Érzékeny egyensúly

[G.Á]

Tekintsünk egy tollat, amelyet hegyére állítva, instabil egyensúlyi helyzetbe állítunk. A toll hegye nem csúszik meg a felületen.
Adjunk becslést arra, hogy mennyi ideig marad meg a toll az instabil egyensúly környékén, ha figyelembe vesszük:
A) a hőeffektust, vagyis a levegő-molekulák kölcsönhatását a tollal.
B) a szögmérés kvantummechanikai bizonytalanságát.

Hasonlítsuk össze a két esetet. A toll ideálisan vékonynak vehető.

Az egyensúly környékén azt a szögkitérés-tartományt értjük, amikor a szögkitérés még szemmel éppen nem észrevehető, mondjuk 0.1 radiánig.

[rasta27]

Ez talán segítség lehet a B)-re!
viewtopic.php?f=9&t=150&p=5883&hilit=Hogy+l%C3%A9tezhet+%C3%ADgy+egyens%C3%BAlyi+%C3%A1llapot%3F#p5883

[G.Á]

Nem igazán.
Először érdemes a problémához illeszkedő Hamilton-operátort felírni, azután megkapni a mozgásegyenleteket.
Ez eddig persze sima ZH-feladat is lehetne, a probléma lényege ezután következik.

[G.Á]

Kis segítség az A) részhez.
A toll merevnek tekinthető, a hegye a felülethez rögzített, ezért leírható a tömeg-középpontjának a szögkitérésével, vagyis a

Hamilton-függvényen keresztül.
A mozgásegyenlet:

Ahol a linearizálás teljesen elfogadható a kérdéses tartományban.
Bevezetve a szokásos jelölést, az egyenlet
melynek megoldása .

Ha a kezdeti feltételeket beírjuk, a szög konstans nullának adódik.

A termikus környezet figyelembevétele egzaktul úgy történhet, hogy a Newton-egyenlet helyett a sztochasztikus Langevin-egyenletet használjuk.
Erre azonban (mivel úgyis csak becslés a célunk) nincs szükség.

Habár a tollat "makroszkopikusan merev"-nek tekintettük, a valóságban természetesen atomos szerkezetű.
Az atomlánc (illetve atomtömb) azonban rengeteg rezgési+csavarási...stb módussal rendelkezik.

Az ekvipartíciós tétel a rendszerre teljesül, ezért egyensúlyban az összes módusra energia jut.
Ez természetesen azt jelenti, hogy a toll egészének a forgási/transzlációs módusára is jut ennyi energia.

Ezen nem kell meglepődni, hiszen a Brown-mozgás egészen univerzális jelenség, csak a testek nagy tömegei miatt gyakorlatilag észrevehetetlenek.
A transzlációs módusokat most kizárjuk, elegendő csak a forgással foglalkozni.

=mkT

[G.Á]

A fentiekből következik, hogy az ekvipartíció-tétel révén:
.

Fizikailag ez azt jelenti, hogy még ha képesek is lennénk a kezdeti feltétel rögzítésére, a termikus kölcsönhatás révén gyorsan beálló egyensúlyban a toll mégis nemnulla forgási energiával rendelkezne.
Mivel csak becslés a célunk, ezúttal figyelmen kívül hagyhatjuk a bonyolult, csak statisztikailag leírható dinamikát, és feltételezzük, hogy az újonnan kialakuló termikus egyensúlynak megfelelő nagyságú, véletlenszerű irányra vonatkozó szögsebesség új kezdeti feltételt teremt.
Ennek megfelelően, a klasszikus mechanika determinisztikus modelljében számolunk tovább.

Ez azt jelenti, hogy:
.

illetve
.


Ebből, felhasználva a kezdeti szögsebesség igen kicsiny voltát:
.

Közönséges körülmények között , a toll hossza kb 10 cm, tömege kb 10gramm.
Ha jól helyettesítettem be, akkor a toll egyensúlyának "élettartama" a termikus hatások miatt körülbelül két másodperc.

Ez meglehetősen közel áll az általános iskolai tapasztalatainkhoz, feltételezve hogy kísérleteztetek azzal, hogy mennyi ideig áll meg a ceruza a hegyén.