Nosztalgia-feladatok

[Zsolt68]

[G.Á]

A teljesség kedvéért, adott súrlódási együttható mellett az erők nagysága az szög mellett .
Az mellett természetesen .

A kiszámolt optimális erőre , de itt az maga is az optimális irányhoz tartozó szög, ezt könnyen átrendezhetjük a rendszer eleve adott paramétereire: .

Ebből eredően a minimális erő .

[G.Á]

Egy másik feladat, amelyik középiskolás koromból származik:

Bizonyítsuk be, vagy cáfoljuk meg azt az állítást, hogy:
Az egyedüli, súlyponton áthaladó egyenesek, amelyek egy háromszöget két azonos területekre osztanak, a súlyvonalak.

Már nem emlékszem hogy hogyan sikerült bizonyítanom. Lehet hogy hibás volt a módszerem, de főleg rajzoltam.
Arra biztosan emlékszem, hogy a végére odaírtam, hogy nem-euklideszi geometriában lehet határértékben olyan háromszöget definiálni, aminek végtelen sok súlyvonala van.
Mindenesetre ez volt talán az első olyan alkalom amikor teljesen önállóan próbáltam meg bebizonyítani valamit.

[Macska Bonifác]

[G.Á]

Közben rekonstruáltam az én régi "bizonyításomat" is, bár az matematikailag kevésbé szabatos.

Induljunk ki egy általános háromszögből, és annak rajzoljuk fel tetszőleges két súlyvonalát.
Tekintsünk egy tetszőleges egyenest a két súlyvonal között, amely átmegy a súlyponton.
Vizsgáljuk meg azt, hogy mekkora területekre bontja fel a háromszöget ez az egyenes. Könnyen látható okokból elegendő csak az egyik térfelet nézni.

Az ábrán szürkével jelzett területet figyelmen kívül hagyhatjuk, azt az egyenesünk minden konfiguráció mellett bezárja.

Ahogyan az egyenes jellemző szöget változtatjuk, úgy az egyenes által bezárt terület esetleges változása csak a pirossal jelzett területektől függ.

Következő lépésként csak azt a két háromszöget tekintsük, ahol lehetnek piros területek. Az egyiket forgassuk el 180 fokkal, így kapunk az alsó ábrához hasonló képet.
Ebből az látszik, hogy a piros területek az egyenes szögétől függeni fognak, maximális és azonos értékeket csak akkor vesznek fel, amikor az egyenesünk súlyvonal.
(A másik térfélben ugyanezen értékek minimumok természetesen)

Elemi megfontolásokkal beláthatjuk hogy a két térfél is csak a fent leírt két esetben lesz azonos területű.
Előny, hogy ezzel az eljárással egy rögzített háromszög esetén, ismerve megfelelő paramétereket, kiszámolhatjuk a maximális/minimális területek nagyságát is, amelyre egy súlyponton átmenő egyenes feloszthatja a háromszöget. Mondjuk ilyesmi kiszámolására soha nem volt szükségem.