Kétárbócú kocsi - paradoxon

[Yorg]

Azt hiszem, megvan. Legyen a kocsi sebessége az úthoz képest v, a rúd emelkedési sebessége u a kocsihoz képest. Ekkor a relativisztikus sebességösszeadás képlete szerint Vx=v, Vy=sqrt(1-v^2)*u , ahol Vx a rúd bármely pontjának x irányú sebessége az út rendszerében, Vy hasonlóan. (c-t 1-nek vettem a számolások egyszerűsítése végett). Ekkor

V=sqrt(Vx^2+Vy^2)=sqrt(v^2+(1-v^2)*u^2)

A rúd V sebességgel megy az úthoz képest, tehát sqrt(1-V^2)-szeresére kontrahálódik az út rendszerében. Igen ám, de nem az x tengely irányában ennyi a kontrakció, hanem V irányában! Ahhoz, hogy megkapjuk az x irányú kontrakciót, a V irányú kontrakciót meg kell szorozni a V és az x tengely által bezárt szög koszinuszával:

cos phi = v/sqrt(v^2+(1-v^2)*u^2)

Tehát a rúd x irányú kontrakciója:

kxrúd = sqrt(1-V^2)*cos phi=sqrt(1-v^2-u^2+v^2*u^2)*v/sqrt(v^2+u^2-v^2*u^2)

A kocsi is kontrahálódik az út rendszerében, tehát az árbócok távolsága is csökken egy

kkocsi= sqrt(1-v^2) faktorral.

Azt kell megmutatnunk, hogy a rúd jobban kontrahálódik x irányban, mint a kocsi: nem ér át.

Azaz kxrúd < kkocsi

v*sqrt(1-v^2-u^2+v^2*u^2)/sqrt(v^2+u^2-v^2*u^2) < sqrt(1-v^2)

Átszorozva a nevezővel és négyzetre emelve:

v^2*(1-v^2-u^2+v^2*u^2) < (1-v^2)*(v^2+u^2-v^2*u^2)

Egyszerűsítve: 0<u^2*(1-v^2), ez pedig igaz, mert c=1 egységrendszerben v<1, azaz v kisebb, mint a fénysebesség.

Készen vagyunk.

[dgy]

[mmormota]

[Yorg]

[Privát Emil]

Köszönöm mindannyiótok érdeklődését és fáradozását.
Megírom elgondolásom - miként tudnám kiszámítani a haladó kocsin emelkedve mozgó rúd kontrahált hosszát úgy, hogy magam is értsem a számítás menetét.
Előtte jelzem, hogy a kocsit még állónak véve, függőleges síkú körgyűrűt képzelek a rúd köré.

A mozgó rúd útrendszeri eredő sebességét v3-nak véve - felveszek egy v3 meredekségű egyenest az út mögötti óriáspalánkon. Rajzolok oda egy ellipszist, melynek kistengelye egybeesik a felvett egyenessel, nagytengely-hossza pedig egyenlő a rúd "nyugalmi" hosszával. Ezután felveszek egy - az ellipszis kis- és nagytengelye metszéspontján átmenő vízszintes egyenest. Eme egyenesnek az ellipszisben lévő szakasza lesz a rúd kontrahált hossza - már ha jól gondolom. (A kistengely hosszát Lorentz kontrakciós képlete szolgáltatja, v3 behelyettesítésével).
Még nem számoltam ki e szakasz hosszát, de bízom abban, hogy kisebbnek adódik a haladó kontrahált kocsi elülső és hátulsó árbóca közti távolságnál.
Jó lesz ez így?

Egyéb: Korábban - a "liftes" sztorit követően jeleztem, hogy elbizonytalanodtam a "vízszintes"
megítélésében. Ez történt ugyanis: Elképzeltem, hogy a szóban forgó rúd lehetne akár kőműves vízszintmérő is. A liftben utazó szaki pedig azt látja, hogy a buborék nincs középen, hanem az üvegcső elején dekkol, ott elakadva!

[Privát Emil]