Pattogó labda

[G.Á]

Én a kezdőpontra gondoltam, és direkt ferde hajítást írtam, amikor az eredeti magasságot meghaladhatja a labda a pályája során.

[G.Á]

Az általad eredetileg felvetett problémában a labda kezdeti energiája , és azt is tudjuk, hogy kellően sok pattanás után a labda gördül, vagyis teljesül a gördülési feltétel: .
A teljes energia ekkor: , ahol a közelítés csak annyiban van, hogy továbbra is feltételezzük a labda gömb alakját, vagyis hogy a tömegközéppont nem lesz számottevően lejjebb, mint annak sugara.


A feladat ezen a ponton válik aluldefiniálttá, mert az energia a feladat szerint nem marad meg, és nem ad egyéb támpontot arra, hogy a két energiaérték milyen viszonyban van.
Feltételezve, hogy közel azonosak, , vagy egyszerűsítve:
.
Ha a dobás körülményeiről feltételezhetjük, hogy a potenciális energiakülönbség elhanyagolható a kinetikushoz képest (bowling-jellegű, vagy nagyon gyors dobás), akkor kijön a korábbi becslés.

[Antares]

Én más úton gondolkodtam, erőkkel, és úgy nem tűnik a feladat aluldefiniáltnak. Viszont a te energiamérlegedből nem maradt ki valami? Lehet, hogy akkor ez az oka az eltérő eredményünknek.

[G.Á]

Igazad van, már látom hogy én mondtam hülyeséget, csak összezavart az "a gördülési ellenállástól tekintsünk el" kitétel, és elfeledkeztem róla hogy természetesen ettől függetlenül létezik a csúszási súrlódási erő.
A megoldás így persze nagyon hasonló a szokásos "csúszó labda dinamikája" számolásának eredményéhez.

Amíg a sebesség eléri a gördülési feltételt,

az impulzusmomentum (ha kezdetben nulla) :

lesz, melyből az integrál kifejezhető. Rendezések után:

melyből a gördülési feltétel felhasználásával:
.

Ebből már valóban kijön a

[Antares]

Igen

Én is a lendület- és perdületváltozásokat írtam fel egy-egy pattanáskor, és azt vettem észre, hogy azok mindig arányosak egymással, mert ugyanaz az integrál szerepel bennük. Tehát a labda vízszintes sebességének változása minden pillanatban arányos a kerületi sebesség változásával. És ez nem függ attól, hogy a pattanás közben pontosan mi történik, mekkora erők hatnak. És így az sem számít, hogy a labda egyáltalán pattog-e vagy eleve csúszik. Ami érthető, hiszen két pattanás közben nem történik semmi, ami számunkra fontos.

[G.Á]

Formulákkal is leírom az egyetlen pattanás során történő sebesség, és szögsebesség-változásokat.

Ha a padló által a labdára kifejtett erejének tulajdonítható, egy pattanás alatt történő, függőleges impulzus-komponens megváltozása
(bizonyos, de elfogadható feltételezésekkel):
,
a vizszintes impulzus-komponens megváltozás pedig:
.

Az impulzusmomentum ezekre merőleges komponensére pedig:
.

Ezekből a pattanás utáni értékek.




Kérdés: visszajuthat-e a dobás közvetlenül a dobó kezébe?