. A fentebbi integrálások sem kombinálnák össze ezeket sehogyan sem, értelmetlen volna az egész gravitációs elmélet. Viszont az anyagon kívül már csak a térjellemzők szerepelhetnek. A legegyszerűbb, ha -hez a leginkább additív formában vesszük hozzá a gravitációt egy pszeudotenzorként, ami szintén szimmetrikus kell ugye legyen. Ezzel a gravitáció is a lehető leginkább hasonul az anyag jelleghez, és a fenti integrálok külön tagonként is alkalmazhatók, értelmezhetők. szimmetrikussága nem romolhat el, tehát, hogy hassanak is egymásra anyag és gravitáció, egyszerűen pl. kell még egy szorzótényező, ami csak térjellemzőkből áll, és skalár. Ez szintén legyen a lehető legegyszerűbb abban a tekintetben, hogy kiváltképp hasznosnak bizonyuljon a lentebbi átalakítások során azon végcélból, hogy a végeredmény egyenletünk a lehető legegyszerűbb, és ez mellett jól értelmezhető legyen. (Nyilván egészen bonyolult kifejezéseket jelölhetünk egyszerűen csak egy betűvel, de ezt csak akkor célszerű tenni, ha hasznos az a kifejezés, és ezáltal nyer csak tekintetünkben így egyszerűséget.) Vegyük észre, hogy -be szeretnénk gyömöszölni mindent, ami nem felel meg ezen egyszerűségi elveknek. Az, hogy nem kell szabályos tenzornak lennie, ezért kifejezetten előnyös. Erre jutottunk:



Galilei koordinátákat választva a térnek egy kiszemelt pontjában a gravitáció mindig megszüntethető. Ez axióma szerű kikötés, ami egyben azt is jelenti, hogy a gravitációra bevezetett mennyiség nemcsak hogy eltűnik (abban a pontban), de a -ek koordináták szerinti elsőnél magasabb deriváltjait sem tartalmazhatja, ugyanis azokat már nem tudja nullára kiszabni a tetszőleges koordinátázás. Válasszunk olyan koordináta-rendszert, melyben a térnek egy kiszemelt pontjában a -ek összes koordináták szerinti első deriváltja nulla. (Ez még nem jelenti azt, hogy a -ek Galilei-félék.) -nek ekkor is el kell tűnnie, mert csak olyan tagokból állhat, melyek ilyen tényezőt tartalmaznak, ugyanis, ha lenne benne olyan tag, mely a -ek valamilyen függvényét azokkal való szorzás nélkül tartalmazná, akkor Galilei koordinátákat választva azok nem tűnnének el, ezt viszont az előbb kikötöttük a gravitáció megszüntethetőségével. Tehát ekkor:






Az imént említett Galilei-féle koordináták esetében a mennyiség konstans kell legyen, hogy teljesüljön a kontinuitási egyenlet. Ezek szerint tényezőként nem tartalmazza a -ek koordináták szerinti első deriváltjait, és a fentebbi érveléssel a magasabb rendűeket is kizárjuk. Ez azt jelenti, hogy az utolsó egyenlőség jobb oldalán a bevihető a differenciálás alá.


Mivel az szimmetrikus, a kontinuitási egyenlet így is felírható kell legyen:
Ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy is szimmetrikus a indexekben, és antiszimmetrikus a indexekben, ahogy az indexekben, de igen.

Célszerű lenne a végén olyan összefüggésre jutni, hogyha az anyag összes mennyiségi, mechanikai-dinamikai, egyszóval fő klasszikus tulajdonsága egyértelműen meghatározza gravitációs viselkedését magával a gravitációs térrel egyetemben, akkor ez fordítva is így legyen. Érezhető a nem különválaszthatóság és egyben a visszacsatoltság problémája már ebből a megfogalmazásból is. Teljesen zárt (nem csak ilyen-olyan úton-módon zártnak tekintett) rendszerek egzakt (a végtelen mennyiségek kiküszöböltségét a fizikai értelmezhetőség végett legjobban tartva) matematikai tárgyalásánál ez talán mindig így van, és nemcsak számos nehézséget, matematikai bonyodalmat, de lehetőséget is ad egészen elképesztő folyamatok valamilyen szintű (persze nem tökéletes) leírhatóságára, mint például a rendszer egy részének önmagára való visszahatása, vagy olyan körülmények beilleszthetőségének lehetősége, aminek oka kívül esik az elmélet tárgykörén, ilyen például az anyag állapotát meghatározó tényezők (egyenletek). Ez utóbbi fontos, hiszen az anyag nem merül ki azon egyszerű néhány tulajdonságaiban, amit pusztán az általános energia-impulzus-tenzormező meg tud adni.

Tehát, ha az anyag egyértelmű összefüggésben van a térrel, akkor várjuk el, hogy ez fordítva is így legyen. Törekedjünk látszólagos egyszerűségre, és a "rejtőző" bonyolultság majd megadja az imént taglaltakat. A kettővel előbbi mondat végül is azt mondja, hogyha a térjellemzők felírhatók (természetesen a szabadon választhatóságon túl) az anyag jellemzőivel, akkor írjuk fel az anyagot jellemző mennyiséget valahogyan a tér jellemzőivel. Vagyis -et alkossuk meg a lehető legegyszerűbben térjellemzőkkel úgy, hogy az megfeleljen a fent támasztott elvárásoknak, hogy minden teljesüljön, amit idáig leírtam.

A szimmetrikus és antiszimmetrikus tulajdonságok a legegyszerűbben így állíthatók elő a legközvetlenebb térjellemzővel, a metrikus tenzorral:
(Azért vannak felül az indexek, mert -ben is felül vannak.)
A kifejezés az indexekben láthatóan antiszimmetrikus, de -ben nem, és -ben is csak az első tag szimmetrikus. Viszont csak három indexes.

Ahhoz, hogy elérjük szimmetrikusságát, vagy kifejezést kell vennünk, ahol a egy olyan skalár mennyiség, ami később még hasznos lehet az egyszerűség elvét követve.
Tehát arra jutottunk, ha:

akkor mivel és is összegző index, jelölésüket a második tagban felcserélhetjük (az első tagban a szimmetrikusság miatt indexet cserélünk, nem jelölést). A parciális deriválások (és a második tagban a tényezők) felcserélhetőek, tehát írhatjuk:

amiből az is jól látható, hogy a indexekben is antiszimmetrikus.

Visszatérve a választott koordináta-rendszerhez (melyben a térnek egy kiszemelt pontjában a -ek összes koordináták szerinti első deriváltja nulla), ezek alapján írhatjuk:



Hajtsuk végre a nagy szögletes zárójelen belüli deriválást:



Mindkét tagból emeljünk ki konstans tényezőt, ahol a a mértékegységet meghatározó szabadon választható konstans, a pedig egy a végtelennel kapcsolatos mennyiség, melyet végtelenbelisége miatt már semmilyen dinamikai folyamat nem befolyásolhat, tehát egyedül csak a koordináta-rendszer szabad megválasztása írhatja elő. Ez utóbbit is ezért konstansnak kell vennünk, és így szintén kiemelhetjük a differenciáljelek elé. (Sajnos ezzel a helyzet nem túl egyszerű, mert ez a tetszőlegesnek gondolt transzformációkra nézve korlátozó/kiválasztó jellegű. Még ezzel az elmélettel sem tudunk könnyen, vagy egzakt módon megszabadulni az abszolút háttérszerkezettől. Később egyszerűen ezt a mennyiséget átvisszük a baloldalra, és így -ként definiáljuk azt az energia-impulzus szabályos négyesvektort, mely olyan nagy tartományra vonatkozik, melynek határán már elhanyagolható az anyag által keltett gravitációs tér, és az csak a koordináta-rendszer megválasztásától függ. Így ez a mennyiség tetszőleges koordináta-transzformációra nézve szabályos vektor lesz, és ekkor válik az alábbi képletben (ha a (valami3) mennyiség onnan eltűnik) energia-impulzus-tenzor is ténylegesen szabályos tenzorrá tetszőleges transzformációra nézve, ahogy azt fent kikötöttük.)



A következő lépéshez legyünk egy kicsit előrelátóak, a tagokat ugyanis hasonló alakra kell hoznunk, mert csak ez lehet a célszerű, és egyben az út is az egyszerűség elvén. Szerencsénk van, mert egyrészt a tényező az első tagban jó lenne, ha eltűnne, másrészt az kifejezésből könnyen csinálhatunk Christoffel-féle szimbólumokat, ha a -t egyenlőnek választjuk -el, és -nek, vagy -nek választjuk ezeket, mert (a levezetést mellőzve):

(ahol szokás szerint a metrikus tenzor determinánsát jelöli)

Így azok szorzótényezőkként lépnek fel a metrikus tenzorok mellett. Az ezek előtti tagokban viszont a metrikus tenzor koordináták szerinti parciális deriváltjai szerepelnek. Mivel azonban a metrikus tenzor kovariáns deriváltja nulla, azokat is könnyen az előbb említett alakra hozhatjuk, mert a másodrendű tenzor kovariáns deriválásából a következők adódnak a metrikus tenzorok esetében: (A nyilak utániak adódnak az koordináták szerinti parciális deriválást is elvégezve, és elhagyva azokat a tagokat, amelyek a -ek első deriváltjait tényezőként tartalmazzák, mert ugye azok nullák ebben a vonatkoztatási rendszerben, amelyben éppen dolgozunk.)











A két ( ) tag kiejti egymást összegzőindex jelöléscsere után.
Az első [ ] tagban az összegzőindex jelöléscserét, valamint a legalsó [ ] tagban összegzőindex jelöléscserét hajtsunk végre, és a következőt kapjuk a három [ ] tagból:



Az első < > tagban az összegzőindexeket jelöljük sorra -el, valamint a legalsó < > tagban hajtsunk végre összegzőindex jelöléscserét, és a következőt kapjuk a három < > tagból:



Hogy a maradék két { } tagot is ilyen utóbbi alakra hozzuk, most egy kicsit visszafelé dolgozunk velük, és visszavisszük az szerinti deriválás alá a kihozott -et és -et. Az első { } tagban az összegzőindex jelöléscsere után hajtsunk végre összegzőindex jelöléscserét is, és a két { } tagból a következőt kapjuk:



A felhúzott indexű Christoffel-féle szimbólumok kontrakciót is rejtenek magukban. Jelöljük azt is, és végezzünk átalakítást rajtuk:





Ezeket visszaírva látható, hogy az utolsó két tag kiesik (az elsőrendű deriváltakat tartalmazó tagok nullák a választott vonatkoztatási rendszer miatt):



összegzőindexek jelöléscseréje után visszatérve a Christoffel-féle szimbólumok rendes jelölésére, és elvégezve a deriválást a nem nulla tagok:



Ezzel arra jutottunk, hogy:



A kerek zárójelben lévő mennyiséget jelöljük -el:



-re kikötés, hogy szabályos tenzor mennyiség legyen, viszont nem az, mert láthatóan nem az. (A szimmetrikusságában nincs kétely, hiszen az a levezetés során nem romolhatott el.) Ha létezik olyan tenzor, mely a mennyiségtől a metrikus tenzor koordináták szerinti első deriváltjaiból alkotott tagokban tér csak el (melyek most ugye nullák), akkor az megoldást jelent általános esetre is, nem csak erre a speciálisan választott koordinátázásra. Jelöljük ezeket a tagokat -el, és a keresett tenzort -el. Könnyen kideríthető, hogy ez legegyszerűbben a negyedrendű görbületi tenzor kontrakciójából adódik. Ekkor:


Határozzuk meg előbb a mennyiséget. A Gauss-tételt alkalmazva az elején arra jutottunk, hogy ahol értelemszerű fejtegetéssel azaz:

ahol a korábbiak szerint vagy

Mivel -et -ként alkottuk meg, a teljes hiperfelületre vett integrál átalakítható a végtelenbeni kétdimenziós zárt felületre vett integrállá. Válasszuk úgy a koordinátákat, hogy a végtelenben azok Galilei-félék legyenek. Ekkor, ha -ra kikötjük, hogy szabályos vektor, akkor az alábbi átalakított integrálban szabályos tenzorsűrűség kell, hogy legyen a folytonos transzformációkkal szemben (ezzel kizárjuk a tükrözést), mert is az.

ahol a korábbiak szerint és ahol azaz:

ahol a kell legyen, hogy az integrandus a végtelenben tenzorsűrűség legyen.
Ez csak a választás mellett a esetén teljesül. Tehát szintén, és ezzel:



A véges világbeli gravitációs és egyéb dinamikai mozgásfolyamatok nem tudják befolyásolni értékét, így ez abból a szempontból konstansnak vehető, és a valamint az és jelölésekből áttehető inkább a baloldalra:





kiszámolható az utolsó integrandus kifejezéséből, mely -el egyenlő. (Meglehetősen hosszadalmas, és viszonylag bonyolult soktagú kifejezés adódik, mely a metrikus tenzornak legfeljebb a koordináták szerinti első deriváltjait tartalmazza.)