A 6. feladat

[G.Á]

Egy matematika-feladványt osztok most meg, amelyik viszonylag híres, és érdekes történet kapcsolódik hozzá.

Legyenek a és b pozitív egész számok, és .
Mutassuk meg, hogy ha k egész, akkor k négyzetszám.

[G.Á]

Van egy viszonylag elegáns geometriai megoldás. Tekintsük az "a" és "b" számokat egyelőre változóknak, és vizsgálódjunk az a-b síkon.

Viszonylag könnyen belátható, hogy ha a feladatban szereplő "k"-t rögzítjük, az az a-b síkon hiperbolákat jelöl ki.
A feladat összességében két részre válik, egyrészt érdemes megvizsgálni az a=b egyenest, utána a hiperbolákat.

Csak az egyenest tekintve, az egyenlet , és a feladat szövege alapján, feltételezzük, hogy "k" egész.

Ekkor átrendezés után , ahol, lévén hogy "k" pozitív kell hogy legyen (ami triviálisan belátható), "k" az adott egyenesen csak 1 lehet, ami valóban négyzetszám.

Ezzel beláttuk az állítást az a=b egyenesre vonatkozóan.
Kérdés, hogy hogyan tovább.

[G.Á]

A megoldáshoz érdemes a következőből kiindulni:
Tételezzük fel, hogy létezik valamilyen rögzített egész k esetén olyan a=x és b=y (y>x vagy fordítva), hogy a feladatban szereplő egyenlőség teljesül.

Az egyenlet egy másodrendű algebrai kifejezés:
.

A feltételezésünk azt jelenti, hogy a paraméter-síkon az pont az egyenlet gyöke.
Azonnal kereshetünk másik gyököt is, amely (és ez fontos) azonos egész k esetén szintén megoldás.

Rögzítsük x-et, ekkor a másik gyök , megkereshető, mivel -re sima másodfokú egyenletet kapunk.

A Viéta-formulák alkalmazásával látható, hogy:

és


Most csak az első esetre hivatkozunk. Rögtön látható, hogy ha az egész számok rácsán helyezkedik el, akkor -re is ez teljesül.
Az x-y felcserélhetőség szimmetriája miatt megoldás kell hogy legyen a:
pont is.

Ez továbbra is az egyenes felett van, de kissé közelebb az origóhoz.

Ez a procedúra megismételhető, de mivel sohasem vezethet ki a pozitív-pozitív negyedből, ezért aszimptotikusan el kell hogy vezessen az (vagy ) határhoz.

Ebből már egyenesen következik, hogy , vagyis négyzetszám kell hogy legyen.

[G.Á]

A feladat mellesleg az 1988.-as nemzetközi matematikai diákolimpia 6. feladata volt.
Eltérő megoldások találhatóak, ha így kerestek rá, de szerintem ez a legszebb.

Arthur Engel tollából, szabadfordítással:
"...Az ausztrál feladatkitűző bizottság hat tagja közül egyetlen sem akadt, aki meg tudta volna oldani.
A tagok között volt Szekeres Eszter és Szekeres György, maguk is híres problémamegoldók;-és kitűzők.
Végül, mivel számelméleti jellegű a kérdés, elküldték a feladatot Ausztrália négy legelismertebb számelmélészének. Mindannyiuknak hat órát adtak a feladatra.
Egyikük sem tudta ennyi idő alatt megoldani.
Ennek ellenére a bizottság továbbküldte a feladatot a XXIX. IMO zsűrijének, a feladatot dupla csillaggal jelölve meg, amivel a szupernehéz, potenciálisan ki nem írandó feladatokat jelölik.
Hosszú megbeszélés után a zsűri kitűzte a problémát, mint a verseny utolsó feladatát.
Tizenegy diák adott be tökéletes megoldást."

Terence Tao, akkor 13 éves diák számára abban az évben ez volt az egyetlen feladat, amelyet nem tudott helyesen megoldani, és egészen addig (és még jópár évig, bár ez ma már megkérdőjelezhető) a legnehezebb feladatnak számított, amelyet valaha is feladtak az IMO-n.

[dgy]

[G.Á]

[=^.^=]

[G.Á]