Túl sok csoport van?

[TinyAngel]

Sziasztok!

Azt szeretném kérdezni, hogy a csoportok miért nem alkothatnak halmazt? Én úgy tanultam, hogy a csoportok azért nem alkothatnak halmazt, mert túl sok van belőlük, és mindenféle problémába ütköznénk, ha ők halmazt alkotnának, azonban sosem értettem ezt, milyen problémák merülnének fel?
Például mondhatnánk azt, hogy a direkt-szorzat kommutatív és asszociatív művelet a csoportok összességén, azonban ezt nem nevezhetjük műveletnek, mert a csoportok nem alkotnak halmazt.

[dgy]

[xyz]

Ennek (mármint, hogy az összes csoport nem alkot halmazt) a bizonyítása:

Minden végtelen számossághoz tartozik csoport: például az adott számosságú generátorok által generált szabad Abel-csoport. http://en.wikipedia.org/wiki/Free_abelian_group (fontos, hogy ezek tényleg különböző csoportok)

Ezután alkalmazzuk a Cantor-paradoxont. http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_paradox

[api]

A halmazelmélet egyik paradoxona Bertrand Russel szórakoztató megfogalmazásában, a hadsereg borbélya: az a katona, aki minden olyan katonát borotvál, aki nem borotválkozik maga. Kérdés, ki borotválja a borbélyt?

[dgy]

[TinyAngel]

[TinyAngel]

Persze ha nem végtelen ciklikus, hanem véges, akkor pedig az N modulusú maradékosztályok csoportjával lesz izomorf, azaz lesz köztük bijektív leképezés, aminek szintén van inverze.

[dgy]

[xyz]

Ezzel kapcsolatos érdekesség, hogy az egyelemű gyűrű (vagyis x az elem, a műveletek pedig természetesen x*x=x, és x+x=x) az összes testaxiómának megfelel (1=x és 0=x az egységek), kivéve azt, hogy . Viszont ez az axióma csak ezt az egyetlenegy esetet zárja ki, ugyanis könnyen látható, hogy ha egy egységelemes gyűrűben 1=0, akkor annak csak egy eleme lehet.

[Yorg]

Valamilyen értelemben lehet egyelemű testről beszélni, de nekem ez túl haladó matek ahhoz, hogy megértsem, pontosan hogyan: