Gyorstalpaló a Jaynes-Cummings modellig

[G.Á]

Hogy ne veszítsétek el az érdeklődéseteket, megpróbálok némi érdekességet mesélni, amiről azonban itt nem lesz szó a továbbiakban.

Az egyik oka annak, hogy érdemes a kvantummechanikát tényleg alaposan megérteni, az az hogy ez egy logikailag zárt elmélet, hasonlóan a klasszikus mechanikához és a speciális relativitáselmélethez.
Persze igaz, hogy a mérésekre vonatkozó axiómák igazsága megkérdőjelezhető, vagy abban az értelemben hogy véges ideig tartó folyamatnak fogjuk fel a mérést,
vagy (ha elfogadjuk a folytonos spektrumok mérhetőségét) az axiómák szigorúan vételével a matematikai háttéren kell módosítani.

Ennél azonban sokkal érdekesebb a speciálisan relativisztikus kvantummechanika, amely logikailag nem zárt elmélet.
Ebben az esetben azonban ez nem probléma, hanem erény.

Jól ismert probléma, hogy a Klein-Gordon egyenlet, és a Dirac-egyenlet esetében sem lehet univerzálisan valószínűségsűrűség-interpretációt adni a hullámfüggvények abszolutérték-négyzetének.
Másrészről bizonyos esetekben, mint a nehéz hidrogénszerű ionok esetén is, bizonyos állapotok energiája komplex-szé válik, vagyis az időfejlesztő operátor nem unitér, amit azonban kikötöttünk az axiómáknál!

Ilyenkor az ember elcsüggedhet, hogy az egész elmélet nem működik, pedig erről szó sincs. Mint kiderül, mindkét probléma ugyanarra vezethető vissza:
A részecskék elveszítik az individualitásukat, vagyis a probléma csak akkor áll fenn, ha az értelmezési tartományt például az egyrészecskés-Hilbert térre szorítjuk meg.

Ha a Fock-teret, vagyis a 0,1,2,... részecskék (megfelelő szimmetrizált) tereinek tenzoriális összegét vesszük alapul, akkor megszűnik az értelmezési probléma.
Ez azonban impliciten elvezet bennünket a kvantum-térelmélet területére.

A QFT-nek azonban szintén vannak (igen súlyos) problémái, ha alaposan szemügyre vesszük. Az egy dolog, hogy a kölcsönhatások perturbatív kezelése nem feltétlenül konvergál (erre matematikai módszerek kitalálhatóak), súlyosabb probléma, hogy a QFT-ben két reprezentáció nem feltétlenül unitér-ekvivalens.
Ez azt jelenti, hogy akár egy egyszerű bázisváltás is fizikailag eltérő állapotot eredményezhet.
Még tömörebben ezt szokták úgy megfogalmazni, hogy "a QFT-ben nincsen kölcsönhatási kép", ami arra utal, hogy a kölcsönhatások voltaképpeni kezelésére kidolgozott eljárások eredendően lehetnek hülyeségek.

Ennek ellenére mégis páratlanul pontos eredményt ad például a QED.

A kérdés megismételhető: Vajon az elmélet helyett újat kell találni, vagy csak figyelembe kell venni valami mást?
Az utóbbi eset kézenfekvő: A gravitáció nincsen belefoglalva az elméletbe, és könnyen elképzelhető, hogy még maga a 0,1...n-részecske koncepció is feloldódik valamilyen más, adott esetben geometriai értelmezési tartományban.
A biztos ismereteink ezen a ponton érnek véget, bár a húrelmélet és más elképzelések továbbviszik a gondolatot.

Alapvető probléma, hogy már a gyengén görbült téridő esetén is a kvantumtérelmélet alaptere nemszeparálható Hilbert-tér (ez önmagában nem feltétlenül probléma, ha valamilyen trükközéssel kiküszöbölhető, de ebben az esetben ez nagy valószínűséggel nincs így). Emiatt rengeteg matematikai tétel és a szokásos reprezentációk nem használhatóak.

Ugyanakkor csüggednünk sem feltétlenül kell, az Unruh-effektus még a "biztonságosan ismert" QFT terepén azt jósolja, hogy a gyorsuló vonatkoztatási rendszerek fizikailag nem ugyanazt (nem ugyanannyi részecskét, nem ugyanolyan hőmérsékleti sugárzást stb) érzékelnek, mint az inerciarendszerek.
Akkor viszont feltehetjük azt a kérdést, hogy az anyag hogyan is keletkezett, és intuitívan elfogadható, hogy a gyorsan változó dinamikájú téridő (az ősrobbanás során) hozta létre az anyagot pusztán a vákuumból.
Ez, ha nem is egzakt számolással, de következtetés és nem feltételezés szintjére emelhető.

Látjátok ilyen messzire vezet, ha pusztán csak a (logikailag zárt) speciális relativitáselméletet ötvözzük össze a (szintén logikailag zárt) kvantummechanikával.

[G.Á]

Egyrészről EPÉ kérésének megfelelően beteszem ide a hidrogénatom tárgyalását tartalmazó tételemet, de előrebocsátom hogy bizonyos részek messze nincsenek olyan részletesen kidolgozva benne, mint amilyen szinten a tankönyvek szokták, illetve részben a relativisztikus és egyéb korrekciók tárgyalását tartalmazza tömören. Tanulásra feltehetően kevéssé alkalmas, de áttekintő jelleggel talán érdemes az érdeklődőknek végigfutni. Megjegyzem hogy például a Lamb-effektus külön tételben került tárgyalásra, azért is itt csak nagyon kvalitatívan van róla szó.

7. Hidrogénatom











Ezeken kívül természetesen tisztában vagyok vele hogy a korábbi lapokon is sok apró hiba van (például a szórás esetén a várható értékeken belülre kellene a négyzetre emelés).
Ezekért elnézést kérek.

Ha eddig a pontig sikerült mindent megérteni, az azt jelenti hogy elkezdhetünk a tényleges QED-el foglalkozni.
Ugyan ezek a részek is ki van írva papíron, de végképp nélkülözi a pedagógiai megfontolásokat, ezért hacsak külön kérés nem érkezik ezt, (és a kb 200 oldalnyi tételkidolgozás többi részét) inkább nem teszem fel.

Egyszóval ezen a ponton tegyétek fel a kérdéseiteket az eddigiekkel kapcsolatban.

[G.Á]

Ha nincsen kérdés, akkor én kérdezek.

Tipikus bevezető kvantummechanikai feladat a következő:

Becsüljük meg egy hosszúkás, egyszerű festékmolekula optikai spektrumát a molekula hosszának függvényében. A releváns spektrumot egyetlen -elektron energiaszintjeire vezethetjük vissza. Ezt modellezhetjük egydimenziós rendszerként (csak a molekula hosszirányának irányába történő dinamikáját tekintve).
Ezen túlmenően, az egydimenziós potenciált modellezzük egy egydimenziós, végtelen meredekségű potenciálgödörrel, melynek hossza közelítően a molekula hossza.

[G.Á]

Azt érzem, hogy kissé befagyott a téma, ezért mindenképpen szeretném kihangsúlyozni azt a kérésemet, hogy ha bármi nem világos a kézírásomból azt kérdezzétek meg.
Amire hivatkozni fogok a későbbiekben az az első öt tétel, tehát egyelőre elegendő, ha ezekkel külön-külön foglalkozunk, kezdve az elsővel.

Fontosnak tartom azt is tisztázni, hogy ellentétben az eredeti szándékaimmal, itt az elemi bevezető kvantummechanika kurzusoknál lényegesen mélyebb (és nehezebben megérthető, bár véleményem szerint félreérthetőségektől mentesebb) tárgyalása szerepel ennek a néhány témának.
Ha ez sokatoknak nem érthető, megpróbálhatom szemléltetőbb módon végezni a tárgyalást, bár a legideálisabb az volna, ha ezt sikerülne kérdés/felelet szintre szorítani.

[G.Á]

A tulajdonképpeni kvantumoptikai alapokat, illetve a Jaynes-Cummings modellt alapvetően az:

jegyzetnek megfelelően próbáltam volna elmagyarázni.

Mint bevezető jegyzet, számos kérdést elkerül, mint amilyen például a kvantálási térfogat értelmezése, vagy éppen az ezen a fórumon is érdeklődést kiváltó virtuális részecskék.

Ez utóbbi téma leginkább ide kapcsolódik, ezért megpróbálom elmagyarázni egyetlen konkrét példán.

Kezdjük ott, hogy mit nevezünk fotonnak: "Az elektromágneses mező elemi gerjesztését."
Ennek a mondatnak minden szavához külön vizsga-beugrató kérdést lehetne gyártani.

Az "elemi gerjesztést" jól-rosszul, de ebben a kontextusban értsük úgy, mint az adott rendszerhez (tiszta elektromágneses mezőhöz) tartozó Hamilton-operátor olyan sajátállapotát, amely nem a legalacsonyabb (energia)-sajátértékhez tartozó sajátállapot. Elfajultságoktól függetlenül.

Ami trükkösebb: Mi az elektromágneses mező, illetve az annak megfelelő hamilton-operátor?
Figyelmen kívül hagyva egy pár filozófiai, és néhány nem annyira filozófiai problémát, azt megállapíthatjuk, hogy különböző topológiájú téridők esetében az elektromágneses mezők (így azok sajátállapotai is) eléggé eltérő tulajdonságokkal rendelkezhetnek.
Hogy melyiket tekintjük "igazinak", az végső soron önkényes, de meghatározza a "fundamentális foton" tulajdonságait is.

Jó, akkor egyszerűsítsünk, és csak a szokásos, lapos téridőket tekintjük, de a helyzet éppolyan kacifántos marad.

Mielőtt belemegyünk, rögzítsük a következőt: Csak a lapos téridőbeli, végtelen kiterjedésű, semmilyen egyéb peremfeltételnek alá nem rendelt elektromágneses mezőt nevezzük "Az e.m. mezőnek".
Summa summarum, az ilyen mezőhöz rendelt elemi gerjesztések, melyeket fotonoknak nevezünk, tömeg nélküliek.

Ha az elektromágneses mező valamilyen állapota ettől eltér, vagyis tömeges, akkor a fotont virtuálisnak nevezzük.


No akkor most tekintsünk egy ideális, tökéletes belső tükrözésű üregrezonátort, amelyben van egy foton.
A rezonátor, (továbbiakban doboz) véges kiterjedésű, és könnyen megállapíthatóan, létezik olyan inerciarendszer melyben nyugszik.
A fotonról tudjuk hogy úgymond bent van a dobozban, vagyis egy pontosabban meg nem határozott értelemben lokalizált.

Számolással megállapítható, hogy a dobozban lévő foton impulzusa nulla (bár a falakra fejt ki nyomást), ami összhangban van azzal a makroszkopikus képünkkel, hogy a foton nyugszik. Mivel azonban az energiája nem nulla, tömeget kell hozzá rendelnünk.
Ezt nevezzük effektív tömegnek, de az "effektív" megkülönböztetés nem befolyásolja a kísérleti berendezések eredményeit.

Tehát: A virtuális fotonok előállításának egy egyszerű módszere az, ha dobozba (vagy éppen hullámvezetőbe) engedjük.
Tehát minden elmélet, amely képes kezelni egy relatíve fontos kísérleti berendezés idealizált modelljét, (és amelyik a kvantumelektrodinamika szokásos fogalmait használja) tartalmazni fog virtuális fotonokat is.

Természetesen jogos lehet a kérdés: Miért ad tömeget egy fotonnak egy doboz? (Miért? Ad neki?)
A feljebb írtam pár szót a peremfeltételekről.
A doboz modelljének éppen az a lényege, hogy peremfeltételeket ad az elektromágneses mezőre vonatkozóan.
Fizikailag ez a doboz falával történő igen bonyolult kölcsönhatások figyelembevételét jelenti. Pontosan ezek a kölcsönhatások azok, amelyek módosítják a foton tulajdonságát.

Matematikailag azonban semmi akadálya, hogy éppen a dobozban lévő, adott peremfeltételeknek eleget tevő mezőt tekintsem "igazinak", és annak gerjesztéseit nevezzem el fotonoknak.
Ekkor éppen a szabad tér fotonjai számítanának virtuálisnak (hiszen azoknak, ellenben a dobozbeli fotonokkal, nincs tömege).

Hogy mégsem ezt a konvenciót használjuk, annak fizikai oka hogy nincsen tökéletesen tükröző doboz, emiatt az oda bejutó fotonok csak véges ideig maradnak meg az üregben.
Összefoglalás: Hogy mi a foton, illetve az (ehhez mérten) virtuális foton, az nem olyan egyszerű kérdés.

[KovPityu]

[G.Á]

Természetesen.
Lényegében ilyen módszerek kifejlesztéséért adták a 2012-es fizikai Nobel-díjat.
Ma a kísérleti kvantuminformatika meghatározóan, egyéb fejlődő területek kisebb mértékben ezen alapul.
Ha érdekelnek a kísérleti aspektusok, érdemes az itt található kulcsszavakból kiindulni:

[api]

A kvantumjelenségek szemléltetésére, amikor lehet, szeretem a hanghullámokat használni. Ezért most elmondom így is azt, amit G.Á mondott az előbb a fundamentális és virtuális fotonokról.

Választhatjuk azt a konvenciót, hogy fundamentális hangnak nevezzük a térben és időben korlátlan (semmiféle peremfeltétellel nem korlátozott) légtér elemi gerjesztéseit, vagyis a periodikus szinuszhullámokat. A realisztikusabb, korlátozott kiterjedésű, és bonyolultabb spektrumú hanghullámokat a Fourier szintézis alapján elő lehet állítani ezeknek a különböző frekvenciájú ideális "tiszta" hangoknak a (többnyire végtelen) összegeiként.

De mondhatnánk akár azt is, hogy tekintsük inkább fundamentális hangoknak az időben és térben különbözőképp korlátozott légterek (mondjuk valami standardizált légdobozok) elemi gerjesztéseit! Ezeknek lesznek olyan tulajdonságaik, amelyek nem voltak a korlátlan kiterjedésűeknek, így például lesznek időbeli illetve térbeli kezdeteik, végeik, tranzienseik. A korlátlan kiterjedésű gerjesztésekkel ellentétben viszont nem lesz pontosan meghatározott frekvenciájuk, hullámhosszuk. Ha őket tekintjük kiindulási alapnak, fundamentális hangoknak, akkor a bonyolultabb, akár korlátlan kiterjedésű hanghullámokat az ilyen "hullámocskák" (többnyire végtelen) összegeiként kell előállítanunk . Ez történik a "Wavelet" szintézisben, amit gyakran alkalmaznak a virtuális környezetek hangjelenségeinek és látványelemeinek előállításánál.

Persze azt senki ne gondolja, hogy a kvantumfizika visszavezethető lenne a hangtanra. De a gondolkodásunktól idegen területek viszonyait jó néha valami ismerősebb jelenségkörből vett hasonlatokkal is érzékeltetni.

[G.Á]

Sajnos a virtuális/valódi fotonok kérdéskörében elég elterjedt félreértések is előfordulnak, ezért javaslom az ezzel kapcsolatos irodalmazáskor a kételkedés fenntartását.
Erre mutatok egy példát, és a --feltehetően-- mögötte álló okot.

Kezdjük onnan, hogy a QED-nek alapvetően kétféle, alapvetően különböző megközelítése lehetséges:
-Tekinthetünk rá, mint a kvantumtérelméletek (QFT) egy speciális, kiemelt jelentőségű, továbbá jól kezelhető részeként.
-Vagy mint relativisztikus kvantumoptika-ként.

A kvantumoptika tudniillik a QED nemrelativisztikus, alacsonyenergiás határesete, ahol a fotonokon kívül más részecske nem keltődik/tűnik el.
Én nagyon kevés relativisztikus kvantumoptika könyvet ismerek, és bizonyára a QED ilyen irányú bevezetése kevésbé elegáns, de mégis a maga módján tanulságos.
Fontosnak tartom azt is kihangsúlyozni, hogy a kvantumoptika talán az egyetlen olyan, igazán modern ága a fizikának (eltekintve talán az optoelektronika fiatalabb, és a gravitációs-hullám csillagászat születő diszciplínáitól), ahol az elmélet és a gyakorlat ilyen nagy mértékben összeforr.

A QFT a maga absztrakt formalizmusával kielégítő lehet ugyan, de aki annak az alapvető fogalmait elsajátítva azt gondolja, hogy érti a világot, önmagát csapja be.
Történetileg fontos, hogy a QFT fejlődésének aranykorában a szóráskísérletek kiértékelése volt majdnem az egyedüli kapcsolat a kísérletekkel, így aztán érthető, hogy számos fogalom (S-mátrix) kifejezetten erre vonatkozóan lett bevezetve.
Ez utóbbi azt is jelentette, hogy a kölcsönhatások "messze, és régen" történtek, a detektorok már csak a kölcsönhatás utáni "szabad" részecskéket észlelték.

Ez nyilván szemben áll a folyamatosan kölcsönható rendszerek in situ vizsgálatával, ahol például az S-mátrix fogalma legtöbbször semmire sem jó.
A kvantumoptika filozófiája megtermékenyítően hathat ugyanakkor a QFT megértéséhez is.


Egy további, nem elhanyagolható tény, hogy a kvantumelmélet elsajátítása nem annyira létrára vagy lépcsőre, mint egy nagy zikkurat megmászására hasonlít.
Nem lehet sem laikust, sem szakértőt elítélni, amiért bizonyos szintnél (például a QFT megtanulásánál) megáll.
Hogy azonban ez nem szükségszerű, arra kiváló példák vannak az 1950-es évekből.
Wightman például egyik oldalról kidolgozta a QFT axióma-rendszerét, másrészről a kvantumoptika egyik igen szép tétele is a nevéhez fűződik (NWW-tétel).


Nézzünk egy konkrét példát egy félreértésre:
Ebben Neumaier-nak természetesen igaza van a szórásmátrixokkal, és a QFT eszközeinek jelentésével kapcsolatban, csak azt felejti el, hogy ezek mind aszimptotikusan szabad esetekre vonatkoznak, ami a valóságnak legfeljebb jó közelítése lehet, de soha nem egzaktul igaz.

Ha kétségeink lennének, akkor gondoljunk arra, hogy a az NWW-tétel értelmében a szabad foton nem lokalizálható.
Ez az általános eredmény éles ellentmondásban van azzal a ténnyel, hogy léteznek véges méretű detektoraink, és ezekkel fotonokat tudunk detektálni.

A foton-lokalizáció kérdéskörének szép irodalma van, a tanulság: A kölcsönhatásból kiszabaduló, "egyre szabadabbá váló" fotonok a detektorokkal ismét kölcsönhatásba lépnek, effektív tömegre tesznek szert, és ezek után már lokalizálhatóvá válnak.

A szórásmátrixok és a QFT számítási módszereinek egy része legfeljebb addig alkalmazhatóak fenntartások nélkül, amíg a foton nem lép kölcsönhatásba a detektorral.


Egy további érdekes példát Varró Sándor mesélt: Egy alkalommal külföldi hallgatóságnak mutatta be az egyik egzakt, erősteres számolását.
A hallgatóság sorai közül volt, aki megdícsérte a szép eredményt, majd rákérdezett, hogy hány rendig vette figyelembe a Feynman-gráfokat.
Erre érthetően nehezen lehetett válaszolni, figyelembe véve, hogy az eredmény egzakt, és nem perturbatív.