A hűlő füst pályája

[TinyAngel]

Sziasztok!

Egyik nap sétáltam hazafele, és az egyik ház udvarán égettek valamit, ami nagyon füstölt. A szél az út felé fújta a füstöt, és kvázi mint egy rózsalugas, körülölelte azt. Ez ugye azért van, mert az égés helyétől áramló füst forró, ezért felszáll, és azt a szél az út felé fújja; azonban a levegőn egyre jobban lehűl, így egy idő után ereszkedni kezd, és úgy halad tovább, és kirajzol egy eléggé kontrasztos pályát.

Otthon megpróbáltam saját kútfőből nekiesni a problémának, de nem tudtam semmit kihozni belőle sajnos. Azt szeretném kérdezni, hogy valamelyikőtöket érdekelné-e a probléma, és ha esetleg utánaszámolna, akkor megosztaná-e itt?

[dgy]

A probléma érdekes, de elemi eszközökkel reménytelen megoldani (elemi eszközök = minden, amit a fizika és a matematika jelenleg ismer).

A fizika legnehezebb kérdései közé tartozik a nemlineáris parciális differenciálegyenletek megoldásának problémája. A "megoldás" szót most két értelemben használom: a/ létezik-e az a függvény vagy függvényrendszer, amely kielégíti a probléma differenciálegyenletét, egyértelmű-e a megoldás, hogyan függnek ezek a függvények a kezdeti, a perem- és az esetleges mellékfeltételektől; b/ hogyan kell "megoldani" a feladatot, azaz milyen matematikai lépésekkel lehet előállítani, kiszámítani a fenti függvényeket.

A legegyszerűbb fizikai rendszerek (harmonikus oszcillátor, hidrogénatom...) esetében mindkét kérdésre ismerjük a választ: tudjuk, hogy létezik és egyértelmű a megoldás, és egyszerű, az egyetem alsóbb évfolyamain tanított algoritmus van az előállítására.

A legtöbb fizikai rendszernél az a/ kérdésre tudjuk a választ: van megoldás, és egyértelmű, de a b/ kérdésnél csak tapogatózunk: mindeféle trükkös, közelítő, egyedi (azaz nem általánosan, hanem csak bizonyos feladatok esetén alkalmazható) megoldási módszerekkel próbálkozunk.

A nemlineáris diffegyenletekkel leírható jelenségek esetén azt sem tudjuk, van-e megoldás, egyértelmű-e (elég sok jel mutat arra, hogy nem), és gőzünk sincs, hogyan lehet előállítani. Maradnak a nagy számítógépek és a numerikus közelítő módszerek. De itt kavar be a káosz problematikája: kicsit más kezdőfeltételekből minőségileg más megoldás kerekedik ki... Ez a "kicsit más kezdőfeltétel" persze a számolás során is előállhat, az előző eredmény algoritmustól és programtól függő kissé másféle kerekítésével. Így aztán ugyanarra a feladatra két számítógép homlokegyenest különböző megoldást hozhat ki, pedig mindkettőt okos emberek programozták, hibátlanul... Szóval ezekben az esetekben a numerikában, a számítógépekben sem bízhatunk.

Ebbe a harmadik kategóriába tartozik a hidrodinamika. És a modern, nemkommutatív csoportokra épülő kvantum-mezőelmélet. A második kategóriába tartozó problémák közül pedig egyre többről látják be, hogy csak hiányos tudásunk miatt került ebbe a rovatba, igazából azt a jelenséget is nemlineáris diffegyenletekkel kell leírni, ezért irány a harmadik kategória...

Egy hidrodinamikai jellegű feladatnál, mint amit felvetettél, gyakorlatilag nincs remény matematikai megoldásra (a néhány kivétel benne van a tankönyvekben). Marad az általad leírthoz hasonló kvalitatív okoskodás, a modellkísérletekre alapozott hasonlósági érvelés, meg a következő évszázadok matematikai fejlődésébe vetett remény...

dgy

[G.Á]

A kérdésre fentiek értelmében nincsen egyszerű válasz, de érdemes (csak áttekintés szintjén) összefoglalni a turbulenciával kapcsolatos ismereteink legfontosabb állomásait.


Navier Stokes egyenlet

A turbulens áramlásokat is leíró mozgásegyenlet már a 19. század óta ismert. A turbulencia megjelenik már az összenyomhatatlan NS-egyenlet esetén is

A nemlinearitás elsősorban a konvekciós tag okozza, a nyomás ebben az esetben lényegében kényszerfeltétel, amelyen keresztül az összenyomhatatlanság biztosítható.
A nyomás és a sebességtér között szintén általában nemlineáris kapcsolat van.
A konkrét numerikus számításokat általában szükségszerűen valamilyen diszkretizált rácson kell elvégezni.

Egzisztencia és unicitás

Az egyik egymillió dollárral díjazandó Clay-probléma, az egyenlet megoldásának létezésével és egyrtelműségével kapcsolatos. Ehhez az egyik elvi lehetőség az volna, ha sikerülne kimutatni, hogy a rács finomításával a megoldások értelmesek, kellően simák...stb maradnak. Ez kétségkívül egy nagyon nehéz probléma de: Közvetlenül nincs köze a turbulenciához, és csekély mértékbe járulna hozzá annak megértéséhez.
Ellenben köze van a Reynold-skálázáshoz.

Ismert, hogy létezik a megoldástérnek egyfajta skálainvarianciája. Ez egyszerűen szólva azt jelenti, hogy ha van egy adott összenyomhatatlan áramlásterünk, akkor egy feleakkora, kétszer gyorsabb áramlástér is hasonlóan viselkedik.
Elképzelhetünk egy olyan áramlást, amely önmagát kisebb méretben, felgyorsítva reprodukálja, amely emiatt szintén reprodukálja önmagát.
Ez azt jelentené, hogy elvben lehetséges volna egy olyan megoldás, ahol a térnek egy kis tartományában tetszőlegesen nagy sebességű áramlás alakul ki. Ez szingularitást jelentene, és az elvárt szép matematikai tulajdonságokat potenciálisan elrontaná.

Fizikailag ugyanakkor ez nem probléma, mivel 3D-ben az ilyen típusú szingularitásoknak eltűnően kicsi energiája lenne, mivel az önrepodukáló áramlásminta térfogata gyorsabban csökkenne, mint ahogyan az energiasűrűség növekszik.
Ez jó hír a fizikusoknak (matematikusoknak kevésbé), mert ez azt jelenti, hogy ha léteznek is "felrobbanó" megoldások, azok tulajdonképpen elhanyagolható kis pattanások, amelyek nem befolyásolják a makroszkopikus áramlásokat.
Mellesleg az ú.n. hiperviszkózus esetben bebizonyították már a létezést és az egyértelműséget.

A turbulencia problémája

A turbulencia megértésében lényegében az az alapvetően fontos kérdés, hogy mit tudunk mondani az NS-egyenletek nagy-hullámhosszú tartományain értelmezett attraktorainak statisztikai eloszlásáról.
Ha ilyen attraktorok egyáltalán léteznek (megfelelő tulajdonságokkal) akkor következhet belőle az egzisztencia és simaság, eltekintve a kezdeti-feltételek nullmértékű halmazától.

A turbulencia fizikai oka a klasszikus statisztikus fizika "ultraibolya katasztrófája" alapján világos: Minden klasszikus mező esetén, ha az ekvipartíciós tétel érvényes, az energia az alacsonyabb hullámhosszúságú módusokban összpontosul.
Ennek egyszerű oka, hogy alacsonyabb hullámhosszon rendszerint növekszik a módussűrűség.
Ez persze azt is jelenti, hogy általában nem lehetséges az egyensúly elérése a klasszikus mezők esetén, a mező az energiát fokozatosan "leszívja" az egyre alacsonyabb hossz-nagyságú módusok irányába.

Legtöbb helyzetben azonban az egyensúly egyébként is csak aszimptotikusan állna be, a mozgások "leskálázódása" nem tud közvetlenül, egyszerű módon végbemenni.
Elegendő elképzelnünk a hanghullámokat, ahol számottevő ideig eltarthat, amíg az energia disszipálódik. Ez a folyamat mégis alapvetően különbözik a turbulenciától, ennek oka az, hogy az energia leskálázódása lényegében egyetlen lépésben tud megtörténni,

A hidrodinamikai áramlásoknál a disszipációt a viszkozitás, lényegében sebesség-diffúzió okozza.
Ez az (egyébként erősen nemlineáris) folyamat, alacsony méretbeli skálákon nagyon lassan történik.


Összefoglalva: a turbulens áramlás elsősorban a klasszikus ultra-ibolya katasztrófát jelentő egyensúlyi helyzethez tartás módját jelenti, amennyiben az egyensúlyhoz tartás elég lassú. Ez utóbbi feltétel úgy is megfogalmazható, hogy az energiaáramlás a hullámvektor-térben kellően lokális.


A Kolmogorov elmélet

A turbulencia megértésében az első nagy lépések Kolmogorov, Heisenberg, Onsager nevéhez fűződnek akik többé-kevésbé függetlenül dolgozták ki az ú.n. K41 elméletet (Kolmogorov és 1941 után). Ez a turbulencia nulladrendű leírása.
A feljebb részletezett egyensúly felé tartást innen nevezik energia-kaszkádnak. Kolmogorov feltételezte, hogy egy átlagosan többé-kevésbé konstans energiafluxus történik az alsóbb skálák irányába, a gerjesztési skálától addig a tartományig, ahol már a viszkozitás jelentőssé nem válik. Ez azt jelenti, hogy ezeken a módusokon egy konstans statisztikai eloszlás jellemzi az energia eloszlását.
Kolmogorov dimenzióanalízis segítségével megadott egy formulát, ami a kísérleti adatokhoz az adott tartományon többé-kevésbé illeszkedik.

Újabban eltérő, és általánosabb levezetések is találhatóak, pl:

2D turbulencia

2D-s esetben sikerült elméletileg megjósolni egy nem-intuitív folyamatot, melyet inverz-kaszkádnak neveznek. Ez Kraichnan nevéhez fűződik, és megérdemelten a turbulencia megértésének fontos lépcsőfokaként tartjuk nyilván.

Lényegesnek bizonyult annak felismerése, hogy a szokásos ultraibolya-katasztrófás érv feltételezi a mozgás ergodikusságát az energiafelületen.
Megmutathatóan ehhez az szükséges, hogy egyéb (nemtriviális) megmaradási tételek ne teljesüljenek.
Kétdimenziós esetben azonban az áramlás megtartja az ú.n. ensztrófiát (örvényesség-négyzetet).



Belátható, hogy ez a mennyiség a k hullámszámvektorral gyorsabban növekszik.
Konstans energia és ensztrófia esetén az egyensúlyi Boltzmann-eloszlás annyiban fog különbözni a 3D-s esettől, hogy itt a nagy k-módusok el vannak nyomva.

Ebből viszont az következik, hogy fog a nagy k-módusokból (kis méretskálából) kiindulva kis k-módusok felé jelentős energia áramolni.
Ennek az az oka, hogy a módussűrűség a kisebb k-módusoknál lesz kiemelkedő, így adott kezdeti ensztrófia és energia kényelmesebben (sokfélébben) elrendezhető a nagyobb méretskálájú módusokon. Ez eredményezi az inverz, felfelé áramló energiakaszkádot, melyet Kraichnan 1968-ban jósolt előre.

Ezt a jelenséget sikerült kísérletileg kimutatni kvázi-kétdimenziós áramlásoknál, a jelentősége pedig (szó szerint) óriási.
Így magyarázható a légköri jelenségek egy jó része, vagyis a nagyméretű áramlási struktúrák (hurrikánok, ciklonok) kialakulása, és fennmaradása.
A turbulencia tehát nemcsak rombol, hanem építhet is, ebben az esetben a hurrikánokat erősíti.

Modern morzsák

Nem vállalkozok az újabb eredmények ismertetésére, mert átláthatatlanul hatalmas, viták még bőven előfordulnak számos részletkérdésben.
Matematikai fizikusok érdeklődésére az tart számot, hogy az egyensúlyra törekvés/kaszkád-kép/nemlinearitás meglehetősen gyakran előforduló fogalmai közötti kapcsolatot mélyebben átlássák, és a turbulencia analógiát megfogalmazhassák egyéb, adott esetben bonyolultabb rendszerekre is.
Az egyik példa éppen kozmológiai, és az inflaton-dinamika viselkedésére vonatkozik.

Modern eredmény az is, hogy elrugaszkodunk a k-módusok képétől, és egzaktul, megszámlálhatóan véges (ortogonális vagy biortogonális) wavelet-bázist használunk. Kimutatták, hogy megfelelő bázissal az energia 99%-a a szabadsági fokok kevesebb mint 5%-ban összpontosul, ráadásul (de ez szintén, sőt erősen bázisfüggő) a maradék energia eloszlása jól illik ahhoz, amit a "zaj"-tól várnánk.
Ez lehetővé teszi, hogy leválasszuk az ú.n. koherens turbulens struktúrát a zajtól.

Kraichnan modell

Részben éppen az áramló füsttel kapcsolatos az, hogy mit mondhatunk egy passzív skalármezőről, amelyet egy turbulens áramlás hajt.
-- A passzív skalármező itt azt jelenti, hogy nem módosítja semmilyen módon az áramlást. Por és füstrészecskék koncentrációja ilyen skalármező, ellentétben a hőmérséklet aktív skalármezőjével.--

A turbulens áramlásban mozgó részecske pályája Levy-mozgást követ. Ezt kísérletileg is kimutatták.
Ez nagyjából azt jelenti, hogy az ilyen részecskék gyakran egy kis régióban mozognak, majd igen nagy, és gyors ugrást végeznek.
(Kvalitatívan különbözik ez a Brown-mozgástól annyiban, hogy gyakrabban és nagyobb ugrást történik.)

De ha az áramlás által szállított részecske így viselkedik, akkor hasonlóan mozoghatnak a sebességperturbációk is: Összegyűlnek egy kis térrészben, majd ott "túl naggyá válnak" hogy már kis perturbációnak lehessen tekinteni.

Nagy előrelépés ez a K41-elmélethez képest, amennyiben legalább mond valamit a térbeli inhomogenitás kialakulásának okairól.

Martin-Siggia-Rose formalizmus

Az 1970-es évekre tehető, hogy a hidrodinamikában is alkalmazásra kerültek a renormalizációs megközelítések, a Martin-Siggia-Rose formalizmus keretein belül.

Lehetővé vált a renormalizációs analízis segítségével bizonyos statisztikák formális leírása, és szép eredményeket értek el így, de a fejlődés hamar megrekedt.

Ami visszamaradt

A nagy kérdés a Kolmogorov-féle skálázástól való eltérés pontos magyarázata. Az eltérés ma már viszonylag pontosan feltérképezett kísérletileg, és az univerzalitásuk elég jól alátámasztott.

A probléma megválaszolásához olyan új módszer/elv/ötlet szükséges, mellyel a nemlineáris dinamika statisztikai eloszlása kinyerhető a mozgásegyenlet alapján.
A formális megoldások, melyeket a renormalizációs módszerek adnak, haszontalannak bizonyultak, de minden kudarc egyben tanulság is.